Progresiones aritméticas - problemas y soluciones

Solución:
La diferencia común es -5.

Solución:
Los números no forman una progresión aritmética.
Si se formaran serían 2, 6, 10, 14, 18.

Solución:
[tex]d=3{,} 5-1=2{,} 5[/tex]
[tex]a_{10}=a_{1}+9d=1+9\times 2{,} 5=23{,} 5[/tex]

Solución:
Como sabemos, los números naturales forman una progresión aritmética con [tex]a_1=1[/tex] y [tex]d=1[/tex]. Por lo tanto [tex]S_{10}=\frac{2a_1+(10-1) \times d}{2} \times 10=\frac{2+9}{2} \times 10=11\cdot 5=55[/tex]

Solución:
5 números consecutivos forman una progresión aritmética con diferencia 1.
n = 5,
S(5) = 100,
d = 1
Sea el primer número [tex]a[/tex]
Se sabe.

[tex]S(n) = \frac{n}{2}(2a+d(n-1))[/tex]

[tex]100 = \frac{5}{2} (2a + 1\cdot 4)[/tex]
[tex]100 \cdot \frac{2}{5} = 2a +4[/tex]
[tex]40 = 2a + 4[/tex]
[tex]2a = 36[/tex]
[tex]a = 18[/tex]
El primer número es 18, y los otros números son 18, 19, 20, 21, 22.

Solución:
Dado que [tex]{a_n}[/tex] es una progresión aritmética, la diferencia entre dos miembros consecutivos es la misma y es [tex]d=a_2-a_1=7-4=3[/tex]. La fórmula para el noveno término es [tex]a_n=a_1+(n-1)\cdot d[/tex], sustituyendo n=11 obtenemos [tex]a_{11}=4+(11-1) \cdot 3=34[/tex]

Solución:
[tex]a_n=a_1+(n-1)\cdot d[/tex] => [tex]a_1=a_n-(n-1)\cdot d[/tex]. Sustituimos [tex]n=3[/tex] y obtenemos [tex]a_1=43-2\cdot 12=43-24=19[/tex].

Solución:
[tex]a_{19}=a_1+(19-1)\cdot d=a_1+18\cdot d[/tex]. Dado que [tex]a_n[/tex] es una progresión aritmética, [tex]d=a_{n+1}-a_n=a_2-a_1=8-15=-7[/tex]. Sustituimos el valor de [tex]d[/tex] y [tex]a_1[/tex] y tenemos [tex]a_{19}=15-18\cdot 7=-111[/tex]

Solución:
[tex]a_n=a_1+(n-1) \times d=1+(n-1) \times 1=n[/tex], así que [tex]a_{1083}=1083[/tex]

Solución:
[tex]d=a_2-a_1=5-(-11)=16[/tex]

Solución:
[tex] a_5 = a_1 + 4d [/tex], [tex] a_2 = a_1 + d [/tex]. Al restar este último del primero, obtenemos [tex] a_5-a_2 = a_1 + 4d-a_1-d = 3d [/tex], por lo que [tex] 3d = 18-9 = 9 [/tex], lo que significa que [tex] d = 3 [/tex]

Solución:
[tex]a_{\frac{3+11}{2}}=\frac{a_3+a_{11}}{2}[/tex], o [tex]a_7=\frac{13+25}{2}=\frac{38}{2}=19[/tex]

Solución:
Hay una fórmula directa para la suma de los primeros n elementos: es [tex]S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2} \times n[/tex]. Para [tex]n=10[/tex], tenemos [tex]S_{10}=\frac{2\cdot 15+9\cdot 3}{2}\cdot 10=\frac{30+27}{2}\cdot 10=57\cdot 5=285[/tex]

Solución:
La proporción común es -2.

Solución:
La suma que estamos buscando es [tex]a_2+a_4+a_6+a_8+a_10+a_{12}=[/tex]
[tex]=(a_1+d)+(a_1+3d)+(a_1+5d)+(a_1+7d)+(a_1+9d)+(a_1+11d)=[/tex]
[tex]=6\cdot a_1+(1+3+5+7+9+11)d=6a_1+36d=[/tex]
[tex]=6\cdot 7+36\cdot 4=42+144=186[/tex]

Solución:
Cada término es la diferencia de dos sumas consecutivas: [tex]a_{n}=S_{n}-S_{n-1}[/tex].
[tex]S_{12}=3\times 144-24=408[/tex]
[tex]S_{11}=3\times 121-22=341[/tex]
[tex]a_{12}=408-341=67[/tex]

Solución:
Los ángulos son [tex]30^{\circ}; 30^{\circ}+d; 30^{\circ}+2d; 30^{\circ}+3d[/tex] y su suma es [tex]360^{circ}[/tex]:
[tex]120^{\circ}+6d=360^{\circ}\Rightarrow d=40^{\circ}[/tex]
[tex]30^{\circ}+3\times 40^{\circ}=150^{\circ}[/tex]

Solución:
Cada número insertado es la media de sus vecinos: [tex]2a_{k}=a_{k-1}+a_{k+1}[/tex]. Así que los nueve números forman una progresión aritmética con [tex]a_{1}=16[/tex] y [tex]a_{9}=4[/tex].
[tex]S_{9}=\dfrac{9(16+4)}{2}=90[/tex]

Solución:
Los números son [tex]a; a+2; \ldots; a+14[/tex], una progresión aritmética con [tex]d=2[/tex].
La media de los términos de una progresión aritmética es igual a la media del primero y el último: [tex]\dfrac{a+(a+14)}{2}=a+7=19\Rightarrow a=12[/tex].
Los tres primeros números son [tex]12; 14; 16[/tex] y su media es [tex]14[/tex].

Solución:
El sumando número [tex]k[/tex] es [tex]k\times 4k[/tex], donde [tex]k=1; 2; \ldots; 20[/tex].
Tras el cambio queda [tex]k(4k-1)=k\times 4k-k[/tex].
Por lo tanto, la suma disminuye en [tex]1+2+\ldots+20=\dfrac{20\times 21}{2}=210[/tex].

Solución:
[tex]S_{9}=\dfrac{9(2a_{1}+8d)}{2}=9(3+4d)=27+36d[/tex]
[tex]135\lt 27+36d\lt 207\iff 108\lt 36d\lt 180\iff 3\lt d\lt 5[/tex]
Todos los términos son enteros, así que [tex]d=a_{2}-a_{1}[/tex] también es entero. Por lo tanto, [tex]d=4[/tex].

Solución:
Sean los números [tex]a; a+1; \ldots; a+9[/tex]; su suma es [tex]10a+45[/tex].
Sea [tex]a+k; 0\le k\le 9[/tex] el número borrado. Entonces
[tex]10a+45-(a+k)=2009\Rightarrow 9a=1964+k[/tex]
El número [tex]1964[/tex] da resto [tex]2[/tex] al dividirlo entre [tex]9[/tex], así que [tex]k=7[/tex] y [tex]a=219[/tex]. El número borrado es [tex]219+7=226[/tex].