Álgebra

Fórmulas de álgebra

Las reglas de álgebra más usadas en un solo lugar. Los detalles y los problemas resueltos están en la lección de cada grupo.

Eliminación de paréntesis

Regla	Fórmula
Menos por menos	$-(-a)=a$
Signo menos delante del paréntesis	${-(a+b)}={-a-b},$ ${-(a-b)}={-a+b}$
Propiedad distributiva	${a(b+c)}={ab+ac}$
Producto de dos sumas	${(a+b)(c+d)}={ac+ad+bc+bd}$

Productos notables y factorización

Regla	Fórmula
Cuadrado de una suma	${(a+b)^2}={a^2+2ab+b^2}$
Cuadrado de una diferencia	${(a-b)^2}={a^2-2ab+b^2}$
Diferencia de cuadrados	${a^2-b^2}={(a-b)(a+b)}$
Cubo de una suma	${(a+b)^3}={a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$
Cubo de una diferencia	${(a-b)^3}={a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}$
Suma de cubos	${a^3+b^3}={(a+b)(a^2-ab+b^2)}$
Diferencia de cubos	${a^3-b^3}={(a-b)(a^2+ab+b^2)}$

La suma de cuadrados $a^2+b^2$ no se puede factorizar (con números reales). No confunda: ${(a+b)^2\ne a^2+b^2}.$ Más en la lección Identidades polinomiales.

Fracciones

Todos los denominadores son distintos de cero.

Regla	Fórmula
Amplificación y simplificación	${\frac{a}{b}}={\frac{a\cdot k}{b\cdot k}},$ $k\ne 0$
Suma y resta	${\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}}={\frac{ad\pm bc}{bd}}$
Multiplicación	${\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}}={\frac{ac}{bd}}$
División	${\frac{a}{b}:\frac{c}{d}}={\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}}={\frac{ad}{bc}},$ $c\ne 0$
Signo de una fracción	${\frac{-a}{b}}={\frac{a}{-b}}={-\frac{a}{b}},$ ${\frac{-a}{-b}}={\frac{a}{b}}$
Cero en el numerador	${\frac{0}{b}}=0$
Cero en el denominador	$\frac{a}{0}$ no está definido: no se puede dividir entre 0
Fracción compuesta	${\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}}={\dfrac{ad}{bc}},$ ${\dfrac{a}{\frac{b}{c}}}={\dfrac{ac}{b}}$

Potencias

Aquí $a\ne 0,$ $b\ne 0,$ y los exponentes $m$ y $n$ son números enteros.

Regla	Fórmula
Producto de potencias de igual base	${a^m\cdot a^n}={a^{m+n}}$
Cociente de potencias de igual base	${a^m:a^n}={a^{m-n}}$
Potencia de una potencia	${(a^m)^n}={a^{mn}}$
Potencia de un producto	${(ab)^n}={a^nb^n}$
Potencia de un cociente	${\left(\frac{a}{b}\right)^n}={\frac{a^n}{b^n}}$
Exponente cero	${a^0}=1$
Exponente negativo	${a^{-n}}={\frac{1}{a^n}},$ ${\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}}={\left(\frac{b}{a}\right)^{n}}$
Base 1 y base 0	${1^n}=1;$ ${0^n}=0$ para $n\gt 0;$ $0^0$ y $0^{-n}$ no están definidos

Raíces

Si $n$ es par, los radicandos deben ser no negativos: la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.

Regla	Fórmula
Definición	${\left(\sqrt[n]{a}\right)^n}=a$
Raíz de una potencia	${\sqrt{a^2}}={|a|},$ ${\sqrt[n]{a^n}}=a$ para $a\ge 0$
Raíz de un producto	${\sqrt[n]{ab}}={\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}}$
Raíz de un cociente	${\sqrt[n]{\frac{a}{b}}}={\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}},$ $b\ne 0$
Raíz de una raíz	${\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}}={\sqrt[mn]{a}}$
Exponente fraccionario	${a^{\frac{m}{n}}}={\sqrt[n]{a^m}}={\left(\sqrt[n]{a}\right)^m},$ $a\gt 0$

Valor absoluto

Regla	Fórmula
Definición	$|x|=x$ si $x\ge 0;$ $|x|=-x$ si $x\lt 0$
Números opuestos	${|-a|}={|a|}$
Producto y cociente	${|ab|}={|a|\cdot|b|},$ ${\left|\frac{a}{b}\right|}={\frac{|a|}{|b|}},$ $b\ne 0$
Ecuación e inecuación	${|x|=a}\iff{x=\pm a}$ para $a\ge 0;$ ${|x|\lt a}\iff{-a\lt x\lt a}$

Más en la lección Valor absoluto.

Logaritmos

Aquí $a\gt 0,$ $a\ne 1,$ $x\gt 0$ e $y\gt 0.$

Regla	Fórmula
Definición	${\log_a x=b}\iff{a^b=x}$
Logaritmo de 1 y de la base	${\log_a 1}=0,$ ${\log_a a}=1$
Logaritmo de un producto	${\log_a(xy)}={\log_a x+\log_a y}$
Logaritmo de un cociente	${\log_a\frac{x}{y}}={\log_a x-\log_a y}$
Logaritmo de una potencia	${\log_a x^n}={n\log_a x}$
Cambio de base	${\log_a x}={\frac{\log_b x}{\log_b a}},$ $b\gt 0,$ $b\ne 1$

Más en la lección Logaritmos.

Factorial

Regla	Fórmula
Definición	${n!}={1\cdot 2\cdot 3\cdots n}$ para $n\ge 1$
Factorial de cero	${0!}=1$
Fórmula recursiva	${(n+1)!}={(n+1)\cdot n!}$