Progresiones aritméticas - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
Según las propiedades de una progresión aritmética, sabemos que para cualquier entero positivo [tex]m < k[/tex] lo siguiente es verdadero: [tex]\frac{a_{k+m}+a_{k-m}}{2}=a_{\frac{k+m+k-m}{2}}=a_k=0[/tex] . Pero [tex]S_{2k-1}=a_{k-(k-1)}+a_{k-(k-2)}+...+a_{k+(k-2)}+a_{k+(k-1)}=a_{k-(k-1)}+a_{k + (k-1)} +a_{k-(k-2)}+a_{k+(k-2)}+...+a_k=0+0+...+0=0[/tex]

Solución:
Denotemos el número que se cuenta en el lado izquierdo como [tex]n[/tex]. El valor del lado izquierdo es la suma de la progresión aritmética, definida como [tex]a_1=1[/tex], [tex]d=3[/tex]. Sabemos que por elección nuestra [tex]n[/tex], [tex]a_n=x[/tex], o [tex]1+(n-1)\cdot 3=x[/tex] y [tex]n=\frac{x+2}{3}[/tex].
[tex]S_n=\frac{2a_1+(n-1)\cdot d}{2}\cdot n=\frac{2\cdot 1+(n-1)\cdot 3}{2}\cdot n[/tex]. Ahora sustituimos [tex]n-1[/tex] y [tex]n[/tex] con las respectivas funciones de x:
[tex]S_n=\frac{2+x-1}{2}\cdot \frac{x+2}{3}=\frac{(x+1)(x+2)}{6}[/tex]
[tex]\frac{(x+1)(x+2)}{6}=925[/tex]
[tex]x^2+3x+2=5550[/tex]
[tex]x^2+3x-5548=0[/tex]: [tex]D=9+4\cdot 5548=22201=149^2[/tex]
X es obviamente positivo, por lo que no contamos la raíz negativa de la ecuación y tenemos
[tex]x=\frac{-3+149}{2}=\frac{146}{2}=73[/tex]

Solución:
Sabemos que para cualquier [tex] k \ en [0; 99] [/tex]: [tex] a_ {k + 1} = 3k + 5 [/tex] y para cualquier [tex] l [/tex] en el mismo intervalo, [tex] b_ {l + 1} = 4l + 3 [/tex]. Buscamos el número de ocurrencias [tex] a_ {k + 1} = b_ {l + 1} [/tex] para cualquier [tex]k, l[/tex] en el intervalo dado. Esto es equivalente a
[tex] 3k + 5 = 4l + 3 [/tex]
[tex] 4l = 3k + 2 [/tex]
[tex] l = \frac{3k + 2}{4} [/tex]. Ahora tenemos [tex]l[/tex] en función de [tex]k[/tex]. Para los valores dados, [tex]l=\frac{3k + 2}{4} \le \frac{3 \times 99+2}{4}<75[/tex], por lo que no saldremos de los límites de [tex]l[/tex]. Por definición, [tex]l[/tex] es un número entero, por lo que debería ser [tex] \frac{3k + 2}{4} [/tex]. Así que estamos buscando los valores de [tex]k[/tex] entre 0 y 99, para los cuales [tex] \frac{3k + 2}{4} [/tex] es un número entero. Entonces lo siguiente debe ser verdadero: [tex]3k+2 \equiv 0 (mod 4)[/tex]
[tex]3k+2-4k \equiv 0(mod 4)[/tex]
[tex]2-k \equiv 0 (mod 4)[/tex]
[tex]k \equiv 2 (mod 4)[/tex].
Estos números son la secuencia [tex] 2,6,10, ..., 98 [/tex] y su recuento es 25.

Solución:
Denotemos [tex]C=\frac{a_{2n}+a_{2n-1}+...+a_{n+1}}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}[/tex]. Sumando [tex]1[/tex] a ambos lados, obtenemos
[tex]C+1=\frac{a_{2n}+a_{2n-1}+...+a_{n+1}}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}+\frac{a_n+a_{n-1}+...+a_1}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}=\frac{a_{2n}+a_{2n-1}+...+a_1}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}=\frac{S_{2n}}{S_n}[/tex]. Como [tex]C[/tex] es constante, entonces [tex]C+1[/tex] también es constante. Por lo tanto, [tex]\frac{S_{2n}}{S_n}[/tex] no debe depender de [tex]n[/tex]. Pero
[tex]\frac{S_{2n}}{S_n}=\frac{\frac{2a_1+(2n-1) \times d}{2} \times 2n}{\frac{2a_1+(n-1) \times d}{2}n}=2\frac{2+(2n-1)d}{2+(n-1)d}[/tex].
Denotemos [tex]\frac{C+1}{2}=R[/tex], lo cual es también constante. Tenemos
[tex]\frac{2+(2n-1)d}{2+(n-1)d}=R[/tex]
[tex]2R+(n-1) \times d \times R=2+(2n-1) \times d[/tex]
[tex]2R+n \times d \times R-d \times R=2+2n \times d-d[/tex]
[tex]n \times d(R-2)=d \times R-2R-d+2=R(d-2)-(d-2)=(R-1)(d-2)[/tex]. Esto debe ser verdadero para cualquier [tex]n[/tex]. Asumamos que ambos lados son no nulos. El lado izquierdo cambia por [tex]n[/tex], mientras que el lado derecho no, lo que quiere decir que ellos serán desiguales en algún punto. Por lo tanto ambos lados deben ser cero. [tex]n[/tex] y [tex]d[/tex] son no nulos (como [tex]\{a_n\}[/tex] es una progresión no constante), así que para que el lado izquierdo sea cero, [tex]R[/tex] debe ser 2. Lo cual nos lleva a
[tex]0=1\cdot (d-2)[/tex], lo que significa que [tex]d[/tex] también debe ser 2. La progresión aritmética está ahora definida, por [tex]a_1=1[/tex], [tex]d=2[/tex] y [tex]a_{15}=a_1+14\cdot d=1+14\cdot 2=29[/tex]

Solución:
Sean [tex]n[/tex] las bombas. Se encienden a intervalos iguales y se apagan a la vez, así que sus tiempos de funcionamiento [tex]t_{1}; t_{2}; \ldots; t_{n}=10[/tex] forman una progresión aritmética.
Para llenar el petrolero se necesitan [tex]15n[/tex] horas-bomba (todas juntas tardarían [tex]15[/tex] horas), así que
[tex]t_{1}+t_{2}+\ldots+t_{n}=\dfrac{n(t_{1}+10)}{2}=15n\Rightarrow t_{1}+10=30\Rightarrow t_{1}=20[/tex]

Solución:
En una progresión aritmética de [tex]2k-1[/tex] términos el término central es [tex]a_{k}[/tex], así que [tex]S_{2k-1}=(2k-1)a_{k}[/tex].
Para [tex]k=17[/tex]: [tex]S_{33}=33a_{17}; T_{33}=33b_{17}[/tex]. Por lo tanto,
[tex]\dfrac{a_{17}}{b_{17}}=\dfrac{S_{33}}{T_{33}}=\dfrac{3\times 33+5}{4\times 33-1}=\dfrac{104}{131}[/tex]

Solución:
La segunda progresión da [tex]S_{n}=2a_{n}-a_{1}[/tex]. Entonces la desigualdad queda
[tex](2a_{n}-a_{1})^{2}+7a_{1}^{2}\lt 4a_{n}^{2}\iff 2a_{1}^{2}\lt a_{1}a_{n}[/tex]
Por lo tanto, [tex]a_{1}\ne 0; \dfrac{a_{n}}{a_{1}}\gt 2[/tex].
De la fórmula de la suma: [tex]\dfrac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=2a_{n}-a_{1}\iff a_{n}(4-n)=a_{1}(n+2)[/tex].
Para [tex]n=4[/tex] se obtendría [tex]a_{1}=0[/tex], lo cual es imposible. En otro caso,
[tex]\dfrac{a_{n}}{a_{1}}=\dfrac{n+2}{4-n}\gt 2\iff 2\lt n\lt 4[/tex]
Por lo tanto, [tex]n=3[/tex] (por ejemplo, [tex]1; 3; 5[/tex]).

Solución:
[tex]S_{5}-S_{6}=-a_{6}\ge 6\Rightarrow a_{6}\le -6[/tex]
[tex]S_{5}-S_{4}=a_{5}\ge 6[/tex]
Por lo tanto, [tex]d=a_{6}-a_{5}\le -12[/tex].
Como [tex]a_{k+6}=a_{k}+6d[/tex], la suma de los seis términos siguientes difiere de [tex]S_{6}[/tex] en [tex]36|d|[/tex]: [tex]36|d|\le 450\Rightarrow |d|\le 12{,} 5[/tex].
Así que [tex]d=-12; a_{5}=6; a_{6}=-6[/tex], y
[tex]a_{1}=a_{5}-4d=6+48=54[/tex]

Solución:
Sea [tex]a=a_{1}[/tex]. Entonces [tex]a+7d=a^{3}\Rightarrow 7d=a(a-1)(a+1)[/tex]; como [tex]d\ne 0[/tex], [tex]a\notin\{-1; 0; 1\}[/tex].
Como [tex]a^{2}[/tex] es un término, [tex]a^{2}=a+kd[/tex] para algún entero [tex]k\ge 1[/tex]. Entonces
[tex]a(a-1)=\dfrac{k\,a(a-1)(a+1)}{7}\Rightarrow k(a+1)=7[/tex]
Como [tex]a[/tex] es entero y [tex]k\ge 1[/tex], [tex]a+1\in\{1; 7\}[/tex]; como [tex]a\ne 0[/tex], [tex]a=6[/tex].
[tex]d=\dfrac{6\times 5\times 7}{7}=30[/tex]
Comprobación: [tex]a^{2}=36=a_{2}; a^{4}=1296=6+43\times 30=a_{44}[/tex].

Solución:
Sean los lados [tex]a-1; a; a+1[/tex]. La desigualdad triangular [tex](a-1)+a\gt a+1[/tex] da [tex]a\gt 2[/tex].
Por el teorema del coseno, [tex]\cos\gamma=\dfrac{(a-1)^{2}+a^{2}-(a+1)^{2}}{2a(a-1)}=\dfrac{a-4}{2(a-1)}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2(a-1)}[/tex].
Para [tex]a\gt 2[/tex] es una función continua y creciente que tiende a [tex]-1[/tex] cuando [tex]a\to 2[/tex] y a [tex]\dfrac{1}{2}[/tex] cuando [tex]a\to\infty[/tex], sin alcanzar esos valores.
[tex]-1\lt\cos\gamma\lt\dfrac{1}{2}\iff 60^{\circ}\lt\gamma\lt 180^{\circ}[/tex]

Solución:
Escribimos los elementos en orden creciente: [tex]a; a+d; \ldots; a+7d[/tex], donde [tex]a\ge 1; d\ge 1; a+7d\le 2008[/tex].
Para cada [tex]d[/tex] fijo hay [tex]2008-7d[/tex] opciones para [tex]a[/tex]; este número es positivo para [tex]1\le d\le 286[/tex].
[tex]\sum_{d=1}^{286}(2008-7d)=286\times 2008-7\times \dfrac{286\times 287}{2}=574288-287287=287001[/tex]

Solución:
[tex]S_{2026}=1013(a_{1}+a_{2026})=2026\Rightarrow a_{1}+a_{2026}=2[/tex]
Si [tex]d=0[/tex], todos los términos valen [tex]1[/tex] y la segunda suma es positiva, así que [tex]d\ne 0[/tex].
Como [tex]\dfrac{1}{a_{i}a_{i+1}}=\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{a_{i}}-\dfrac{1}{a_{i+1}}\right)[/tex], la suma es telescópica:
[tex]\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{a_{1}}-\dfrac{1}{a_{2026}}\right)=\dfrac{a_{2026}-a_{1}}{d\,a_{1}a_{2026}}=\dfrac{2025}{a_{1}a_{2026}}=-2025[/tex]
Así que [tex]a_{1}a_{2026}=-1[/tex], y [tex]a_{1}[/tex] y [tex]a_{2026}[/tex] son las raíces de [tex]t^{2}-2t-1=0[/tex]:
[tex]a_{1}=1\pm\sqrt{2}[/tex]

Solución:
Hacemos el cambio [tex]t=4^{2x-x^{2}-2}[/tex]; entonces [tex]16^{2x-x^{2}-2}=t^{2}[/tex].
Como [tex]2x-x^{2}-2=-(x-1)^{2}-1\le -1[/tex], [tex]t[/tex] toma exactamente los valores de [tex]\left(0; \dfrac{1}{4}\right][/tex].
La condición es [tex]2at=3+t^{2}\iff a=f(t)=\dfrac{1}{2}\left(t+\dfrac{3}{t}\right)[/tex].
La función [tex]f[/tex] es decreciente para [tex]0\lt t\le\sqrt{3}[/tex], así que en [tex]\left(0; \dfrac{1}{4}\right][/tex] toma todos los valores [tex]a\ge f\left(\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{49}{8}[/tex].

Solución:
Para números cualesquiera, [tex](x_{1}+\ldots+x_{m})^{2}-(x_{1}^{2}+\ldots+x_{m}^{2})=2\sum_{i\lt j}x_{i}x_{j}[/tex].
Al tachar [tex]a_{n}[/tex] desaparecen los productos [tex]a_{n}a_{i}[/tex], así que la diferencia disminuye en [tex]2a_{n}S_{n-1}=1440\iff a_{n}S_{n-1}=720[/tex].
Los términos son enteros positivos crecientes, así que [tex]a_{k}\ge k\Rightarrow n\times \dfrac{n(n-1)}{2}\le 720\Rightarrow n\le 11[/tex].
Para [tex]n=11[/tex] se necesita [tex](a_{1}+10d)(2a_{1}+9d)=144[/tex] y para [tex]n=10[/tex], [tex](a_{1}+9d)(a_{1}+4d)=80[/tex]; al revisar los pocos casos posibles con [tex]a_{1}\ge 1; d\ge 1[/tex] no hay soluciones.
Para [tex]n=9[/tex] se necesita [tex](a_{1}+8d)(2a_{1}+7d)=180[/tex], lo que se cumple con [tex]a_{1}=4; d=1[/tex]: la progresión [tex]4; 5; \ldots; 12[/tex]. Así que el máximo es [tex]9[/tex].

Solución:
Hacemos el cambio [tex]t=x^{4}[/tex]: [tex]t^{2}+at+a^{4}=0[/tex].
Cuatro raíces reales exigen dos raíces positivas distintas [tex]0\lt t_{1}\lt t_{2}[/tex]; entonces las raíces reales son [tex]-q; -p; p; q[/tex], donde [tex]p=\sqrt[4]{t_{1}}; q=\sqrt[4]{t_{2}}[/tex].
Forman una progresión aritmética cuando [tex]q-p=2p\iff q=3p\iff t_{2}=81t_{1}[/tex].
Por las fórmulas de Vieta, [tex]t_{1}t_{2}=81t_{1}^{2}=a^{4}\Rightarrow t_{1}=\dfrac{a^{2}}{9}; t_{2}=9a^{2}[/tex].
Además, [tex]t_{1}+t_{2}=\dfrac{82a^{2}}{9}=-a\Rightarrow a=-\dfrac{9}{82}[/tex] (pues [tex]a\ne 0[/tex]).

Solución:
Debe ser [tex]x\ge 0[/tex], y [tex]x=0[/tex] da [tex]d=0[/tex], así que [tex]x\gt 0[/tex].
Sea [tex]x=t^{12}; t\gt 0[/tex]; los números son [tex]t^{6}; t^{4}; t^{3}[/tex].
La condición es [tex]2t^{4}=t^{6}+t^{3}\iff t^{3}-2t+1=0\iff (t-1)(t^{2}+t-1)=0[/tex].
La raíz [tex]t=1[/tex] da [tex]d=0[/tex], así que [tex]t=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex].
[tex]t^{2}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}; t^{4}=\dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}[/tex]
[tex]x=\left(t^{4}\right)^{3}=161-72\sqrt{5}[/tex]

Solución:
Dividimos entre [tex]d^{2}[/tex] y tomamos [tex]y=\dfrac{a_{1}}{d}[/tex]; entonces [tex]\dfrac{a_{k}}{d}=y+k-1[/tex] y la condición se convierte en la ecuación cuadrática
[tex](n-2)y^{2}+(n-1)(n-4)y+\dfrac{(n-1)(2n^{2}-13n+12)}{6}=0[/tex]
Su discriminante es [tex]D=-\dfrac{n(n-1)(n^{2}-7n+4)}{3}[/tex], así que existe [tex]y[/tex] real solo si [tex]n^{2}-7n+4\le 0[/tex], es decir, [tex]n\le\dfrac{7+\sqrt{33}}{2}\lt 7[/tex].
El término independiente nunca es [tex]0[/tex] para [tex]n[/tex] natural, así que [tex]y\ne 0[/tex] y [tex]a_{1}\ne 0[/tex]. Por lo tanto, [tex]n\in\{3; 4; 5; 6\}[/tex]; por ejemplo, para [tex]n=3[/tex] sirve la progresión [tex]3; 4; 5[/tex].