Geometría

Fórmulas del triángulo

En el triángulo $ABC$ los lados son ${a=BC},$ ${b=CA},$ ${c=AB},$ y los ángulos en los vértices son $\alpha,$ $\beta$ y $\gamma.$ $R$ y $r$ son los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita, y ${p=\frac{a+b+c}{2}}$ es el semiperímetro.

Relaciones en un triángulo

Regla	Fórmula
Suma de los ángulos	${\alpha+\beta+\gamma=180^\circ}$
Desigualdad triangular	${|b-c|\lt a\lt b+c}$
Teorema del coseno	${a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha}$ ${b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta}$ ${c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$
Teorema del seno	${\frac{a}{\operatorname{sen}\alpha}}={\frac{b}{\operatorname{sen}\beta}}={\frac{c}{\operatorname{sen}\gamma}}={2R}$

Mediana

Regla	Fórmula
Longitud de las medianas	${m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}$ ${m_b=\frac12\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}$ ${m_c=\frac12\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}$
Baricentro	Las medianas se cortan en un punto $G,$ que divide a cada una en la razón ${2:1},$ contando desde el vértice: ${AG:GA_1=2:1}$

Más en la lección Mediana de un triángulo.

Bisectriz

Regla	Fórmula
Teorema de la bisectriz	${\frac{a}{b}=\frac{m}{n}}$ – la bisectriz divide el lado opuesto en partes proporcionales a los lados adyacentes
Longitud de la bisectriz	${l^2=ab-mn}$

Triángulo rectángulo

Aquí ${\gamma=90^\circ},$ $a$ y $b$ son los catetos, $c$ es la hipotenusa, ${h=CH}$ es la altura sobre la hipotenusa, y ${n=HB}$ y ${m=AH}$ son las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Regla	Fórmula
Teorema de Pitágoras	${c^2=a^2+b^2}$
Área	${S=\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}}$
Cateto y su proyección	${a^2=c\cdot n},$ ${b^2=c\cdot m}$
Altura sobre la hipotenusa	${h^2=n\cdot m},$ ${h=\frac{ab}{c}}$
Razones trigonométricas	${\operatorname{sen}\alpha=\frac{a}{c}},$ ${\cos\alpha=\frac{b}{c}},$ ${\tan\alpha=\frac{a}{b}},$ ${\cot\alpha=\frac{b}{a}}$
Radios	${R=\frac{c}{2}},$ ${r=\frac{a+b-c}{2}}$

Más en la lección Triángulos.

Fórmulas de áreas

Área de un triángulo

Regla	Fórmula
Un lado y la altura correspondiente	${S=\frac{c\cdot h_c}{2}}$
Dos lados y el ángulo comprendido	${S=\frac12ab\operatorname{sen}\gamma}$
Fórmula de Herón	${S}={\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$
Con el radio de la circunferencia inscrita	${S=p\cdot r}$
Con el radio de la circunferencia circunscrita	${S=\frac{abc}{4R}}$

Área de un paralelogramo

Regla	Fórmula
Un lado y la altura correspondiente	${S=a\cdot h_a=b\cdot h_b}$ – en la figura ${S=AB\cdot DE=BC\cdot DF}$
Dos lados y el ángulo entre ellos	${S=ab\operatorname{sen}\alpha}$
Rectángulo y cuadrado	${S=ab},$ ${S=a^2}$

Área de un cuadrilátero

Regla	Fórmula
Cuadrilátero convexo (incluido el paralelogramo)	${S=\frac12d_1d_2\operatorname{sen}\varphi},$ $\varphi$ – el ángulo entre las diagonales
Rombo, cuadrado y todo cuadrilátero con diagonales perpendiculares	${S=\frac{d_1d_2}{2}}$
Trapecio de bases $a,$ $b$ y altura $h$	${S=\frac{a+b}{2}\cdot h}$

Área de un polígono circunscrito

Regla	Fórmula
Polígono circunscrito a una circunferencia de radio $r$	${S=p\cdot r=\frac{P\cdot r}{2}},$ $P$ – el perímetro, $p$ – el semiperímetro

Circunferencia y círculo

Regla	Fórmula
Longitud de la circunferencia	${C=2\pi r}$
Área del círculo	${S=\pi r^2}$
Longitud de un arco de $\alpha^\circ$	${\ell=\frac{\pi r\alpha}{180}}$
Área de un sector circular de $\alpha^\circ$	${S=\frac{\pi r^2\alpha}{360}}$