Pendiente de una recta

La pendiente de una recta es un número que mide su inclinación e indica si la recta sube o baja cuando nos movemos de izquierda a derecha. Con la pendiente podemos escribir la ecuación de una recta, decidir si dos rectas son paralelas o perpendiculares y describir con qué rapidez cambia una magnitud cuando cambia otra.

En esta página: Cambios en las coordenadas · Definición · Signo de la pendiente · Ángulo de inclinación · Paralelas y perpendiculares · Ecuaciones de la recta · La pendiente en la vida real · Errores frecuentes · Ejercicios

Pendiente de una recta (inclinación)

Imagina un punto que se mueve a lo largo de una recta no vertical desde el punto $P_1(x_1, y_1)$ hasta el punto $P_2(x_2, y_2).$ Su coordenada $y$ cambia en ${y_2-y_1}$ y su coordenada $x$ cambia en ${x_2-x_1}.$ La diferencia ${y_2-y_1}$ es el cambio en $y$ (el cambio vertical), y la diferencia ${x_2-x_1}$ es el cambio en $x$ (el cambio horizontal). Algunos libros los llaman elevación y avance.

Cuanto más inclinada está la recta, mayor es el cambio en $y$ para un mismo cambio en $x.$ Por eso la inclinación se mide dividiendo el cambio en $y$ entre el cambio en $x.$ Por ejemplo, si una recta sube $3$ unidades mientras avanzamos $6$ unidades hacia la derecha, el cociente es ${\frac{3}{6}=\frac{1}{2}}\text{:}$ la recta sube media unidad por cada unidad que avanzamos hacia la derecha.

Definición

Dicho con palabras: la pendiente es el cambio en $y$ dividido entre el cambio en $x.$ La fórmula exige que ${x_1\ne x_2}.$ En una recta vertical todos los puntos tienen la misma coordenada $x,$ de modo que el cambio en $x$ es $0,$ y no se puede dividir entre cero. Por eso la pendiente de una recta vertical no está definida. (Algunos libros dicen que la recta vertical no tiene pendiente. Eso no significa que la pendiente sea $0.$)

El orden de los puntos

No importa a cuál de los puntos llamemos $P_1$ y a cuál $P_2.$ Si los intercambiamos, el numerador y el denominador cambian de signo y la fracción no varía:

$$\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{-(y_2-y_1)}{-(x_2-x_1)}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$

El orden debe ser el mismo en el numerador y en el denominador. Si el numerador empieza por $y_2,$ el denominador debe empezar por $x_2.$

Dos puntos cualesquiera dan la misma pendiente

La pendiente es una propiedad de toda la recta, no de un par de puntos. En la figura, los puntos $A,$ $B,$ $C$ y $D$ están en la misma recta. Cada uno de los dos triángulos rectángulos sombreados tiene un cateto horizontal y otro vertical, y sus hipotenusas $AB$ y $CD$ están sobre esa recta. Los catetos horizontales son paralelos, por lo que los ángulos en $A$ y en $C$ son iguales (son ángulos correspondientes). Además, los dos triángulos tienen un ángulo recto, de modo que son semejantes. En los triángulos semejantes, las razones entre lados correspondientes son iguales. En el triángulo pequeño, el cambio en $y$ es $1$ y el cambio en $x$ es $2;$ en el grande, el cambio en $y$ es $2$ y el cambio en $x$ es $4\text{:}$

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}.$$

Cualesquiera que sean los dos puntos que tomemos en esta recta, la pendiente es $\frac{1}{2}.$

La pendiente como razón de cambio

Los cambios en las coordenadas suelen escribirse con la letra griega $\Delta$ (delta): ${\Delta x=x_2-x_1}$ y ${\Delta y=y_2-y_1}.$ Entonces

$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x},\qquad \Delta y=m\cdot\Delta x.$$

Si $x$ aumenta en $1,$ entonces $y$ cambia en $m.$ Así, la pendiente es la razón de cambio (o tasa de cambio) de $y$ con respecto a $x\text{:}$ indica cuántas unidades cambia $y$ cuando $x$ aumenta una unidad. A lo largo de una recta, esta razón es siempre la misma.

Pendiente positiva, negativa, nula y no definida

Observamos la recta de izquierda a derecha, en el sentido en que aumenta $x.$

Pendiente	La recta	Motivo
Positiva, ${m\gt0}$	sube de izquierda a derecha	cuando $x$ aumenta, $y$ también aumenta: el cambio en $y$ es positivo
Negativa, ${m\lt0}$	baja de izquierda a derecha	cuando $x$ aumenta, $y$ disminuye: el cambio en $y$ es negativo (se habla entonces de un descenso)
Nula, ${m=0}$	es horizontal	todos los puntos tienen la misma coordenada $y\text{:}$ el cambio en $y$ es $0$
No definida	es vertical	todos los puntos tienen la misma coordenada $x\text{:}$ el cambio en $x$ es $0$

El valor absoluto de la pendiente indica la inclinación: cuanto mayor es $|m|,$ más inclinada está la recta. Una recta de pendiente $4$ está más inclinada que una de pendiente $\frac{1}{2},$ y una recta de pendiente $-2$ está más inclinada que una de pendiente $1,$ aunque ${-2\lt1}.$

Ejemplo 1. Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos: a) $(6, 2)$ y $(9, 8);$ b) $(2, 9)$ y $(4, 3);$ c) $(-2, 7)$ y $(5, 7);$ d) $(3, 1)$ y $(3, 5).$

Solución. Usamos la fórmula ${m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}.$

a) $m=\frac{8-2}{9-6}=\frac{6}{3}=2.$ La recta sube $2$ unidades por cada unidad hacia la derecha.

b) $m=\frac{3-9}{4-2}=\frac{-6}{2}=-3.$ La recta baja $3$ unidades por cada unidad hacia la derecha.

c) $m=\frac{7-7}{5-(-2)}=\frac{0}{7}=0.$ La recta es horizontal.

d) En los dos puntos, ${x=3};$ por eso el cambio en $x$ es ${3-3=0}$ y la pendiente no está definida. La recta es vertical.

Ejemplo 2. La recta que pasa por los puntos $(1, 2)$ y $(4, y)$ tiene pendiente $3.$ Halla $y.$

Solución. Por la fórmula de la pendiente, ${\frac{y-2}{4-1}=3}.$ De aquí, ${y-2=9},$ es decir, ${y=11}.$

Ejemplo 3. ¿Están los puntos $A(-1, 1),$ $B(1, 5)$ y $C(4, 11)$ en una misma recta?

Solución. La pendiente de $AB$ es ${\frac{5-1}{1-(-1)}=\frac{4}{2}=2},$ y la de $BC$ es ${\frac{11-5}{4-1}=\frac{6}{3}=2}.$ Las rectas $AB$ y $BC$ tienen la misma pendiente y el punto $B$ en común. Por un punto dado pasa una sola recta con una pendiente dada, así que $AB$ y $BC$ son la misma recta. Los tres puntos están en una misma recta (son colineales).

Ángulo de inclinación

El ángulo de inclinación de una recta que corta al eje $x$ es el menor ángulo $\alpha$ que se mide, en sentido antihorario, desde la parte positiva del eje $x$ hasta la recta. Para una recta horizontal se toma ${\alpha=0^\circ}.$

Por lo tanto, ${0^\circ\le\alpha\lt180^\circ}.$ Si la recta sube, el ángulo $\alpha$ es agudo; si baja, $\alpha$ es obtuso; para una recta vertical, ${\alpha=90^\circ}.$

Teorema. En toda recta no vertical, la pendiente $m$ y el ángulo de inclinación $\alpha$ están relacionados por ${m=\tan\alpha}.$

La tangente de un ángulo obtuso es negativa: ${\tan\alpha=-\tan(180^\circ-\alpha)}.$ Por ejemplo, ${\tan135^\circ=-\tan45^\circ=-1}.$

Demostración

Tomamos dos puntos $P_1$ y $P_2$ de la recta, con $P_2$ a la derecha de $P_1,$ y dibujamos el triángulo rectángulo cuyos catetos representan el cambio en $x$ y el cambio en $y.$

Si la recta sube, el ángulo del triángulo en $P_1$ es igual a $\alpha\text{:}$ el cateto horizontal es paralelo al eje $x,$ así que se trata de ángulos correspondientes. En un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo agudo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente; por lo tanto, ${\tan\alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=m}.$

Si la recta baja, el ángulo $\alpha$ es obtuso, y el ángulo agudo que forman la recta y el eje $x$ es ${180^\circ-\alpha}.$ El ángulo del triángulo en $P_1$ es igual a ese ángulo agudo (de nuevo son ángulos correspondientes). Su tangente es el cociente entre la longitud del cateto vertical y la del cateto horizontal: ${\tan(180^\circ-\alpha)}={\frac{y_1-y_2}{x_2-x_1}}={-m}.$ Como ${\tan(180^\circ-\alpha)=-\tan\alpha},$ obtenemos ${-\tan\alpha=-m},$ de modo que también en este caso ${m=\tan\alpha}.$

Para una recta horizontal, ${m=0}$ y ${\tan0^\circ=0}.$

Ángulo $\alpha$	${m=\tan\alpha}$	La recta
$0^\circ$	$0$	es horizontal
$30^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0{,}58$	sube
$45^\circ$	$1$	sube
$60^\circ$	$\sqrt{3}\approx1{,}73$	sube
$90^\circ$	no definida	es vertical
$120^\circ$	$-\sqrt{3}\approx-1{,}73$	baja
$135^\circ$	$-1$	baja
$150^\circ$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}\approx-0{,}58$	baja

La tangente de $90^\circ$ no está definida, lo cual concuerda con que la pendiente de una recta vertical tampoco lo está.

Ejemplo 4. Halla el ángulo de inclinación de una recta de pendiente a) ${m=1};$ b) ${m=-1}.$

Solución.

a) ${\tan\alpha=1},$ así que ${\alpha=45^\circ}$ (en radianes, $\frac{\pi}{4}$).

b) ${\tan\alpha=-1}.$ Como ${0^\circ\le\alpha\lt180^\circ},$ el ángulo es ${\alpha=135^\circ}$ (en radianes, $\frac{3\pi}{4}$).

Ejemplo 5. Halla, redondeando al grado más cercano, el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos a) $(1, 1)$ y $(4, 3);$ b) $(0, 5)$ y $(2, 1).$

Solución.

a) ${m=\frac{3-1}{4-1}=\frac{2}{3}}.$ Con la calculadora en modo de grados, la tecla $\tan^{-1}$ (arcotangente) da ${\alpha=\arctan\frac{2}{3}\approx34^\circ}.$

b) ${m=\frac{1-5}{2-0}=\frac{-4}{2}=-2}.$ La calculadora da ${\arctan(-2)\approx-63^\circ},$ pero un ángulo de inclinación no puede ser negativo. La tangente no cambia cuando al ángulo se le suman $180^\circ,$ así que sumamos $180^\circ$ y obtenemos ${\alpha\approx-63^\circ+180^\circ=117^\circ}.$

Si la pendiente es negativa, la calculadora devuelve un ángulo negativo. Súmale $180^\circ$ para obtener el ángulo de inclinación.

Rectas paralelas y perpendiculares

La segunda condición se puede escribir como ${m_2=-\frac{1}{m_1}}\text{:}$ las pendientes de dos rectas perpendiculares son recíprocas y de signo contrario. Por ejemplo, las rectas de pendientes $2$ y $-\frac{1}{2}$ son perpendiculares, y también lo son las de pendientes $-\frac{3}{4}$ y $\frac{4}{3}.$

La pendiente de una recta vertical no está definida, por lo que el teorema no dice nada sobre las rectas verticales. Dos rectas verticales distintas son siempre paralelas. Una recta vertical es perpendicular a todas las rectas horizontales y a ninguna otra.

Demostración para rectas paralelas

Supongamos primero que ninguna de las dos rectas es horizontal. Entonces cada una corta al eje $x;$ sean $\alpha_1$ y $\alpha_2$ sus ángulos de inclinación.

Si las rectas son paralelas, cortan al eje $x$ en dos puntos distintos, y $\alpha_1$ y $\alpha_2$ son ángulos correspondientes: el eje $x$ es la transversal (la secante). Los ángulos correspondientes entre rectas paralelas son iguales, ${\alpha_1=\alpha_2},$ y por eso ${m_1=\tan\alpha_1=\tan\alpha_2=m_2}.$

Recíprocamente, sea ${m_1=m_2},$ es decir, ${\tan\alpha_1=\tan\alpha_2}.$ Dos ángulos distintos entre $0^\circ$ y $180^\circ$ no pueden tener la misma tangente, así que ${\alpha_1=\alpha_2}.$ Las rectas no pueden cortar al eje $x$ en el mismo punto: dos rectas que pasan por un mismo punto del eje y tienen el mismo ángulo de inclinación coinciden, y nuestras rectas son distintas. Por lo tanto, cortan al eje en dos puntos distintos, los ángulos correspondientes $\alpha_1$ y $\alpha_2$ son iguales y, en consecuencia, las rectas son paralelas.

Si una de las rectas es horizontal, su pendiente es $0.$ La otra recta es paralela a ella exactamente cuando también es horizontal, es decir, cuando su pendiente también es $0.$

Demostración para rectas perpendiculares

En las dos partes de la demostración las rectas se cortan. Las rectas perpendiculares siempre se cortan. Y si ${m_1m_2=-1},$ entonces ${m_1\ne m_2}$ (si las pendientes fueran iguales, tendríamos ${m_1^2=-1},$ lo cual es imposible), de modo que, por la primera parte del teorema, las rectas no son paralelas. Sea $A$ el punto donde se cortan las rectas. Si trasladamos las dos rectas hacia arriba la misma distancia, sus pendientes y el ángulo que forman no cambian, así que podemos suponer que $A$ está por encima del eje $x.$

Si las rectas son perpendiculares, entonces ${m_1m_2=-1}.$ Ninguna de las rectas es vertical y, por tanto, ninguna es horizontal (una recta perpendicular a una horizontal es vertical). Por eso las dos rectas cortan al eje $x\text{:}$ $L_1$ en un punto $B$ y $L_2$ en un punto $C.$ Nombramos las rectas de modo que $B$ quede a la izquierda de $C.$ El triángulo $ABC$ tiene un ángulo recto en $A,$ por lo que sus ángulos en $B$ y en $C$ son agudos. En consecuencia, $L_1$ sube, $L_2$ baja y el pie $H$ de la altura $AH$ está entre $B$ y $C.$ Sean ${AH=h}$ y ${HC=c}.$

El ángulo del triángulo en $B$ es $\alpha_1.$ El ángulo $HAC$ también es igual a $\alpha_1,$ porque cada uno de ellos suma $90^\circ$ con el ángulo en $C$ (en los triángulos rectángulos $ABC$ y $AHC$). Del triángulo rectángulo $AHC$ obtenemos ${\tan\alpha_1=\frac{c}{h}},$ y la tangente del ángulo en $C$ es $\frac{h}{c}.$ El ángulo de inclinación de $L_2$ es $\alpha_2,$ y el ángulo en $C$ es ${180^\circ-\alpha_2},$ de modo que ${\tan\alpha_2=-\frac{h}{c}}.$ Por lo tanto,

$$m_1m_2=\frac{c}{h}\cdot\left(-\frac{h}{c}\right)=-1.$$

Si ${m_1m_2=-1},$ entonces las rectas son perpendiculares. Las pendientes tienen signos contrarios; sean ${m_1\gt0}$ y ${m_2\lt0}.$ Entonces $L_1$ sube y $L_2$ baja. Al bajar desde $A$ por $L_1$ nos movemos hacia la izquierda, y por $L_2,$ hacia la derecha; por eso $L_1$ corta al eje $x$ en un punto $B$ a la izquierda de $A,$ y $L_2$ lo corta en un punto $C$ a la derecha de $A.$ Así, el pie $H$ de la altura $AH$ del triángulo $ABC$ está entre $B$ y $C.$ Sean ${AH=h},$ ${BH=d}$ y ${HC=c}.$ De los triángulos rectángulos $ABH$ y $AHC$ obtenemos ${m_1=\frac{h}{d}}$ y ${m_2=-\frac{h}{c}}.$ La igualdad ${m_1m_2=-1}$ se convierte en ${\frac{h}{d}\cdot\frac{h}{c}=1},$ es decir, ${\frac{h}{d}=\frac{c}{h}}.$

Aquí $\frac{h}{d}$ es la tangente del ángulo $ABH$ y $\frac{c}{h}$ es la tangente del ángulo $HAC.$ Dos ángulos agudos que tienen la misma tangente son iguales, así que ${\angle HAC=\angle ABH}.$ En el triángulo rectángulo $ABH$ se cumple ${\angle BAH=90^\circ-\angle ABH}.$ Por lo tanto, ${\angle BAC}={\angle BAH+\angle HAC}={90^\circ\text{:}}$ las rectas son perpendiculares.

Ecuaciones de la recta

Llamamos ecuación de una recta a una ecuación en $x$ e $y$ que se cumple para las coordenadas de todos los puntos de la recta y no se cumple para las de ningún otro punto. Con la pendiente, estas ecuaciones se escriben fácilmente.

Rectas verticales y horizontales

Teorema. La recta vertical que pasa por el punto $(a, 0)$ tiene por ecuación ${x=a}.$ La recta horizontal que pasa por el punto $(0, b)$ tiene por ecuación ${y=b}.$

En la recta vertical, todos los puntos tienen coordenada $x$ igual a $a,$ sea cual sea su coordenada $y.$ En la recta horizontal, todos los puntos tienen coordenada $y$ igual a $b.$ Por ejemplo, ${x=3}$ es la recta vertical que pasa por $(3, 0),$ mientras que ${y=-2}$ es la recta horizontal que pasa por $(0, -2).$ El eje $x$ es la recta ${y=0},$ y el eje $y$ es la recta ${x=0}.$

Forma punto-pendiente

Teorema. La recta de pendiente $m$ que pasa por el punto $P_1(x_1, y_1)$ tiene por ecuación ${y-y_1=m(x-x_1)}.$ Esta es la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta.

Demostración

Sea $P(x, y)$ un punto distinto de $P_1.$

Si ${x\ne x_1},$ el punto $P$ está en la recta exactamente cuando la pendiente de $P_1P$ es igual a $m\text{:}$

$$\frac{y-y_1}{x-x_1}=m.$$

Al multiplicar ambos miembros por ${x-x_1}$ se obtiene la ecuación equivalente ${y-y_1=m(x-x_1)}.$

Si ${x=x_1},$ entonces ${y\ne y_1}.$ Un punto así no está en la recta, porque la recta no es vertical, y tampoco cumple la ecuación: el miembro izquierdo, ${y-y_1},$ no es $0,$ y el derecho es $0.$

Las coordenadas del propio $P_1$ cumplen la ecuación: los dos miembros valen $0.$

Ejemplo 6. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto $(2, 3)$ y tiene pendiente $4.$

Solución. ${y-3=4(x-2)}.$ Quitamos los paréntesis: ${y-3=4x-8},$ de donde ${y=4x-5}.$

Ejemplo 7. Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos $(1, 5)$ y $(3, 1).$

Solución. Primero hallamos la pendiente: ${m=\frac{1-5}{3-1}=\frac{-4}{2}=-2}.$ Después usamos la forma punto-pendiente con el punto $(1, 5)\text{:}$ ${y-5=-2(x-1)},$ de donde ${y=-2x+7}.$ Comprobación con el segundo punto: ${-2\cdot3+7=1}.$

Forma pendiente-ordenada al origen

La ordenada al origen de una recta (también llamada ordenada en el origen) es la coordenada $y$ del punto donde la recta corta al eje $y.$ Si la ordenada al origen es $b,$ la recta pasa por el punto $(0, b).$

Teorema. La recta de pendiente $m$ y ordenada al origen $b$ tiene por ecuación ${y=mx+b}.$ Esta es la forma pendiente-ordenada al origen de la ecuación de la recta, también llamada ecuación explícita de la recta.

En efecto, la forma punto-pendiente con el punto $(0, b)$ es ${y-b=m(x-0)},$ es decir, ${y=mx+b}.$ En esta forma, los dos números se leen directamente: el coeficiente de $x$ es la pendiente y el término independiente es la ordenada al origen. Por ejemplo, la recta ${y=3x-2}$ tiene pendiente $3$ y corta al eje $y$ en el punto $(0, -2).$

Ejemplo 8. Halla la pendiente y la ordenada al origen de la recta ${3x+2y-6=0}.$

Solución. Despejamos $y$ en la ecuación: ${2y=-3x+6},$ de donde ${y=-\frac{3}{2}x+3}.$ La pendiente es $-\frac{3}{2}$ y la ordenada al origen es $3.$

En general, si ${B\ne0},$ la recta ${Ax+By+C=0}$ tiene pendiente ${m=-\frac{A}{B}}$ y ordenada al origen $-\frac{C}{B}.$ Si ${B=0}$ (entonces ${A\ne0}$), la ecuación se reduce a ${x=-\frac{C}{A}}\text{:}$ la recta es vertical. La ecuación ${Ax+By+C=0}$ es la ecuación general de la recta.

Dos ecuaciones pueden describir la misma recta: ${y=2x+1}$ y ${2y=4x+2}$ tienen la misma pendiente, $2,$ y la misma ordenada al origen, $1.$ Dos rectas con la misma pendiente son paralelas solo si sus ordenadas al origen son distintas.

Ejemplo 9. Dibuja la recta ${y=-\frac{2}{3}x+4}.$

Solución. La ordenada al origen es $4,$ así que la recta pasa por el punto $(0, 4).$ La pendiente es ${-\frac{2}{3}=\frac{-2}{3}}\text{:}$ por cada $3$ unidades hacia la derecha, la recta baja $2$ unidades. Desde $(0, 4)$ nos movemos $3$ unidades hacia la derecha y $2$ unidades hacia abajo, y llegamos al punto $(3, 2);$ otro paso igual nos lleva a $(6, 0).$ Trazamos la recta que pasa por estos puntos.

Ejemplo 10. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto $(4, 1)$ y es a) paralela a la recta ${y=2x-3};$ b) perpendicular a ella.

Solución. La recta dada tiene pendiente $2.$

a) Una recta paralela tiene la misma pendiente, $2\text{:}$ ${y-1=2(x-4)},$ de donde ${y=2x-7}.$

b) Una recta perpendicular tiene pendiente $-\frac{1}{2},$ porque ${2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1}.$ Su ecuación es ${y-1=-\frac{1}{2}(x-4)},$ es decir, ${y=-\frac{1}{2}x+3}.$

La pendiente en la vida real

Carreteras. Una señal con $8\%$ al borde de la carretera indica que esta sube (o baja) $8$ metros por cada $100$ metros de distancia horizontal. La pendiente de una carretera se da en forma de porcentaje: ${\frac{8}{100}=0{,}08=8\%}.$ El ángulo de inclinación de una carretera así es pequeño: ${\arctan0{,}08\approx4{,}6^\circ}.$

Una pendiente del $100\%$ no es una pared vertical: es la pendiente $1,$ que corresponde a un ángulo de $45^\circ.$

Velocidad. Si representamos la distancia recorrida en función del tiempo, la pendiente de la gráfica es la velocidad. Un automóvil que se mueve con velocidad constante y recorre $150$ km en $3$ horas da una recta que pasa por los puntos $(0, 0)$ y $(3, 150).$ Su pendiente es ${\frac{150-0}{3-0}=50}\text{:}$ la velocidad es de $50$ km/h.

Errores frecuentes

Error	Incorrecto	Correcto
Invertir la fracción	${m=\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}}$	${m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\text{:}$ el cambio en $y$ va en el numerador
Mezclar el orden de los puntos	Para $(6, 2)$ y $(9, 8)\text{:}$ ${m=\frac{8-2}{6-9}=-2}$	${m=\frac{8-2}{9-6}=2}\text{:}$ el mismo punto va primero en el numerador y en el denominador
Restar un número negativo	Para $(-2, 1)$ y $(5, 4),$ el cambio en $x$ es ${5-2=3}$	El cambio en $x$ es ${5-(-2)=7}$
Pendiente nula y pendiente no definida	La pendiente de una recta horizontal no está definida y una recta vertical tiene pendiente $0$	Una recta horizontal tiene pendiente $0;$ la pendiente de una recta vertical no está definida
Pendiente de una recta perpendicular	Una recta perpendicular a ${y=2x+1}$ tiene pendiente $-2$	Tiene pendiente $-\frac{1}{2}\text{:}$ hay que cambiar el signo y tomar el recíproco
Leer la pendiente antes de tiempo	La recta ${2y=6x+4}$ tiene pendiente $6$	Primero se despeja $y\text{:}$ ${y=3x+2},$ así que la pendiente es $3$
Una pendiente del $100\%$	Una carretera con una pendiente del $100\%$ es vertical	Una pendiente del $100\%$ es la pendiente $1,$ un ángulo de $45^\circ$

Ejercicios

1. Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos: a) $(1, 2)$ y $(5, 10);$ b) $(-3, 4)$ y $(1, -4);$ c) $(0, -5)$ y $(6, -5);$ d) $(2, -1)$ y $(2, 7).$

Respuesta

a) $m=\frac{10-2}{5-1}=\frac{8}{4}=2.$

b) ${m}={\frac{-4-4}{1-(-3)}}={\frac{-8}{4}}={-2.}$

c) $m=\frac{-5-(-5)}{6-0}=\frac{0}{6}=0.$

d) La pendiente no está definida: es la recta vertical ${x=2}.$

2. Una recta de pendiente $\frac{3}{4}$ pasa por el punto $(2, 1).$ Halla la coordenada $y$ del punto de esta recta en el que ${x=10}.$

Respuesta

El cambio en $x$ es ${10-2=8},$ así que el cambio en $y$ es ${\frac{3}{4}\cdot8=6}$ y, por tanto, ${y=1+6=7}.$

3. ¿Están los tres puntos en una misma recta? a) $(0, -1),$ $(2, 3)$ y $(5, 9);$ b) $(1, 1),$ $(3, 4)$ y $(7, 9).$

Respuesta

a) Sí: ${\frac{3-(-1)}{2-0}=\frac{4}{2}=2}$ y ${\frac{9-3}{5-2}=\frac{6}{3}=2}.$

b) No: ${\frac{4-1}{3-1}=\frac{3}{2}},$ pero ${\frac{9-4}{7-3}=\frac{5}{4}}.$

4. Halla el ángulo de inclinación de una recta de pendiente a) $\sqrt{3};$ b) $-\frac{\sqrt{3}}{3};$ c) $0.$

Respuesta

a) $60^\circ;$ b) $150^\circ;$ c) $0^\circ.$

5. Una recta pasa por el punto $(0, 2)$ y su ángulo de inclinación es de $135^\circ.$ Escribe su ecuación.

Respuesta

${m=\tan135^\circ=-1}$ y la ordenada al origen es $2,$ así que ${y=-x+2}.$

6. Escribe, en la forma pendiente-ordenada al origen, la ecuación de la recta que pasa por el punto $(-1, 4)$ y tiene pendiente $-3.$

Respuesta

${y-4=-3(x+1)},$ de donde ${y=-3x+1}.$

7. Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos $(2, -1)$ y $(6, 7).$

Respuesta

${m=\frac{7-(-1)}{6-2}=\frac{8}{4}=2}.$ Entonces ${y+1=2(x-2)},$ de donde ${y=2x-5}.$

8. Halla la pendiente y la ordenada al origen de la recta ${4x-2y+10=0}.$

Respuesta

${2y=4x+10},$ de donde ${y=2x+5}.$ La pendiente es $2$ y la ordenada al origen es $5.$

9. ¿Son las dos rectas paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos cosas? a) ${y=3x-1}$ y ${6x-2y+5=0};$ b) ${y=\frac{2}{5}x+1}$ y ${5x+2y=4};$ c) ${y=2x}$ e ${y=-2x+3}.$

Respuesta

a) Paralelas: la segunda recta es ${y=3x+\frac{5}{2}}.$ Las dos pendientes son $3,$ y las ordenadas al origen $-1$ y $\frac{5}{2}$ son diferentes, así que se trata de dos rectas distintas.

b) Perpendiculares: la segunda recta es ${y=-\frac{5}{2}x+2},$ y ${\frac{2}{5}\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)=-1}.$

c) Ninguna de las dos cosas: las pendientes $2$ y $-2$ no son iguales, y su producto es ${2\cdot(-2)=-4}.$

10. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto $(3, -2)$ y es perpendicular a la recta ${y=\frac{3}{4}x+1}.$

Respuesta

La pendiente es $-\frac{4}{3}.$ Entonces ${y+2=-\frac{4}{3}(x-3)},$ de donde ${y=-\frac{4}{3}x+2}.$

11. Demuestra que el triángulo de vértices $A(1, 1),$ $B(5, 3)$ y $C(3, 7)$ es rectángulo.

Respuesta

La pendiente de $AB$ es ${\frac{3-1}{5-1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}},$ y la de $BC$ es ${\frac{7-3}{3-5}=\frac{4}{-2}=-2}.$ Como ${\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1},$ los lados $AB$ y $BC$ son perpendiculares: el ángulo en $B$ es recto.

12. Una rampa para sillas de ruedas sube $1$ metro por cada $12$ metros de distancia horizontal. Expresa su pendiente como porcentaje y halla su ángulo de inclinación. Redondea los dos resultados a una cifra decimal.

Respuesta

La pendiente es ${\frac{1}{12}\approx0{,}083=8{,}3\%}.$ El ángulo de inclinación es ${\arctan\frac{1}{12}\approx4{,}8^\circ}.$

Véase también: Geometría analítica · Tipos de pares de ángulos · Trigonometría