Progresiones aritméticas - problemas y soluciones

Solución:
La diferencia común es -5.

Solución:
Los números no forman una progresión aritmética.
Si se formaran serían 2, 6, 10, 14, 18.

Solución:
d = 3,5 - 1 = 6 - 3,5 = 2.5
n = 10
a is the first term
10th term = a +(n-1)d = 1 + (10-1)2,5 = 1 + 9 × 2,5 = 1 + 22,5 = 23,5

Solución:
Como sabemos, los números naturales forman una progresión aritmética con [tex]a_1=1[/tex] y [tex]d=1[/tex]. Por lo tanto [tex]S_{10}=\frac{2a_1+(10-1).d}{2}.10=\frac{2+9}{2}.10=11\cdot 5=55[/tex]

Solución:
5 números consecutivos forman una progresión aritmética con diferencia 1.
n = 5,
S(5) = 100,
d = 1
Sea el primer número [tex]a[/tex]
Se sabe.

$S(n) = \frac{n}{2}(2a+d(n-1))$

$100 = \frac{5}{2} (2a + 1\cdot 4)$
$100 \cdot \frac{2}{5} = 2a +4$
$40 = 2a + 4$
$2a = 36$
$a = 18$
El primer número es 18, y los otros números son 18, 19, 20, 21, 22.

Solución:
Dado que [tex]{a_n}[/tex] es una progresión aritmética, la diferencia entre dos miembros consecutivos es la misma y es [tex]d=a_2-a_1=7-4=3[/tex]. La fórmula para el noveno término es [tex]a_n=a_1+(n-1)\cdot d[/tex], sustituyendo n=11 obtenemos [tex]a_{11}=4+(11-1) \cdot 3=34[/tex]

Solución:
[tex]a_n=a_1+(n-1)\cdot d[/tex] => [tex]a_1=a_n-(n-1)\cdot d[/tex]. Sustituimos n=3 y obtenemos [tex]a_1=43-2\cdot 12=43-24=19[/tex].

Solución:
[tex]a_{19}=a_1+(19-1)\cdot d=a_1+18\cdot d[/tex]. Dado que [tex]a_n[/tex] es una progresión aritmética, [tex]d=a_{n+1}-a_n=a_2-a_1=8-15=-7[/tex]. Sustituimos el valor de d y [tex]a_1[/tex] y tenemos [tex]a_{19}=15-18\cdot 7=-111[/tex]

Solución:
[tex]a_n=a_1+(n-1).d=1+(n-1).1=n[/tex], así que [tex]a_{1083}=1083[/tex]

Solución:
[tex]d=a_2-a_1=5-(-11)=16[/tex]

Solución:
[tex] a_5 = a_1 + 4d [/tex], [tex] a_2 = a_1 + d [/tex]. Al restar este último del primero, obtenemos [tex] a_5-a_2 = a_1 + 4d-a_1-d = 3d [/tex], por lo que [tex] 3d = 18-9 = 9 [/tex], lo que significa que [tex] d = 3 [/tex]

Solución:
[tex]a_{\frac{3+11}{2}}=\frac{a_3+a_{11}}{2}[/tex], o [tex]a_7=\frac{13+25}{2}=\frac{38}{2}=19[/tex]

Solución:
Hay una fórmula directa para la suma de los primeros n elementos: es [tex]S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}.n[/tex]. Para n=10, tenemos [tex]S_{10}=\frac{2\cdot 15+9\cdot 3}{2}\cdot 10=\frac{30+27}{2}\cdot 10=57\cdot 5=285[/tex]

Solución:
La proporción común es -2.

Solución:
La suma que estamos buscando es [tex]a_2+a_4+a_6+a_8+a_10+a_{12}=[/tex]
[tex]=(a_1+d)+(a_1+3d)+(a_1+5d)+(a_1+7d)+(a_1+9d)+(a_1+11d)=[/tex]
[tex]=6\cdot a_1+(1+3+5+7+9+11)d=6a_1+36d=[/tex]
[tex]=6\cdot 7+36\cdot 4=42+144=186[/tex]