Progresiones aritméticas - problemas y soluciones

Solución:
Según las propiedades de una progresión aritmética, sabemos que para cualquier entero positivo [tex]m < k[/tex] lo siguiente es verdadero: [tex]\frac{a_{k+m}+a_{k-m}}{2}=a_{\frac{k+m+k-m}{2}}=a_k=0[/tex] . Pero [tex]S_{2k-1}=a_{k-(k-1)}+a_{k-(k-2)}+...+a_{k+(k-2)}+a_{k+(k-1)}=a_{k-(k-1)}+a_{k + (k-1)} +a_{k-(k-2)}+a_{k+(k-2)}+...+a_k=0+0+...+0=0[/tex]

Solución:
Denotemos el número que se cuenta en el lado izquierdo como n. El valor del lado izquierdo es la suma de la progresión aritmética, definida como [tex]a_1=1[/tex], [tex]d=3[/tex]. Sabemos que por elección nuestra n, [tex]a_n=x[/tex], o [tex]1+(n-1)\cdot 3=x[/tex] y [tex]n=\frac{x+2}{3}[/tex].
[tex]S_n=\frac{2a_1+(n-1)\cdot d}{2}\cdot n=\frac{2\cdot 1+(n-1)\cdot 3}{2}\cdot n[/tex]. Ahora sustituimos [tex]n-1[/tex] y [tex]n[/tex] con las respectivas funciones de x:
[tex]S_n=\frac{2+x-1}{2}\cdot \frac{x+2}{3}=\frac{(x+1)(x+2)}{6}[/tex]
[tex]\frac{(x+1)(x+2)}{6}=925[/tex]
[tex]x^2+3x+2=5550[/tex]
[tex]x^2+3x-5548=0[/tex]: [tex]D=9+4\cdot 5548=22201=149^2[/tex]
X es obviamente positivo, por lo que no contamos la raíz negativa de la ecuación y tenemos
[tex]x=\frac{-3+149}{2}=\frac{146}{2}=73[/tex]

Solución:
Sabemos que para cualquier [tex] k \ en [0; 99] [/tex]: [tex] a_ {k + 1} = 3k + 5 [/tex] y para cualquier [tex] l [/tex] en el mismo intervalo, [tex] b_ {l + 1} = 4l + 3 [/tex]. Buscamos el número de ocurrencias [tex] a_ {k + 1} = b_ {l + 1} [/tex] para cualquier k, l en el intervalo dado. Esto es equivalente a
[tex] 3k + 5 = 4l + 3 [/tex]
[tex] 4l = 3k + 2 [/tex]
[tex] l = \frac{3k + 2}{4} [/tex]. Ahora tenemos l en función de k. Para los valores dados, [tex]l=\frac{3k + 2}{4} \le \frac{3.99+2}{4}<75[/tex], por lo que no saldremos de los límites de l. Por definición, l es un número entero, por lo que debería ser [tex] \frac{3k + 2}{4} [/tex]. Así que estamos buscando los valores de k entre 0 y 99, para los cuales [tex] \frac{3k + 2}{4} [/tex] es un número entero. Entonces lo siguiente debe ser verdadero: [tex]3k+2 \equiv 0 (mod 4)[/tex]
[tex]3k+2-4k \equiv 0(mod 4)[/tex]
[tex]2-k \equiv 0 (mod 4)[/tex]
[tex]k \equiv 2 (mod 4)[/tex].
Estos números son la secuencia [tex] 2,6,10, ..., 98 [/tex] y su recuento es 25.

Solución:
Denotemos [tex]C=\frac{a_{2n}+a_{2n-1}+...+a_{n+1}}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}[/tex]. Sumando [tex]1[/tex] a ambos lados, obtenemos
[tex]C+1=\frac{a_{2n}+a_{2n-1}+...+a_{n+1}}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}+\frac{a_n+a_{n-1}+...+a_1}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}=\frac{a_{2n}+a_{2n-1}+...+a_1}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}=\frac{S_{2n}}{S_n}[/tex]. Como [tex]C[/tex] es constante, entonces [tex]C+1[/tex] también es constante. Por lo tanto, [tex]\frac{S_{2n}}{S_n}[/tex] no debe depender de n. Pero
[tex]\frac{S_{2n}}{S_n}=\frac{\frac{2a_1+(2n-1).d}{2}.2n}{\frac{2a_1+(n-1).d}{2}n}=2\frac{2+(2n-1)d}{2+(n-1)d}[/tex].
Denotemos [tex]\frac{C+1}{2}=R[/tex], lo cual es también constante. Tenemos
[tex]\frac{2+(2n-1)d}{2+(n-1)d}=R[/tex]
[tex]2R+(n-1).d.R=2+(2n-1).d[/tex]
[tex]2R+n.d.R-d.R=2+2n.d-d[/tex]
[tex]n.d(R-2)=d.R-2R-d+2=R(d-2)-(d-2)=(R-1)(d-2)[/tex]. Esto debe ser verdadero para cualquier n. Asumamos que ambos lados son no nulos. El lado izquierdo cambia por [tex]n[/tex], mientras que el lado derecho no, lo que quiere decir que ellos serán desiguales en algún punto. Por lo tanto ambos lados deben ser cero. [tex]n[/tex] y [tex]d[/tex] son no nulos (como [tex]\{a_n\}[/tex] es una progresión no constante), así que para que el lado izquierdo sea cero, R debe ser 2. Lo cual nos lleva a
[tex]0=1\cdot (d-2)[/tex], lo que significa que [tex]d[/tex] también debe ser 2. La progresión aritmética está ahora definida, por [tex]a_1=1[/tex], [tex]d=2[/tex] y [tex]a_{15}=a_1+14\cdot d=1+14\cdot 2=29[/tex]