Problemas usando fórmulas de Vieta - problemas y soluciones

Solución:
El discriminante es [tex]D=(-7)^2-4\times 1\times(-44)=49+176=225>0[/tex], así que la ecuación tiene dos raíces reales distintas.
Por las fórmulas de Vieta:
[tex]x_1+x_2=-\frac{b}{a}=7[/tex]
[tex]x_1x_2=\frac{c}{a}=-44[/tex]
Comprobación: las raíces son [tex]11[/tex] y [tex]-4[/tex]; en efecto, [tex]11+(-4)=7[/tex] y [tex]11\times(-4)=-44[/tex].

Solución:
Por el recíproco del teorema de Vieta, los números [tex]x_1[/tex] y [tex]x_2[/tex] son raíces de [tex]x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0[/tex].
[tex]x_1+x_2=-8+5=-3[/tex]
[tex]x_1x_2=-8\times 5=-40[/tex]
La ecuación buscada es [tex]x^2+3x-40=0[/tex].

Solución:
De las fórmulas de Vieta tenemos [tex]-(x_1+x_2)=-54[/tex], así [tex]x_1+x_2=54[/tex]. Sustituimos [tex]x_1[/tex] por su valor y obtenemos [tex]2+x_2=54[/tex], por tanto [tex]x_2=52[/tex].

Solución:
Si dos números tienen suma [tex]24[/tex] y producto [tex]128[/tex], por el recíproco del teorema de Vieta son las raíces de
[tex]t^2-24t+128=0[/tex].
[tex]D=24^2-4\times 128=576-512=64[/tex], [tex]\sqrt{D}=8[/tex]
[tex]t_{1,2}=\frac{24\pm 8}{2}[/tex], es decir, [tex]t_1=16[/tex], [tex]t_2=8[/tex].
Los números son [tex]8[/tex] y [tex]16[/tex].

Solución:
Por las fórmulas de Vieta, las raíces deben cumplir
[tex]x_1+x_2=2m-1[/tex] y [tex]x_1x_2=m^2-m=m(m-1)[/tex].
Los números [tex]m[/tex] y [tex]m-1[/tex] cumplen ambas condiciones: [tex]m+(m-1)=2m-1[/tex] y [tex]m(m-1)=m^2-m[/tex].
Por el recíproco del teorema de Vieta, las raíces son [tex]x_1=m[/tex] y [tex]x_2=m-1[/tex].

Solución:
[tex]D=6^2-4\times 3\times(-16)=36+192=228>0[/tex], así que hay dos raíces reales distintas.
[tex]x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{16}{3}<0[/tex], luego las raíces tienen signos opuestos.
[tex]x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2<0[/tex], luego la raíz negativa tiene mayor valor absoluto.

Solución:
Desarrollamos y agrupamos:
[tex]x_1(x_2-2)+x_2(x_1-2)=2x_1x_2-2(x_1+x_2)[/tex].
[tex]D=9+20=29>0[/tex] y, por las fórmulas de Vieta, [tex]x_1+x_2=3[/tex], [tex]x_1x_2=-5[/tex].
El valor es [tex]2\times(-5)-2\times 3=-10-6=-16[/tex].

Solución:
Sea [tex]x_2=5x_1[/tex]. Por las fórmulas de Vieta:
[tex]x_1+x_2=-\frac{36}{3}=-12[/tex], así que [tex]6x_1=-12[/tex], [tex]x_1=-2[/tex], [tex]x_2=-10[/tex].
[tex]x_1x_2=-\frac{m}{3}[/tex], así que [tex](-2)\times(-10)=20=-\frac{m}{3}[/tex].
Por lo tanto, [tex]m=-60[/tex].

Solución:
Por las fórmulas de Vieta, [tex]x_1+x_2=9[/tex], así que [tex]x_2=9-x_1[/tex].
Sustituimos: [tex]4x_1+3(9-x_1)=34[/tex], de donde [tex]x_1+27=34[/tex], [tex]x_1=7[/tex] y [tex]x_2=2[/tex].
Entonces [tex]q=x_1x_2=7\times 2=14[/tex].

Solución:
Por las fórmulas de Vieta, [tex]x_1+x_2=8[/tex], así que la otra raíz es [tex]x_2=8-(4-\sqrt{3})=4+\sqrt{3}[/tex].
Entonces [tex]x_1x_2=(4-\sqrt{3})(4+\sqrt{3})=16-3=13[/tex].
Como [tex]x_1x_2=13c[/tex], resulta [tex]13c=13[/tex], es decir, [tex]c=1[/tex].

Solución:
Las raíces tienen signos opuestos exactamente cuando su producto es negativo: [tex]x_1x_2=2k+3<0[/tex], es decir, [tex]k<-\frac{3}{2}[/tex].
No hace falta comprobar el discriminante aparte: si [tex]\frac{c}{a}<0[/tex], entonces [tex]-4ac>0[/tex] y [tex]D=b^2-4ac>0[/tex] automáticamente.

Solución:
Sea [tex]x=-3+\sqrt{2}[/tex]. Entonces [tex]x+3=\sqrt{2}[/tex]; al elevar al cuadrado: [tex]x^2+6x+9=2[/tex], es decir, [tex]x^2+6x+7=0[/tex].
Comprobación con las fórmulas de Vieta: la otra raíz es [tex]-3-\sqrt{2}[/tex];
[tex](-3+\sqrt{2})+(-3-\sqrt{2})=-6=-p[/tex]
[tex](-3+\sqrt{2})(-3-\sqrt{2})=9-2=7=q[/tex]
Respuesta: [tex]x^2+6x+7=0[/tex].

Solución:
[tex]D=25+96=121>0[/tex]. Por las fórmulas de Vieta, [tex]x_1+x_2=\frac{5}{4}[/tex] y [tex]x_1x_2=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}[/tex].
Las nuevas raíces son [tex]y_1=2x_1[/tex], [tex]y_2=2x_2[/tex]:
[tex]y_1+y_2=2(x_1+x_2)=\frac{5}{2}[/tex]
[tex]y_1y_2=4x_1x_2=-6[/tex]
La ecuación es [tex]y^2-\frac{5}{2}y-6=0[/tex], o bien, multiplicando por [tex]2[/tex]: [tex]2y^2-5y-12=0[/tex].

Solución:
Identifica los coeficientes de la ecuación dada. La ecuación cuadrática es $2x^{2}+5x+3=0$.
Comparándola con la forma estándar $ax^{2}+bx+c=0$, obtenemos: $a=2$, $b=5$, $c=3$.

Usa las fórmulas de Viète para encontrar la suma y el producto de las raíces.

Suma de las raíces: $\alpha +\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{5}{2}$

Producto de las raíces: $\alpha \beta =\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$

Expresa el valor deseado en términos de la suma y el producto de las raíces.
Queremos hallar $\frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha }$.
Combinamos las fracciones: $\frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha }=\frac{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}{\alpha \beta }$.

Usamos la identidad $(\alpha +\beta )^{2}=\alpha ^{2}+2\alpha \beta +\beta ^{2}$ para reescribir el numerador: $\alpha ^{2}+\beta ^{2}=(\alpha +\beta )^{2}-2\alpha \beta $.

Sustituimos: $\frac{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}{\alpha \beta }=\frac{(\alpha +\beta )^{2}-2\alpha \beta }{\alpha \beta }$.

Sustituimos los valores: $\frac{(-\frac{5}{2})^{2}-2(\frac{3}{2})}{\frac{3}{2}}$.

Simplificamos: $\frac{\frac{25}{4}-\frac{6}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{\frac{25}{4}-\frac{12}{4}}{\frac{3}{2}}=\frac{\frac{13}{4}}{\frac{3}{2}}$.

Dividimos multiplicando por el recíproco: $\frac{13}{4}\times \frac{2}{3}=\frac{26}{12}$.

Reducimos la fracción: $\frac{26}{12}=\frac{13}{6}$.

Solución:
$\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{-10}{1} = 10$

$\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{5}{1} = 5$

$\alpha^2+\beta^2 = (\alpha + \beta )^2 - 2\alpha\beta= 10^2- 2\cdot5= 100 - 10$

$\alpha^2+\beta^2 = 90$

$\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2\beta + \alpha\beta^2}= \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta(\alpha + \beta)}= \frac{90}{5\times 10}= \frac{90}{50}= 1{,}8$