Tipos de pares de ángulos

Muchas veces dos ángulos forman un par que tiene nombre propio. Algunos pares reciben su nombre de la posición de los ángulos (adyacentes, opuestos por el vértice), y otros, de la suma de sus medidas (complementarios, suplementarios). Cuando una recta corta a dos rectas paralelas se forman ocho ángulos, y sus pares cumplen unas reglas sencillas que se usan en toda la geometría.

En esta página: Ángulos adyacentes · Complemento y suplemento · Opuestos por el vértice · Paralelas y una transversal · ¿Cuándo son paralelas? · Ejemplos resueltos · Errores frecuentes · Ejercicios

Ángulos adyacentes

Los ángulos adyacentes son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común y que no se superponen: están situados a distinto lado del lado común.

En la figura, $\angle 1$ y $\angle 2$ son adyacentes: comparten el vértice $O$ y el lado $OB.$ Juntos forman el ángulo mayor $AOC,$ de modo que ${\angle AOC=\angle 1+\angle 2}.$

Ángulos complementarios y suplementarios

Los ángulos de $35^\circ$ y $55^\circ$ son complementarios, porque ${35^\circ+55^\circ=90^\circ}.$ No tienen por qué ser adyacentes: solo importa la suma. Cada uno de los dos ángulos es el complemento del otro. Del mismo modo, los ángulos de $60^\circ$ y $120^\circ$ son suplementarios, y cada uno de ellos es el suplemento del otro.

El complemento de un ángulo $\alpha$ es ${90^\circ-\alpha}$ y su suplemento es ${180^\circ-\alpha}.$ Solo los ángulos agudos tienen complemento.

Par lineal

Un par lineal está formado por dos ángulos adyacentes cuyos lados no comunes forman una recta. Los ángulos de un par lineal son suplementarios: ${\angle 1+\angle 2=180^\circ}.$

La razón es sencilla: entre los dos forman un ángulo llano, y un ángulo llano mide $180^\circ.$ En algunos libros de texto se llama adyacentes solo a los ángulos de un par lineal, y consecutivos a todos los que comparten el vértice y un lado.

Ejemplo 1. Hallar el complemento y el suplemento de un ángulo de $37^\circ.$

Solución. El complemento es ${90^\circ-37^\circ=53^\circ}$ y el suplemento es ${180^\circ-37^\circ=143^\circ}.$

Ejemplo 2. Dos ángulos forman un par lineal y uno de ellos es el cuádruple del otro. Hallar los ángulos.

Solución. Sea $x$ el ángulo menor. Entonces el mayor es $4x$ y ${x+4x=180^\circ},$ de donde ${5x=180^\circ}$ y ${x=36^\circ}.$ Los ángulos miden $36^\circ$ y ${4\cdot36^\circ=144^\circ}.$

Ángulos opuestos por el vértice

Dos rectas que se cortan forman cuatro ángulos. Los que quedan uno frente al otro, como $\angle 1$ y $\angle 3,$ se llaman ángulos opuestos por el vértice: no son adyacentes, y los lados de uno son las prolongaciones de los lados del otro más allá del vértice. El segundo par lo forman $\angle 2$ y $\angle 4.$

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales: ${\angle 1=\angle 3}$ y ${\angle 2=\angle 4}.$

Demostración

Los ángulos $\angle 1$ y $\angle 2$ forman un par lineal, así que ${\angle 1=180^\circ-\angle 2}.$ Los ángulos $\angle 3$ y $\angle 2$ también forman un par lineal, así que ${\angle 3=180^\circ-\angle 2}.$ Los segundos miembros son iguales, luego ${\angle 1=\angle 3}.$ Con el mismo razonamiento se obtiene ${\angle 2=\angle 4}.$

Ejemplo 3. Dos rectas se cortan y uno de los cuatro ángulos mide $68^\circ.$ Hallar los otros tres.

Solución. El ángulo opuesto por el vértice al dado también mide $68^\circ.$ Cada uno de los otros dos forma un par lineal con el ángulo dado, así que mide ${180^\circ-68^\circ=112^\circ}.$ Los cuatro ángulos miden $68^\circ,$ $112^\circ,$ $68^\circ$ y $112^\circ.$

Par	Los dos ángulos
Adyacentes	comparten el vértice y un lado y no se superponen
Complementarios	suman $90^\circ$
Suplementarios	suman $180^\circ$
Par lineal	son adyacentes y sus lados no comunes forman una recta; suman $180^\circ$
Opuestos por el vértice	quedan uno frente al otro donde se cortan dos rectas; son iguales

Pares de ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal

Una recta que corta a otras dos en dos puntos distintos se llama transversal (o secante). En la figura, la transversal $t$ corta a las rectas $m$ y $n$ y forma ocho ángulos, cuatro con cada recta.

Los ángulos situados entre las dos rectas, $\angle 3,$ $\angle 4,$ $\angle 5$ y $\angle 6,$ son ángulos internos. Los situados fuera de ellas, $\angle 1,$ $\angle 2,$ $\angle 7$ y $\angle 8,$ son ángulos externos. Los pares formados por un ángulo de la recta $m$ y otro de la recta $n$ que se usan en geometría tienen los siguientes nombres:

Nombre	Dónde están los dos ángulos	Pares en la figura
Ángulos correspondientes	al mismo lado de la transversal y en la misma posición respecto a su recta (los dos por encima de su recta o los dos por debajo)	$\angle 1$ y $\angle 5,$ $\angle 2$ y $\angle 6,$ $\angle 3$ y $\angle 7,$ $\angle 4$ y $\angle 8$
Ángulos alternos internos	entre las rectas, a distinto lado de la transversal	$\angle 3$ y $\angle 6,$ $\angle 4$ y $\angle 5$
Ángulos alternos externos	fuera de las rectas, a distinto lado de la transversal	$\angle 1$ y $\angle 8,$ $\angle 2$ y $\angle 7$
Ángulos conjugados internos (también llamados colaterales internos)	entre las rectas, al mismo lado de la transversal	$\angle 3$ y $\angle 5,$ $\angle 4$ y $\angle 6$
Ángulos conjugados externos	fuera de las rectas, al mismo lado de la transversal	$\angle 1$ y $\angle 7,$ $\angle 2$ y $\angle 8$

Estos nombres solo indican dónde están los ángulos, por lo que sirven para dos rectas cualesquiera y una transversal. Los pares resultan útiles cuando las dos rectas son paralelas. La notación ${m\parallel n}$ se lee «la recta $m$ es paralela a la recta $n$».

Por qué se cumplen estas reglas

Una de las reglas se acepta sin demostración: si dos rectas son paralelas, los ángulos correspondientes son iguales. (Esta regla equivale al postulado de las paralelas: por un punto exterior a una recta pasa una única recta paralela a ella.) Las demás reglas se deducen de esta. Sea ${m\parallel n}.$

Ángulos alternos internos. ${\angle 3=\angle 2}$ por ser opuestos por el vértice y ${\angle 2=\angle 6}$ por ser correspondientes, luego ${\angle 3=\angle 6}.$

Ángulos alternos externos. ${\angle 2=\angle 6}$ por ser correspondientes y ${\angle 6=\angle 7}$ por ser opuestos por el vértice, luego ${\angle 2=\angle 7}.$

Ángulos conjugados internos. Los ángulos $\angle 4$ y $\angle 2$ forman un par lineal, así que ${\angle 4+\angle 2=180^\circ}.$ Como ${\angle 2=\angle 6}$ por ser correspondientes, resulta ${\angle 4+\angle 6=180^\circ}.$

Ángulos conjugados externos. Los ángulos $\angle 2$ y $\angle 4$ forman un par lineal, así que ${\angle 2+\angle 4=180^\circ}.$ Como ${\angle 4=\angle 8}$ por ser correspondientes, resulta ${\angle 2+\angle 8=180^\circ}.$

Una regla rápida: ángulos agudos y obtusos

Cuando una transversal corta a dos rectas paralelas sin ser perpendicular a ellas, forma cuatro ángulos agudos iguales y cuatro ángulos obtusos iguales. Cualquiera de los ángulos agudos y cualquiera de los obtusos suman $180^\circ.$

Por eso basta con conocer un ángulo para hallar los ocho. Si la transversal es perpendicular a las rectas, los ocho ángulos son rectos.

Cómo demostrar que dos rectas son paralelas

Las reglas también valen en sentido contrario, y esta es la forma habitual de demostrar que dos rectas son paralelas.

Hay que fijarse en el sentido del razonamiento. Si se sabe que las rectas son paralelas, se puede concluir que los ángulos correspondientes son iguales. Si se sabe que dos ángulos correspondientes son iguales, se puede concluir que las rectas son paralelas. Si las rectas no son paralelas, los ángulos correspondientes no son iguales, y los alternos tampoco.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 4. En la figura, ${m\parallel n}$ y los ángulos están numerados como antes. Se conoce $\angle 1$ (el ángulo marcado con $53^\circ$). Hallar $\angle 8$ y $\angle 7.$

Solución. Los ángulos $\angle 1$ y $\angle 8$ son alternos externos: están fuera de las rectas paralelas y a distinto lado de la transversal. Por lo tanto, ${\angle 8=\angle 1=53^\circ}.$ Los ángulos $\angle 7$ y $\angle 8$ forman un par lineal, así que ${\angle 7=180^\circ-53^\circ=127^\circ}.$

Ejemplo 5. Hallar los ocho ángulos de la figura del ejemplo 4.

Solución. El ángulo $\angle 1$ es agudo, por lo que todos los ángulos agudos miden $53^\circ$ y todos los obtusos miden ${180^\circ-53^\circ=127^\circ}.$ En la figura, los ángulos agudos son $\angle 1,$ $\angle 4,$ $\angle 5$ y $\angle 8,$ de modo que ${\angle 1=\angle 4=\angle 5=\angle 8=53^\circ}$ y ${\angle 2}={\angle 3}={\angle 6}={\angle 7}={127^\circ}.$

Ejemplo 6. Una transversal corta a dos rectas paralelas. Dos ángulos alternos internos miden ${(3x+10)^\circ}$ y ${(5x-30)^\circ}.$ Hallar $x$ y los ángulos.

Solución. Las rectas son paralelas, así que los ángulos alternos internos son iguales: ${3x+10=5x-30}.$ Entonces ${2x=40}$ y ${x=20}.$ Cada ángulo mide ${3\cdot20+10=70}$ grados.

Ejemplo 7. Una transversal corta a dos rectas paralelas. Dos ángulos conjugados internos miden ${(2x+15)^\circ}$ y ${(3x-5)^\circ}.$ Hallar los ángulos.

Solución. Como las rectas son paralelas, los ángulos conjugados internos suman $180^\circ\text{:}$ ${(2x+15)+(3x-5)}={180}.$ Entonces ${5x+10=180}$ y ${x=34}.$ Los ángulos miden ${2\cdot34+15=83}$ y ${3\cdot34-5=97}$ grados. Comprobación: ${83^\circ+97^\circ=180^\circ}.$

Ejemplo 8. Una transversal corta a las rectas $m$ y $n,$ y los ángulos están numerados como en la figura de los ocho ángulos. ¿Son paralelas las rectas si a) ${\angle 4=115^\circ}$ y ${\angle 6=65^\circ};$ b) ${\angle 2=72^\circ}$ y ${\angle 6=78^\circ}?$

Solución.

a) Los ángulos $\angle 4$ y $\angle 6$ son conjugados internos y ${115^\circ+65^\circ=180^\circ},$ así que las rectas son paralelas.

b) Los ángulos $\angle 2$ y $\angle 6$ son correspondientes, pero no son iguales, luego las rectas no son paralelas.

Ejemplo 9. Las rectas $a$ y $b$ son paralelas. Hallar el ángulo $x$ de la figura.

Solución. Se traza por $K$ la recta paralela a las rectas $a$ y $b$ (dibujada con trazo discontinuo en la figura), que divide el ángulo $x$ en dos partes. La parte superior y el ángulo de $35^\circ$ de vértice $A$ son alternos internos entre la recta $a$ y la nueva recta (la transversal es $AK$), así que la parte superior mide $35^\circ.$ Del mismo modo, la parte inferior y el ángulo de $50^\circ$ de vértice $B$ son alternos internos entre la recta $b$ y la nueva recta (la transversal es $BK$), así que la parte inferior mide $50^\circ.$ Por lo tanto, ${x=35^\circ+50^\circ=85^\circ}.$

Ejemplo 10. Demostrar que los ángulos de un triángulo suman $180^\circ.$

Demostración. Se traza por $C$ la recta paralela a $AB.$ En $C,$ el ángulo que queda a la izquierda del triángulo y el ángulo $\alpha$ de vértice $A$ son alternos internos (la transversal es $AC$), por lo que son iguales. Del mismo modo, el ángulo que queda a la derecha del triángulo en $C$ es igual a $\beta$ (la transversal es $BC$). Los tres ángulos de vértice $C$ forman un ángulo llano, luego ${\alpha+\gamma+\beta=180^\circ}.$

Errores frecuentes

Error	Incorrecto	Correcto
Aplicar las reglas sin rectas paralelas	$\angle 2$ y $\angle 6$ son ángulos correspondientes, así que son iguales	Son iguales solo si las rectas son paralelas
Ángulos conjugados internos	Los ángulos conjugados internos entre rectas paralelas son iguales	Suman $180^\circ;$ solo son iguales cuando los dos miden $90^\circ$
¿Complementarios o suplementarios?	Los ángulos complementarios suman $180^\circ$	Los ángulos complementarios suman $90^\circ;$ los suplementarios, $180^\circ$
Adyacentes no significa suplementarios	Los ángulos adyacentes siempre suman $180^\circ$	Solo los de un par lineal: los lados no comunes deben formar una recta
Qué ángulos son opuestos por el vértice	Dos ángulos contiguos de los que forman dos rectas al cortarse son opuestos por el vértice	Los ángulos opuestos por el vértice quedan uno frente al otro; los contiguos forman un par lineal
Complementarios no significa adyacentes	Los ángulos complementarios tienen que ser adyacentes	Solo importa la suma: $35^\circ$ y $55^\circ$ son complementarios estén donde estén

Ejercicios

1. Hallar el complemento y el suplemento de un ángulo de $64^\circ.$

Respuesta

El complemento es ${90^\circ-64^\circ=26^\circ}$ y el suplemento es ${180^\circ-64^\circ=116^\circ}.$

2. Dos ángulos complementarios se diferencian en $18^\circ.$ Hallar los dos ángulos.

Respuesta

Si el ángulo menor es $x,$ entonces ${x+(x+18^\circ)=90^\circ},$ de donde ${x=36^\circ}.$ Los ángulos miden $36^\circ$ y $54^\circ.$

3. El suplemento de un ángulo es el triple de su complemento. Hallar el ángulo.

Respuesta

Para el ángulo $x$ se tiene ${180^\circ-x=3(90^\circ-x)},$ de donde ${2x=90^\circ}$ y ${x=45^\circ}.$ Comprobación: el suplemento mide $135^\circ$ y el complemento, $45^\circ.$

4. Dos rectas se cortan y dos ángulos opuestos por el vértice suman $150^\circ.$ Hallar los cuatro ángulos.

Respuesta

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales, así que cada uno de ellos mide $75^\circ.$ Cada uno de los otros dos mide ${180^\circ-75^\circ=105^\circ}.$

5. En la figura de los ocho ángulos, ${m\parallel n}$ y ${\angle 1=118^\circ}.$ Hallar los otros siete ángulos.

Respuesta

${\angle 4=\angle 5=\angle 8=118^\circ}$ y ${\angle 2}={\angle 3}={\angle 6}={\angle 7}={180^\circ-118^\circ}={62^\circ}.$

6. Indicar el nombre de cada par en la figura de los ocho ángulos: a) $\angle 4$ y $\angle 5;$ b) $\angle 2$ y $\angle 6;$ c) $\angle 1$ y $\angle 8;$ d) $\angle 3$ y $\angle 5.$

Respuesta

a) Ángulos alternos internos; b) ángulos correspondientes; c) ángulos alternos externos; d) ángulos conjugados internos.

7. Una transversal corta a dos rectas paralelas. Dos ángulos correspondientes miden ${(4x-12)^\circ}$ y ${(2x+40)^\circ}.$ Hallar $x$ y los ángulos.

Respuesta

${4x-12=2x+40},$ de donde ${x=26}.$ Cada ángulo mide ${4\cdot26-12=92}$ grados.

8. Una transversal corta a dos rectas paralelas. Uno de dos ángulos conjugados internos mide $40^\circ$ más que el otro. Hallar los ángulos.

Respuesta

${x+(x+40^\circ)=180^\circ},$ de donde ${x=70^\circ}.$ Los ángulos miden $70^\circ$ y $110^\circ.$

9. ¿Son paralelas dos rectas si una transversal forma con ellas a) ángulos alternos internos de $57^\circ$ y $123^\circ;$ b) ángulos conjugados internos de $57^\circ$ y $123^\circ?$

Respuesta

a) No: los ángulos alternos internos tendrían que ser iguales.

b) Sí: ${57^\circ+123^\circ=180^\circ}.$

10. Una figura es como la del ejemplo 9, pero con otros datos: las rectas $a$ y $b$ son paralelas, el ángulo de vértice $A$ mide $28^\circ$ y el ángulo $x,$ de vértice $K,$ mide $75^\circ.$ Hallar el ángulo de vértice $B.$

Respuesta

Como en el ejemplo 9, el ángulo de vértice $K$ es la suma de los ángulos de vértices $A$ y $B,$ así que el ángulo de vértice $B$ mide ${75^\circ-28^\circ=47^\circ}.$

11. Una transversal es perpendicular a una de dos rectas paralelas. Demostrar que también es perpendicular a la otra.

Respuesta

Con la primera recta, la transversal forma un ángulo de $90^\circ.$ El ángulo correspondiente en la segunda recta es igual a él, así que también mide $90^\circ.$ Por lo tanto, la transversal también es perpendicular a la segunda recta.

12. Una transversal corta a dos rectas paralelas y uno de los ocho ángulos es el triple de otro. Hallar los ocho ángulos.

Respuesta

Los dos ángulos no son iguales, así que uno es agudo y el otro obtuso, y suman $180^\circ.$ De ${x+3x=180^\circ}$ se obtiene ${x=45^\circ}.$ Cuatro de los ángulos miden $45^\circ$ y los otros cuatro, $135^\circ.$

Véase también: Clasificación de los ángulos · Medidas de ángulos · Triángulos · Paralelogramo