Progresiones aritméticas - problemas difíciles y soluciones

Solución:
La fórmula para el noveno término de una progresión aritmética es [tex] a_n = a_1 + (n-1) d [/tex]. Al sustituir con n = 8, obtenemos [tex] a_8 = 1 + (8-1) \cdot 4 = 1 + 7 \cdot 4 = 29 [/tex]

Solución:
[tex]a_3=a_1+2d[/tex], por tanto [tex]d=\frac{a_3-a_1}{2}=\frac{15-5}{2}=5[/tex]

Solución:
[tex]a_{\frac{5+1}{2}}=\frac{a_5+a_1}{2}[/tex], o [tex]a_3=\frac{2+14}{2}=8[/tex]

Solución:
Para cualquier progresión aritmética, [tex]\frac{a_{m}+a_{n}}{2}=a_{\frac{m+n}{2}}[/tex]. Para m=2 y n=4: [tex]\frac{a_2+a_4}{2}=a_3[/tex], así que [tex]a_2+a_4=2 \times a_3[/tex]. Sustituyendo en la relación dada, tenemos [tex]3 \times a_3=54[/tex] o [tex]a_3=18[/tex]

Solución:
[tex]a_1+a_2+a_3=a_1+a_1+d+a_1+2d=3a_1+3d=102[/tex], por lo tanto [tex]a_1+d=34[/tex]. [tex]d=34-a_1=34-15=19[/tex]. Sabemos que [tex]a_{10}=a_1+9d=15+9 \times 19=15+171=186[/tex]

Solución:
[tex](a_3+a_{23})+(a_8+a_{18})+(a_{10}+a_{16})=2a_{13}+2a_{13}+2a_{13}=6a_{13}[/tex], dado que [tex]3+23=8+18=10+16=26=13 \times 2[/tex].
[tex]6a_{13}=126[/tex], así que [tex]a_{13}=21[/tex].
[tex]S_{25}=\frac{a_1+a_{25}}{2}\cdot 25=25\cdot a_{13}=25\cdot 21=525[/tex]

Solución:
Sabemos que [tex]S_5=\frac{2a_1+(5-1)d}{2} \times 5=\frac{2 \times 9+4d}{2} \times 5=(9+2d) \times 5=45+10d=15[/tex], por lo que [tex]10d=-30[/tex] y [tex]d=-3[/tex]

Solución:
[tex]a_1^2+a_2^2=a_1^2+2a_1a_2+a_2^2-2a_1a_2=(a_1+a_2)^2-2a_1a_2=5^2-2a_1a_2=13[/tex], por lo tanto [tex]a_1a_2=6[/tex].
Por otro lado, [tex]13=a_1^2+a_2^2=a_1^2-2a_1a_2+a_2^2+2a_1a_2=(a_1-a_2)^2+12[/tex], así que [tex](a_1-a_2)^2=1[/tex] y [tex]|a_1-a_2|=\sqrt{1}=1[/tex]

Solución:
[tex]6a_{6}=9a_{9}\iff 6(a_{1}+5d)=9(a_{1}+8d)\iff -3a_{1}=42d\iff a_{1}=-14d[/tex]
[tex]a_{15}=a_{1}+14d=-14d+14d=0[/tex]

Solución:
Las distancias recorridas para cada hora forman una progresión aritmética con [tex]a_1=15km[/tex] y [tex]d=-1 km[/tex]. Debemos tener en cuenta que solo permitimos valores para n, para los cuales [tex]a_n[/tex] es positivo (ya que el ciclista no va hacia atrás), o [tex]n \le 15[/tex] (dado que [tex]a_{16}=0[/tex]
Buscamos [tex]n[/tex], para el cual la suma [tex]a_1+a_2+\dots + a_n=54km[/tex]. Pero [tex]a_1+a_2+\dots+a_n=S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2} \times n[/tex]. Sustituyendo por [tex]a_1[/tex] y [tex]d[/tex], obtenemos
[tex]\frac{2\cdot 15km+(n-1) \times (-1 km)}{2} \times n=54km[/tex] / [tex]: km[/tex]
[tex]\frac{30-n+1}{2} \times n=54[/tex]
[tex]31n-n^2=108[/tex]
[tex]n^2-31n+108=0[/tex]: [tex]D=31^2-4 \times 108=529=23^2[/tex], tenemos dos valores para [tex]n[/tex]: [tex]n_1=\frac{31+23}{2}=27[/tex] y [tex]n_2=\frac{31-23}{2}=4[/tex]. Pero hemos demostrado que [tex]n \le 15[/tex], por lo que [tex]n=4[/tex] queda como la única solución.

Solución:
[tex]a_8-a_5=a_1+7d-a_1-4d=3d=6[/tex], así, [tex]d=2[/tex]. De [tex]a_1+a_5=a_1+a_1+4d=2a_1+8=22[/tex] obtenemos [tex]a_1=7[/tex]. [tex]S_3=\frac{2a_1+2 \times d}{2} \times 3=(a_1+d) \times 3=(7+2) \times 3=27[/tex]

Solución:
[tex]a_{10}=a_{5}+5\cdot d[/tex], o [tex]15=5+5\cdot d[/tex], en consecuencia [tex]d=2[/tex].
[tex]a_{5}=a_1+4\cdot d[/tex] =>
[tex]5=a_1+4\cdot 2[/tex], lo que significa que [tex]a_1=-3[/tex].

Solución:
El término central es la media de sus vecinos: [tex]2\sqrt{x+2}=(x-3)+2=x-1[/tex], lo que exige [tex]x\ge 1[/tex].
Elevamos al cuadrado: [tex]4(x+2)=x^{2}-2x+1\iff x^{2}-6x-7=0[/tex].
Las raíces son [tex]x=7[/tex] y [tex]x=-1[/tex]; solo [tex]x=7[/tex] cumple [tex]x\ge 1[/tex].
Comprobación: [tex]4; 3; 2[/tex] es una progresión aritmética.

Solución:
De [tex]a_{13}=3a_{3}[/tex]: [tex]a_{1}+12d=3a_{1}+6d\Rightarrow a_{1}=3d[/tex].
La división significa que [tex]a_{18}=2a_{7}+8[/tex]:
[tex]a_{1}+17d=2a_{1}+12d+8\Rightarrow 5d-a_{1}=8[/tex]
[tex]2d=8\Rightarrow d=4; a_{1}=12[/tex]
Comprobación: [tex]a_{7}=36; a_{18}=80=2\times 36+8; 8\lt 36[/tex].
[tex]a_{20}=12+19\times 4=88[/tex]

Solución:
Sea la altura [tex]h[/tex], el lado igual [tex]h+d[/tex] y la base [tex]h+2d[/tex]. La altura divide la base por la mitad, así que
[tex](h+d)^{2}=h^{2}+\dfrac{(h+2d)^{2}}{4}\iff 4hd=h^{2}\iff h=4d[/tex]
Entonces el lado igual es [tex]5d[/tex], la base [tex]6d[/tex] y el área [tex]\dfrac{6d\times 4d}{2}=12d^{2}=12[/tex], es decir, [tex]d=1[/tex].
Los lados miden [tex]5; 5; 6[/tex].

Solución:
Sean los ángulos [tex]\alpha\le\beta\le\gamma[/tex]. Entonces
[tex]\alpha+\gamma=2\beta; 3\beta=180^{\circ}\Rightarrow\beta=60^{\circ}; \gamma=120^{\circ}-\alpha[/tex]
Por el teorema de los senos, [tex]\operatorname{sen} \gamma=2\operatorname{sen} \alpha[/tex], es decir,
[tex]\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha+\dfrac{1}{2}\operatorname{sen} \alpha=2\operatorname{sen} \alpha\iff\tan \alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\iff\alpha=30^{\circ}[/tex]
Los ángulos son [tex]30^{\circ}; 60^{\circ}; 90^{\circ}[/tex].

Solución:
[tex]a_{5}a_{7}-a_{4}a_{9}=(a_{1}+4d)(a_{1}+6d)-(a_{1}+3d)(a_{1}+8d)=-a_{1}d[/tex]
Por lo tanto, [tex]a_{1}d=-60[/tex]. De [tex]a_{11}=25[/tex] se obtiene [tex]a_{1}=25-10d[/tex]:
[tex](25-10d)d=-60\iff 2d^{2}-5d-12=0[/tex]
[tex]d=4\ (a_{1}=-15)[/tex] o [tex]d=-\dfrac{3}{2}\ (a_{1}=40)[/tex]

Solución:
Escribimos los números como [tex]a-3x; a-x; a+x; a+3x[/tex]. Su suma es [tex]4a=1[/tex], así que [tex]a=\dfrac{1}{4}[/tex].
En la suma de cubos se anulan las potencias impares de [tex]x[/tex] y queda [tex]4a^{3}+60ax^{2}[/tex]:
[tex]\dfrac{1}{16}+15x^{2}=\dfrac{1}{10}\iff x^{2}=\dfrac{1}{400}\iff x=\pm\dfrac{1}{20}[/tex]
Los números son [tex]\dfrac{1}{10}; \dfrac{1}{5}; \dfrac{3}{10}; \dfrac{2}{5}[/tex] (en orden creciente o decreciente).

Solución:
La condición es [tex]2S_{k}=S_{2k}-S_{k}[/tex], es decir, [tex]3S_{k}=S_{2k}[/tex]:
[tex]3\left(ka_{1}+\dfrac{k(k-1)}{2}d\right)=2ka_{1}+k(2k-1)d\iff a_{1}=\dfrac{(k+1)d}{2}[/tex]
[tex]S_{k}=ka_{1}+\dfrac{k(k-1)}{2}d=k^{2}d[/tex]
[tex]S_{3k}=3ka_{1}+\dfrac{3k(3k-1)}{2}d=6k^{2}d[/tex]
Los números son distintos, así que [tex]d\ne 0[/tex] y [tex]\dfrac{S_{3k}}{S_{k}}=6[/tex].

Solución:
Los números [tex]1; 4; \ldots; 28[/tex] forman una progresión aritmética con [tex]d=3[/tex] y [tex]\dfrac{28-1}{3}+1=10[/tex] términos, así que el miembro izquierdo tiene [tex]10[/tex] sumandos.
[tex]1+4+\ldots+28=\dfrac{10(1+28)}{2}=145[/tex]
[tex]1+3+\ldots+19=\dfrac{10(1+19)}{2}=100[/tex]
[tex]145-100x=29x-20x^{2}\iff 20x^{2}-129x+145=0[/tex]
[tex]x_{1}=5; x_{2}=\dfrac{29}{20}[/tex]

Solución:
El grupo número [tex]k[/tex] contiene los números desde [tex](k-1)^{2}+1[/tex] hasta [tex]k^{2}[/tex]. Forman una progresión aritmética con [tex]d=1[/tex] y [tex]k^{2}-(k-1)^{2}=2k-1[/tex] términos.
[tex]S=\dfrac{(2k-1)\left((k-1)^{2}+1+k^{2}\right)}{2}=(2k-1)(k^{2}-k+1)[/tex]
[tex](2k-1)(k^{2}-k+1)=2k^{3}-3k^{2}+3k-1=k^{3}+(k-1)^{3}[/tex]

Solución:
La condición es [tex]2\operatorname{sen} 2x=\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} 3x[/tex]. Como [tex]\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} 3x=2\operatorname{sen} 2x\cos x[/tex],
[tex]2\operatorname{sen} 2x(1-\cos x)=0[/tex]
O bien [tex]\operatorname{sen} 2x=0\iff x=\dfrac{k\pi}{2}[/tex], o bien [tex]\cos x=1\iff x=2k\pi[/tex], que ya está incluido en la primera serie.
[tex]x=\dfrac{k\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z}[/tex]

Solución:
Para todo [tex]k[/tex]: [tex]\dfrac{S_{k}}{k}=a_{1}+\dfrac{(k-1)d}{2}[/tex]. Por lo tanto,
[tex]\dfrac{n}{m}=a_{1}+\dfrac{(m-1)d}{2}; \dfrac{m}{n}=a_{1}+\dfrac{(n-1)d}{2}[/tex]
Restando: [tex]\dfrac{n^{2}-m^{2}}{mn}=\dfrac{(m-n)d}{2}\Rightarrow\dfrac{d}{2}=-\dfrac{m+n}{mn}[/tex].
[tex]\dfrac{S_{m+n}}{m+n}=a_{1}+\dfrac{(m-1)d}{2}+\dfrac{nd}{2}=\dfrac{n}{m}-\dfrac{m+n}{m}=-1[/tex]
[tex]S_{m+n}=-(m+n)[/tex]

Solución:
Sea [tex]d=x_{2}-x_{1}\gt 0[/tex]. Por las fórmulas de Vieta, [tex]p=x_{1}+x_{2}=2x_{1}+d[/tex].
[tex]p+3=x_{1}+2d\Rightarrow x_{1}=d-3; x_{2}=2d-3[/tex]
El cuarto término da [tex]q+3=x_{1}+3d=4d-3[/tex] y, por Vieta, [tex]q=x_{1}x_{2}=(d-3)(2d-3)[/tex]:
[tex](d-3)(2d-3)=4d-6\iff 2d^{2}-13d+15=0[/tex]
[tex]d=5\Rightarrow p=9; q=14[/tex]
[tex]d=\dfrac{3}{2}\Rightarrow p=-\dfrac{3}{2}; q=0[/tex]

Solución:
Agrupamos los términos de dos en dos: [tex](2k-1)^{2}-(2k)^{2}=-\left((2k-1)+2k\right)[/tex]. Así, la suma es igual a
[tex]-(1+2+3+\ldots+50)=-\dfrac{50\times 51}{2}=-1275[/tex]