Integración por partes - problemas y soluciones

Solución:
$\int x^{3}\ln $ $x$ $dx$
Usando integración por partes, con $u=\ln $ $x,$ $dv=x^{3}dx.$
entonces $du=\frac{dx}{x}\qquad v=\int x^{3}dx=\frac{x^{4}}{4}$ y ahora aplicamos

$\int udv=uv-\int vdu=\frac{x^{4}}{4}\ln $ $x-\int \frac{x^{4}}{4}\frac{dx}{x}=\frac{x^{4}}{4}\ln $ $x-\frac{1}{4}\int x^{3}dx$
así $\int x^{3}\ln x dx=\frac{x^{4}}{4}\ln x-\frac{1}{16}x^{4}+C= x^{4}\left( \frac{1}{4}\ln x-\frac{1}{4}\right) +C$

Solución:
Si $u=4x+7,$ $dv=e^{x}dx$ entonces $du=4\qquad v=\int e^{x}dx=e^{x}$

así $\int udv=uv-\int vdu$ entonces $\int (4x+7)e^{x}dx=\left(4x+7\right) e^{x}-4\int e^{x}dx$

$\int (4x+7)e^{x}dx=\left( 4x+7\right) e^{x}-4e^{x}+C= \left(4x+3\right) e^{x}+C$

Solución:
Sea $u=x\qquad dv=\sen 3x$ $dx$ entonces $du=dx\qquad v=\int \sen 3x$ $dx$

$v=-\frac{1}{3}\cos 3x$ así $\int udv=uv-\int vdu$ y reemplazando

$\int x\sen 3x dx=-\frac{1}{3}x\cos 3x-\int -\frac{1}{3}\cos 3xdx=-\frac{1}{3}x\cos 3x+\frac{1}{3}\int \cos 3xdx=-\frac{1}{3}x\cos 3x+\frac{1}{9}\sen 3x+C$

Solución:
Cuando hacemos $u=x,$ $dv=\cos 4x dx$ obtenemos que
$du=dx\qquad v=\int \cos 4x$ $dx=\frac{1}{4}\sen 4x$
entonces si usamos la formula $\int udv=uv-\int vdu$ y reemplazando

$\int x\cos 4x$ $\ dx=\frac{1}{4}x\sen 4x-\frac{1}{4}\int \sen 4xdx$ entonces
$\int x\cos 4x dx=\frac{1}{4}x\sen 4x+\frac{1}{16}\cos 4x+C$

Solución:
$\int \cos ^{3}x\sen x dx=\int \cos ^{2}x\sen x\cos x dx$ y ahora hacemos

$\cos^{2}x=1-\sen ^{2}x$ \ so $\int \cos ^{3}x\sen x$ $dx=\int \left( 1-\sen ^{2}x\right) \sen x\cos x$ $dx=\int \left(\sen x-\sen^{3}x\right) \cos x dx$

y ahora $u=\sen x\Rightarrow du=\cos xdx$ entonces

$\int \cos ^{3}x\sen x$ $dx=\int udu-\int u^{3}du=\frac{u^{2}}{2}-\frac{u^{4}}{4}+C$

así $\int \cos ^{3}x\sen x$ $dx=\frac{\sen ^{2}x}{2}-\frac{\sen ^{4}x}{4}+C$

Solución:
$\int \cos ^{3}x\sen^{4}x$ $dx=\int \cos ^{2}x\sen^{4}x\cos x dx$ y ahora hacemos

$\cos ^{2}x=1-\sen^{2}x$

$\int \cos ^{3}x\sen ^{4}x$ $dx=\int \left( 1-\sen ^{2}x\right) \sen^{4}x\cos x$ $dx=\int \left( \sen^{4}x-\sen^{6}x\right) \cos x dx$

y ahora $u=\sen x\Rightarrow du=\cos xdx$ entonces

$\int \cos ^{3}x\sen^{4}x dx=\int u^{4}du-\int u^{6}du=\frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{7}}{7}+C$
así $\int \cos^{3}x\sen^{4}x$ $dx=\frac{\sen^{5}x}{5}-\frac{\sen^{7}x}{7}+C$

Solución:
$\int \sen ^{3}x\cos ^{2}x$ $dx=\int \sen ^{2}x\sen x\cos ^{2}x dx$ y puesto que

$\sen ^{2}x=1-\cos ^{2}x$ obtenemos
$\int \sen ^{3}x\cos ^{2}x$ $dx=\int \left( 1-\cos ^{2}x\right) \sen x\cos ^{2}xdx=\int \left( \cos^{2}x-\cos ^{4}x\right) \sen xdx$

y ahora podemos hacer $u=\cos x\qquad du=-\sen xdx$ así

$\int \sen ^{3}x\cos ^{2}x dx=-\int u^{2}du+\int u^{4}du=-\frac{u^{3}}{3}+\frac{u^{5}}{5}+C$

entonces $\int \sen ^{3}x\cos ^{2}x$ $dx=-\frac{\cos ^{3}x}{3}+\frac{\cos^{5}x}{5}+C$

Solución:
Podemos hacer que, $\int \sen^{3}x$ $dx=\int \sen^{2}x\sen x$ $dx=\int \left( 1-\cos ^{2}x\right) \sen x$ $dx$

entonces $\int \sen^{3}x$ $dx=\int \sen xdx-\int \cos^{2}x\sen x$ $dx$ \ y ahora hacemos la br /> sustitucion $u=\cos x$
$du=-\sen xdx$ así

$\int \sen^{3}x$ $dx=-\cos x+\int u^{2}du=-\cos x+\frac{u^{3}}{3}+C$

entonces $\int \sen^{3}x$ $dx=$ $-\cos x+\frac{\cos ^{3}x}{3}+C$

Solución:
Podemos hacer la siguiente sustitución
$u=x\qquad dv=e^{-2x}$ $dx$

así $du=dx\qquad v=\int e^{-2x}$ $dx=-\frac{1}{2}e^{-2x}$ entonces aplicamos

$\int udv=uv-\int vdu\Rightarrow \int xe^{-2x}$ $dx=-\frac{1}{2}xe^{-2x}-\int -\frac{1}{2}e^{-2x}dx$

así $\int xe^{-2x}$ $dx=-\frac{1}{2}xe^{-2x}+\frac{1}{2}\int e^{-2x}dx=-\frac{1}{2}xe^{-2x}-\frac{1}{4}e^{-2x}+C$

Solución:
$\int \frac{2x}{e^{x}}$ $dx=2\int xe^{-x}dx$

$\int udv=uv-\int vdu$

$u=x\qquad dv=e^{-x}dx\Rightarrow du=dx$ $v=\int e^{-x}dx=-e^{-x}$

$\int \frac{2x}{e^{x}}$ $dx=2\int xe^{-x}dx=2\left[ -xe^{-x}-\int -e^{-x}dx\right] =-2xe^{-x}-2e^{-x}+C$

$\int \frac{2x}{e^{x}}$ $dx=-e^{-x}\left[ 2x+2\right] +C$

Solución:
En este caso, debemos aplicar dos veces el método de integración por partes, para reducir el grado de la potencia de $x$, desde $2,1,0$
y simplificar la integral, así hacemos, $u=x^{2}\qquad dv=e^{x}$ $dx$
entonces $du=2xdx\qquad v=\int e^{x}$ $dx=e^{x}$ y reemplazamos en la fórmula $\int udv=uv-\int vdu$ así, $\int x^{2}e^{x}$ $dx=x^{2}e^{x}-2$

$\int xe^{x}dx$ debemos aplicar el método integración por partes en la nueva integral $\int xe^{x}dx$ con $u=x\qquad dv=e^{x}$ $dx$
$du=dx\qquad v=\int e^{x}$ $dx=e^{x}$

entonces $\int x^{2}e^{x}$ $dx=x^{2}e^{x}-2\left[ xe^{x}-\int e^{x}dx\right] =x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+C$

así $\int x^{2}e^{x}$ $dx=e^{x}\left[ x^{2}-2x+2\right] +C$

Solución:
Aquí la sustitución es $u=\ln (t+1)\qquad dv=tdt$ así
$du=\frac{1}{t+1}dt\qquad v=\int tdt=\frac{1}{2}t^{2}$ y reemplazando en la formula

$\int udv=uv-\int vdu$ obtenemos
$\int t$ $\ln (t+1)$ $dt=\frac{1}{2}t^{2}\ln (t+1)-\frac{1}{2}$

$\int \frac{t^{2}}{t+1}dt$ ahora para resolver la nueva integral debemos hacer la sustitución $z=t+1$
entonces $t=z-1$ y $dz=dt$, así $\int \frac{t^{2}}{t+1}dt=\int \frac{\left( z-1\right) ^{2}}{z}dz=\int \frac{z^{2}-2z+1}{z}dz=\int zdz-2\int dz+\int z^{-1}dz=\frac{z^{2}}{2}-2z+\ln (z)$ y ahora como $z=t+1$ entonces

$\int \frac{t^{2}}{t+1}dt=\frac{\left( t+1\right) ^{2}}{2}-2\left(t+1\right) +\ln (t+1)$ así $\int t\ln (t+1)dt=\frac{1}{2}t^{2}\ln (t+1)-\frac{1}{2}\left[ \frac{\left( t+1\right)^{2}}{2}-2\left( t+1\right) +\ln (t+1)\right] +C$

$\int t$ $\ln (t+1)$ $dt=\ln (t+1)\left[ \frac{1}{2}t^{2}-\frac{1}{2}\right] -\frac{1}{2}\left[ \frac{\left( t+1\right) ^{2}}{2}-2\left( t+1\right) \right] +C$

Solución:
En este caso hacemos, $u=\ln (x)\qquad dv=x^{-2}dx$ entonces
$du=\frac{dx}{x}\qquad v=\int x^{-2}dx=-x^{-1}$ y ahora reemplazamos en

$\int udv=uv-\int vdu$ entonces $\int \frac{\ln (x)}{x^{2}}dx=-\frac{\ln(x)}{x}+\int x^{-2}dx$ así

$\int \frac{\ln (x)}{x^{2}}dx=-\frac{\ln (x)}{x}-x^{-1}+C=-\frac{1}{x}\left( \ln x+1\right) +C$

Solución:
Debemos hacer $u=x\qquad dv=\cos x$ $dx$ así $du=dx$ y

$v=\int \cos x$ $dx=\sen x$ entonces si aplicamos la fórmula

$\int udv=uv-\int vdu$ obtenemos $\int x\cos x$ $dx=x\sen x-\int \sen xdx$ $\int x\cos x$ $dx=x\sen x+\cos x+C$

Solución:
Aquí $u=x\qquad dv=\sen xdx$
$du=dx$ y $v=\int \sen xdx$

$v=-\cos x$, ahora sustituimos en $\int udv=uv-\int vdu$ así

$\int x\sen x dx=-x\cos x+\int \cos xdx=-x\cos x+\sen x+C$

Solución:
En este caso, debemos aplicar dos veces el método de integración
por partes, para reducir el grado de la potencia de $x$, desde $2,1,0$
y simplificar la integral, así hacemos
$u=x^{2}\qquad dv=\sen x$ $dx$ entonces $du=2xdx\qquad v=-\cos x$ así $\int udv=uv-\int vdu$ $\int x^{2}\sen x$ $dx=-x^{2}\cos x-2\boxed{\int x\cos xdx}$ ahora
aplicamos integración por partes a esta integral $\int x\cos xdx=x\sen x-\int \sen xdx$

puesto que aquí $u=x\qquad dv=\cos xdx$ y $du=dx\qquad v=\sen x$

así, $\int x\cos xdx=x\sen x+\cos x$

$\int x^{2}\sen x$ $dx=-x^{2}\cos x-2\left( x\sen x+\cos x\right) +C$

Solución:
Aquí podemos encontrar una solución recursiva si $I=\int e^{2x}\sen x\ dx$
y aplicamos integración por partes, entonces $u=e^{2x}, dv=\sen x\ dx$

$du=2e^{2x}dx\qquad v=-\cos x$ so$\int udv=uv-\int vdu\Longrightarrow \int e^{2x}\sen x\ dx=-e^{2x}\cos x+2\int \cos xe^{2x}dx$ ahora de nuevo aplicamos integración por partes, así

$u=e^{2x},dv=\cos x\ dx$ entonces $du=2e^{2x}dx\qquad v=\sen x$ y reemplazando en la integral
$I=\int e^{2x}\sen x\ dx=-e^{2x}\cos x+2\boxed{\int \cos xe^{2x}dx}$ ahora aplicamos
integración por partes a esta integral $u=e^{2x}\qquad dv=\sen xdx$

$du=2e^{2x}dx\qquad v=-\cos x$

así, $I=\int e^{2x}\sen x\ dx=-e^{2x}\cos x+2\int -e^{2x}\cos xdx=-e^{2x}\cos x-2\int e^{2x}\cos xdx=-e^{2x}\cos x-2I$ entonces

$3I=-e^{2x}\cos x+C\Rightarrow I=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos x+C$

y finalmente $I=\int e^{2x}\sen x\ dx=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos x+C$

Solución:
$\int e^{-3x}\sen 5x$ $dx$ en este caso hacemos

$u=e^{-3x}\qquad dv=\sen 5x$ $dx$

$du=-\frac{1}{3}e^{-3x}dx\qquad v=-\frac{1}{5}\cos 5x$ entonces si
$I=\int e^{-3x}\sen 5x$ $dx$

$I=uv-vdu=-\frac{1}{5}e^{-3x}\cos 5x-\frac{1}{15}\int e^{-3x}\cos 5xdx$ de nuevo aplicamos integracion por partes a esta integral, así

$u=e^{-3x}\qquad dv=\cos 5x$ $dx\Longrightarrow du=-\frac{1}{3}e^{-3x}dx\qquad v=\frac{1}{5}\sen 5x$ entonces $I=uv-vdu=-\frac{1}{5}e^{-3x}\cos 5x-\frac{1}{15}\int e^{-3x}\cos 5xdx$

así $I=-\frac{1}{5}e^{-3x}\cos 5x-\frac{1}{15}\left[ \frac{1}{5}e^{-3x}\sen 5x+\frac{1}{15}\int e^{-3x}\sen 5xdx\right] $

entonces $I+\frac{1}{225}I=-\frac{1}{5}e^{-3x}\cos 5x-\frac{1}{75}e^{-3x}\sen 5x$ y ahora

$\frac{226}{225}I=-\frac{1}{5}e^{-3x}\cos 5x-\frac{1}{75}e^{-3x}\sen 5x$ así

$I=\frac{225}{226}\left[ -\frac{1}{5}e^{-3x}\cos 5x-\frac{1}{75}e^{-3x}\sen 5x\right] +C$

Solución:
Si $u=\tan x\Rightarrow du=\sec ^{2}xdx$ y
$\int \sec ^{2}x\tan x$ $dx=\int udu$

asi $\int \sec ^{2}x\tan x$ $dx=\frac{u^{2}}{2}+C=\boxed{\frac{\tan ^{2}x}{2}+C}$

Solución:
Hacemos $\int \tan^{2}x\sec^{2}x\sec^{2}x$ $dx$ y puesto que $\sec^{2}x=\tan^{2}x+1$


obtenemos $\int \tan ^{2}x\sec ^{4}x$ $dx=\ \int \tan ^{2}x\left( \tan ^{2}x+1\right) \sec^{2}x$ $dx=\int \left( \tan ^{4}x+\tan ^{2}x\right) \sec ^{2}x$ $dx$ podemos hacer ahora,

si $u=\tan x\Rightarrow du=\sec ^{2}xdx$ así

$\int \tan^{2}x\sec^{4}x dx=\int \left( u^{4}+u^{2}\right) du=\frac{u^{5}}{5}+\frac{u^{3}}{3}+C$ entonces
$\int \tan^{2}x\sec^{4}x$ $dx=\frac{\tan^{5}x}{5}+\frac{\tan ^{3}x}{3}+C$