Coordenadas polares y ecuaciones en forma polar - problemas y soluciones

Solución:
Utilizamos las ecuaciones de transformación:

$x=r\cos\theta$
$y=r\sen \theta $
donde $r=0$ $\theta =\frac{\pi}{2}$

$x=0\cdot \cos(\frac{\pi}{2})=0$

$y=0\cdot \sen (\frac{\pi}{2})=0$

Entonces, $(0,\frac{\pi}{2})$ es equivalente a $(0,0)$ en coordenadas cartesianas.

Solución:
Respuesta: $(-\sqrt{2},\frac{\pi}{4})\equiv (-1,-1)$

Usamos las ecuaciones de transformación
$x=r\cos\theta$
$y=r\sen\theta $   where $r=-\sqrt{2}\qquad \theta =\pi /4$

$x=-\sqrt{2}\cdot \cos(\pi /4)=-\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=-1$
$y=-\sqrt{2}\cdot \sen (\pi /4)=-\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=-1$

El punto en coordenadas cartesianas es $(-1,-1)$.

Solución:
$y=10\Longrightarrow y=r\sen\theta $ $=10\Longrightarrow r=\frac{10}{\sen\theta }=10\csc \theta $

Solución:
Respuesta: $r^{2}\left( \cos 2\theta \right) =4$

Usamos las ecuaciones de transformación
$x=rcos\theta \qquad y=r\sen\theta$

$x^{2}-y^{2}=4\Longrightarrow \left( rcos\theta \right)^{2}-\left(r\sen\theta \right) ^{2}=4\Longrightarrow r^{2}\left( \cos ^{2}\theta -\sen^{2}\theta \right) =4$

$r^{2}\left( \cos 2\theta \right) =4$
Esta es una ecuación de una hipérbola, y aquí está su gráfica.

Solución:
Usamos las ecuaciones de transformación
$x=r\cos\theta \qquad y=r\sen\theta $

$y^{2}=4x$ $\Longrightarrow \left( r\sen\theta \right) ^{2}=4r\cos\theta \Longrightarrow r^{2}\sen^{2}\theta =4r\cos\theta \Longrightarrow r=4\frac{\cos \theta }{sen^{2}\theta }$

Esta es la ecuación de una parábola.

Solución:
$\theta =2\frac{\pi }{3};r\leq -2$

Este es el gráfico de un rayo que forma un ángulo de $2\frac{\pi}{3}$ con el eje $x$ positivo, pero va en la dirección opuesta comenzando en $-2.$

Solución:
Respuesta: $0\leq \theta \leq \pi \qquad r=-1$

Este es medio círculo que empieza en $\pi$ y llega hasta $2\pi$.
Sé que el intervalo comienza en $0$, pero $r$ es negativo.

Solución:
Respuesta: $-\frac{\pi }{4}\leq \theta \leq \frac{\pi }{4}\qquad -1\leq r\leq 1$

El gráfico de este conjunto de desigualdades son dos cuñas recortadas del círculo con radios de $-1$ y $1$, y todos los puntos en azul que están entre esos dos valores, delimitados por las líneas $\pm \frac{\pi }{4}$.

Solución:
Respuesta: $y=4$

$r\sen\theta =4\Longrightarrow y=4$

Dado que $y=r\sen \theta$ es la ecuación de transformación.

Esta es una ecuación de una línea horizontal que pasa por el punto $(0,4)$

Solución:
Respuesta: $y=x+4$

Usamos las ecuaciones de transformación
$x=r\cos\theta \qquad y=r\sen\theta$

Entonces $r\sen\theta =r\cos\theta +4 \Longrightarrow y=x+4$

Esta es una línea recta con pendiente $1$ y con la intersección en el eje $y$ en el punto $(0,4)$.

Solución:
Igualamos ambas ecuaciones
$r=\sen \theta$ y $r=\sen 2\theta$

entonces $\sen \theta = \sen 2\theta = 2\sen \theta \cos \theta \Longrightarrow 2\cos \theta = 1 \Longrightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$

Por lo tanto, $\theta = \arccos \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\pi , \frac{5}{3}\pi$

cuando $\theta = \frac{1}{3}\pi \Longrightarrow r=\sen \left( \frac{1}{3}\pi \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ y $r=\sen \left( \frac{2}{3}\pi \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

y cuando $\theta = \frac{5}{3}\pi \Longrightarrow r=\sen \left( \frac{5}{3}\pi \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ y $r=\sen \left( \frac{10}{3}\pi \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Los puntos de intersección son $\left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{3}\pi \right)$ y $\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{5}{3}\pi \right)$.

Solución:
Respuesta: Hipérbola, elipse.

$r=\frac{2}{1-2\sen \theta }$

Si comparamos cada uno de los términos en la ecuación dada en forma polar $r=\frac{ep}{1-e\sen\theta }$, podemos ver que $e=2$.

Por lo tanto, la sección cónica es una hipérbola.

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$r=\frac{3}{4+\cos \theta }=\frac{3/4}{1+1/4\cos \theta }$
y si comparamos con $r=\frac{ep}{1+e\sen\theta }$, entonces $e=\frac{1}{4}$

Por lo tanto, la sección cónica es una elipse.

Solución:
$r=\frac{4}{3-2\sen \theta }=\frac{4/3}{1-2/3\sen \theta }$
Vemos que $e=\frac{2}{3}$, entonces
La ecuación $r=\frac{4}{3-2\sen \theta}$ representa una elipse.

Solución:
La sección cónica representa una parábola cuyo eje es horizontal, ya que $r$ no está definido cuando $\theta = 0$

El vértice de la parábola es $\theta = \pi$
Vértice: $(\frac{1}{2}, \pi)$

Intersección con el eje $y$: $(1, \frac{\pi}{2});$ $(1, \frac{3\pi}{2})$

Solución:
Vemos que $e=2$.
Entonces, la ecuación $r=\frac{2}{1+2\cos \theta}$ representa una hipérbola,
cuyo eje es horizontal, a lo largo del eje $x$. Los vértices, que son los extremos del eje transversal de la hipérbola, son $\theta =0$ y $\theta =\pi$

Vértices: $(\frac{2}{3},0); \ \ (-2,\pi)$

Intersección con el eje $y$ en: $(2,\frac{\pi}{2}); \ \ (2,\frac{3\pi}{2})$