Logaritmo (log, lg, ln)

¿A qué potencia hay que elevar 2 para obtener 8? La respuesta es 3, porque ${2^3=8}.$ El número 3 se llama logaritmo de 8 en base 2 y se escribe ${\log_2 8=3}.$ Se lee “logaritmo en base 2 de 8 es igual a 3”.

El número $a$ se llama base del logaritmo, y $b$ es el argumento (el número del que se toma el logaritmo). El logaritmo $c$ puede ser cualquier número real: positivo, negativo, cero o una fracción.

Ejemplos

• ${\log_3 81=4},$ porque ${3^4=81}.$
• ${\log_{10} 1000=3},$ porque ${10^3=1000}.$
• ${\log_5\frac{1}{25}=-2},$ porque ${5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}}.$
• ${\log_9 3=\frac12},$ porque ${9^{\frac12}=\sqrt9=3}.$
• ${\log_{1/2} 8=-3},$ porque ${\left(\frac12\right)^{-3}=2^3=8}.$
• ${\log_7 1=0},$ porque ${7^0=1}.$

Ejemplo animado: ¿cuánto es $\log_2 64?$

¿Cuándo existe un logaritmo?

• El argumento es positivo: ${b\gt 0}.$ Toda potencia de un número positivo es positiva, así que las ecuaciones ${2^c=0}$ y ${2^c=-4}$ no tienen solución. No existe el logaritmo de cero ni el de un número negativo: $\log_2 0$ y $\log_2(-4)$ no están definidos.
• La base es positiva: ${a\gt 0}.$ Las potencias de un número negativo no están definidas para todo exponente. Por ejemplo, ${(-4)^{\frac12}}$ tendría que ser $\sqrt{-4},$ y ese número real no existe.
• La base no es 1: ${a\ne 1}.$ Toda potencia de 1 es igual a 1. Por eso ${1^c=5}$ no tiene solución y ${1^c=1}$ tiene infinitas soluciones.

En esta página: log y ln · Propiedades básicas · Producto, cociente, potencia · Cambio de base · Gráfica · Ecuaciones e inecuaciones · Calculadora · Problemas resueltos · Errores comunes · Ejercicios

Logaritmo decimal y logaritmo natural

Dos bases se usan tanto que sus logaritmos tienen nombre y símbolo propios.

• ${\log 100=2},$ ${\log 1000=3}$ y ${\log 0{,}01=-2},$ porque ${10^{-2}=0{,}01}.$
• ${\ln e=1},$ ${\ln 1=0},$ ${\ln e^5=5}$ y ${\ln\frac1e=-1}.$

En la calculadora, la tecla log da el logaritmo decimal y la tecla ln el natural. Por ejemplo, ${\log 2\approx 0{,}30103}$ y ${\ln 2\approx 0{,}69315}.$ Un logaritmo en cualquier otra base se calcula con la fórmula del cambio de base.

El logaritmo decimal indica qué tan grande es un número. Si ${10^n\le b\lt 10^{n+1}},$ entonces ${n\le\log b\lt n+1},$ es decir, el número $b$ tiene ${n+1}$ cifras en su parte entera. Las escalas logarítmicas también se usan en las ciencias: la acidez de una disolución es ${\mathrm{pH}=-\log[\mathrm{H}^+]},$ el sonido se mide en decibelios y los terremotos en la escala de Richter.

Propiedades básicas

Las siguientes igualdades salen directamente de la definición. En todas ellas ${a\gt 0},$ ${a\ne 1}$ y ${b\gt 0}.$

Propiedad	Por qué es cierta
${\log_a 1=0}$	${a^0=1}$
${\log_a a=1}$	${a^1=a}$
${\log_a a^c=c}$	para obtener $a^c,$ elevamos $a$ a la potencia $c$
${a^{\log_a b}=b}$	$\log_a b$ es justamente el exponente que convierte $a$ en $b$

La última igualdad se llama identidad fundamental de los logaritmos. Por ejemplo, ${3^{\log_3 7}=7},$ ${10^{\log 5}=5}$ y ${e^{\ln 2}=2}.$

Las dos últimas igualdades muestran que elevar a una potencia de base $a$ y tomar el logaritmo en base $a$ son operaciones inversas: cada una deshace la otra.

Logaritmo de un producto, de un cociente y de una potencia

Los logaritmos se inventaron precisamente por estas reglas: convierten la multiplicación en suma y la división en resta. John Napier publicó las primeras tablas de logaritmos en 1614. Con ellas, los astrónomos sustituían las largas multiplicaciones de números de muchas cifras por sumas de sus logaritmos.

Por qué son ciertas. Sean ${\log_a b=x}$ y ${\log_a c=y},$ es decir, ${b=a^x}$ y ${c=a^y}.$ Entonces

${bc=a^x\cdot a^y=a^{x+y}},$   ${\frac{b}{c}=\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}},$   ${b^n=(a^x)^n=a^{nx}}$

Por la definición de logaritmo, ${\log_a(bc)=x+y},$ ${\log_a\frac{b}{c}=x-y}$ y ${\log_a b^n=nx}.$ Las reglas de los logaritmos son las reglas de las potencias leídas al revés.

Ejemplos

• ${\log_2(5\cdot 4)}={\log_2 5+\log_2 4}={\log_2 5+2}$
• ${\log_2\frac54}={\log_2 5-\log_2 4}={\log_2 5-2}$
• ${\log_2 8}={\log_2 2^3}={3\log_2 2}={3}$
• ${\log 2+\log 5}={\log 10}={1}$
• ${\log_3 54-\log_3 2}={\log_3 27}={3}$

Dos casos particulares de la regla de la potencia aparecen muy a menudo:

Por ejemplo, ${\log_2\frac18=-\log_2 8=-3}$ y ${\log_2\sqrt{32}=\frac12\log_2 32=\frac52}.$

Cuidado con las potencias pares. La igualdad ${\log_a b^2=2\log_a b}$ solo es válida para ${b\gt 0}.$ El número $b^2$ es positivo aunque $b$ sea negativo, así que para todo ${b\ne 0}$ se cumple ${\log_a b^2=2\log_a|b|}.$ Por ejemplo, ${\log\bigl((-10)^2\bigr)}={\log 100}={2},$ mientras que $\log(-10)$ no existe.

Logaritmo de una suma. No existe una fórmula para ${\log_a(b+c)}$ ni para ${\log_a(b-c)}.$ En general ${\log_a(b+c)\ne\log_a b+\log_a c}.$ Por ejemplo, ${\log_2(4+4)=\log_2 8=3},$ pero ${\log_2 4+\log_2 4=4}.$

Cambio de base

Por qué es cierta. Tomamos el logaritmo en base $c$ de los dos lados de la identidad fundamental ${a^{\log_a b}=b}$: ${\log_c a^{\log_a b}=\log_c b},$ es decir, ${\log_a b\cdot\log_c a=\log_c b}.$ Solo queda dividir entre ${\log_c a\ne 0}.$

Con esta fórmula, cualquier logaritmo se calcula con la calculadora:

${\log_2 3}={\frac{\log 3}{\log 2}}={\frac{\ln 3}{\ln 2}}\approx{1{,}585}$

La nueva base puede ser cualquier número positivo distinto de 1, por ejemplo 7: ${\log_2 3=\frac{\log_7 3}{\log_7 2}}.$

Consecuencias. Los argumentos son positivos, las bases son positivas y distintas de 1, y ${n\ne 0}$:

Por ejemplo, ${\log_8 2=\frac{1}{\log_2 8}=\frac13},$ ${\log_2 3\cdot\log_3 8=\log_2 8=3}$ y ${\log_9 27}={\log_{3^2} 3^3}={\frac32\log_3 3}={\frac32}.$

La función logarítmica y su gráfica

La función ${y=\log_a x},$ donde ${a\gt 0}$ y ${a\ne 1},$ se llama función logarítmica. Solo está definida para ${x\gt 0},$ y sus valores son todos los números reales.

Las gráficas de ${y=\log_2 x},$ ${y=\ln x}$ y ${y=\log x}.$ Todas pasan por el punto ${(1,\ 0)}$ y toman el valor 1 en ${x=a}.$

Para cualquier base, la gráfica pasa por los puntos ${(1,\ 0)}$ y ${(a,\ 1)},$ porque ${\log_a 1=0}$ y ${\log_a a=1}.$ El eje $Y$ es una asíntota de la gráfica: cuando $x$ se acerca a 0, la gráfica se aleja sin límite del eje $X.$ Que la función crezca o decrezca depende de la base:

	${a\gt 1}$	${0\lt a\lt 1}$
La función	crece	decrece
Para ${0\lt x\lt 1}$	${\log_a x\lt 0}$	${\log_a x\gt 0}$
Para ${x\gt 1}$	${\log_a x\gt 0}$	${\log_a x\lt 0}$
Cuando ${x\to 0}$	${\log_a x\to-\infty}$	${\log_a x\to+\infty}$
Cuando ${x\to+\infty}$	${\log_a x\to+\infty}$	${\log_a x\to-\infty}$

Las gráficas de ${y=\log_2 x}$ y ${y=\log_{1/2} x}$ son simétricas respecto al eje $X,$ porque ${\log_{1/2} x=-\log_2 x}.$

${y=\log_2 x}$ crece y ${y=\log_{1/2} x}$ decrece.

La función logarítmica ${y=\log_a x}$ es la inversa de la función exponencial ${y=a^x}$: si ${y=a^x},$ entonces ${x=\log_a y}.$ Por eso sus gráficas son simétricas respecto a la recta ${y=x}.$ Por ejemplo, el punto ${(1,\ 2)}$ está en la gráfica de ${y=2^x},$ y el punto ${(2,\ 1)}$ está en la gráfica de ${y=\log_2 x}.$

Las gráficas de ${y=2^x}$ y ${y=\log_2 x}$ son simétricas respecto a la recta ${y=x}.$

Ecuaciones e inecuaciones logarítmicas

La función logarítmica es estrictamente monótona, así que números distintos tienen logaritmos distintos en la misma base. Por lo tanto, si dos logaritmos son iguales, los números también lo son. Este paso de los logaritmos a los propios números se llama antilogaritmo (o eliminar los logaritmos).

Cómo resolver una ecuación logarítmica

1. Halla el dominio: toda expresión dentro de un logaritmo debe ser positiva. Si la incógnita está en la base, la base debe ser positiva y distinta de 1.
2. Con las propiedades de los logaritmos, lleva la ecuación a la forma ${\log_a f(x)=\log_a g(x)}$ o ${\log_a f(x)=c}.$
3. Elimina los logaritmos: ${f(x)=g(x)},$ o por la definición ${f(x)=a^c}.$ Resuelve la nueva ecuación.
4. Quédate solo con las soluciones que están en el dominio.

Ejemplo 1. ${\log_3(2x-1)=2}.$ El dominio es ${x\gt\frac12}.$ Por la definición, ${2x-1=3^2=9},$ de donde ${x=5}.$ Está en el dominio.

Ejemplo 2. ${\log_2(x+1)}={\log_2(3x-5)}.$ Debe cumplirse ${x+1\gt 0}$ y ${3x-5\gt 0},$ es decir, ${x\gt\frac53}.$ Eliminamos los logaritmos: ${x+1=3x-5},$ de donde ${x=3}.$ Comprobación: los dos lados valen $\log_2 4.$

Ejemplo 3. Compara $\log_{0{,}5} 3$ y $\log_{0{,}5} 7.$ La base es menor que 1, así que el número mayor tiene el logaritmo menor: ${\log_{0{,}5} 3\gt\log_{0{,}5} 7}.$

Calculadora de logaritmos

Escribe la base y el número. Para el logaritmo natural, escribe la letra e como base. También puedes escribir fracciones, por ejemplo 1/2. Cuando el logaritmo es un número racional, la calculadora lo halla exactamente y muestra por qué. Si no, calcula un valor aproximado con el cambio de base.

Problemas resueltos

Problema 1. Calcula: a) $\log_2 32;$ b) $\log_3\frac19;$ c) $\log_{1/2} 16;$ d) $\log 0{,}01;$ e) $\log_{27} 3.$

Solución: Buscamos el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número.

• a) ${2^5=32},$ así que ${\log_2 32=5}.$
• b) ${3^{-2}=\frac19},$ así que ${\log_3\frac19=-2}.$
• c) ${\left(\frac12\right)^{-4}=2^4=16},$ así que ${\log_{1/2} 16=-4}.$
• d) ${10^{-2}=0{,}01},$ así que ${\log 0{,}01=-2}.$
• e) ${27^{\frac13}=\sqrt[3]{27}=3},$ así que ${\log_{27} 3=\frac13}.$

Problema 2. Halla $x$: a) ${\log_3 x=-2};$ b) ${\log_x 16=4};$ c) ${\log_{\sqrt3} 9=x}.$

Solución:

• a) Por la definición, ${x=3^{-2}=\frac19}.$
• b) ${x^4=16},$ y la base debe ser positiva y distinta de 1. Por eso ${x=2}.$ El número $-2$ también cumple ${x^4=16},$ pero no puede ser base.
• c) ${\left(\sqrt3\right)^x=9},$ y ${9=\left(\sqrt3\right)^4}.$ Por eso ${x=4}.$

Problema 3. Calcula: a) $2^{3+\log_2 5};$ b) $25^{\log_5 3}.$

Solución: Usamos la identidad fundamental de los logaritmos.

a) ${2^{3+\log_2 5}}={2^3\cdot 2^{\log_2 5}}={8\cdot 5}={40}$

b) ${25^{\log_5 3}}={\left(5^2\right)^{\log_5 3}}={\left(5^{\log_5 3}\right)^2}={3^2}={9}$

Problema 4. Calcula: a) ${\log 8+3\log 5};$ b) ${\log_6 4+\log_6 9};$ c) ${\log_3 18}-{\log_3 2+\log_3\frac{1}{27}}.$

Solución:

a) ${\log 8+3\log 5}={\log 8+\log 5^3}={\log(8\cdot 125)}={\log 1000}={3}$

b) ${\log_6 4+\log_6 9}={\log_6(4\cdot 9)}={\log_6 36}={2}$

c) ${\log_3 18}-{\log_3 2+\log_3\frac{1}{27}}={\log_3 9+\log_3 3^{-3}}={2-3}={-1}$

Problema 5. Calcula ${\log_2 3\cdot\log_3 4\cdot\log_4 8}.$

Solución: Aplicamos dos veces la fórmula ${\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c}$:

${\log_2 3\cdot\log_3 4\cdot\log_4 8}={\log_2 4\cdot\log_4 8}={\log_2 8}={3}$

Se obtiene lo mismo si escribimos cada factor como un cociente de logaritmos decimales: ${\frac{\log 3}{\log 2}\cdot\frac{\log 4}{\log 3}\cdot\frac{\log 8}{\log 4}}={\frac{\log 8}{\log 2}}={3}.$

Problema 6. Sabiendo que ${\log 2=a}$ y ${\log 3=b},$ expresa en función de $a$ y $b$: a) $\log 12;$ b) $\log 5;$ c) $\log_6 24.$

Solución:

a) ${\log 12}={\log\left(2^2\cdot 3\right)}={2\log 2+\log 3}={2a+b}$

b) ${\log 5}={\log\frac{10}{2}}={\log 10-\log 2}={1-a}$

c) ${\log_6 24}={\frac{\log 24}{\log 6}}={\frac{\log\left(2^3\cdot 3\right)}{\log(2\cdot 3)}}={\frac{3a+b}{a+b}}$

Problema 7. ¿Cuántas cifras tiene el número $2^{100}?$ Usa que ${\log 2\approx 0{,}30103}.$

Solución: ${\log 2^{100}}={100\log 2}\approx{30{,}103}.$ Entonces ${30\lt\log 2^{100}\lt 31},$ es decir, ${10^{30}\lt 2^{100}\lt 10^{31}}.$ El menor número de 31 cifras es $10^{30},$ y $10^{31}$ ya tiene 32 cifras. Por lo tanto, $2^{100}$ tiene 31 cifras.

Problema 8. Resuelve la ecuación ${\log_2(x-1)}+{\log_2(x+1)}={3}.$

Solución: Debe cumplirse ${x-1\gt 0}$ y ${x+1\gt 0},$ es decir, ${x\gt 1}.$ Una suma de logaritmos es el logaritmo del producto:

${\log_2\bigl((x-1)(x+1)\bigr)}={3},$   ${x^2-1=2^3},$   ${x^2=9},$   ${x=\pm 3}$

La solución ${x=-3}$ no está en el dominio, porque $\log_2(-4)$ no existe. Respuesta: ${x=3}.$ Comprobación: ${\log_2 2+\log_2 4}={1+2}={3}.$

Problema 9. Resuelve la ecuación ${\log^2 x-3\log x+2=0}.$

Solución: El dominio es ${x\gt 0}.$ Aquí $\log^2 x$ significa ${(\log x)^2}.$ Hacemos ${\log x=t}$ y queda ${t^2-3t+2=0},$ con soluciones ${t_1=1}$ y ${t_2=2}$:

${\log x=1\Rightarrow x=10},$   ${\log x=2\Rightarrow x=100}$

Respuesta: ${x_1=10},$ ${x_2=100}.$

Problema 10. Resuelve la inecuación ${\log_{1/3}(2x-1)\ge -1}.$

Solución: El dominio es ${x\gt\frac12}.$ Escribimos el lado derecho como un logaritmo en la misma base: ${-1=\log_{1/3} 3},$ porque ${\left(\frac13\right)^{-1}=3}.$

${\log_{1/3}(2x-1)\ge\log_{1/3} 3}$

La base está entre 0 y 1, así que el signo de la desigualdad se invierte: ${2x-1\le 3},$ es decir, ${x\le 2}.$ Junto con el dominio: ${\frac12\lt x\le 2},$ es decir, ${x\in\left(\frac12,\ 2\right]}.$

Errores comunes

Error	Incorrecto	Correcto
El logaritmo de una suma calculado como la suma de los logaritmos	${\log_2(4+4)}={\log_2 4+\log_2 4}={4}$	${\log_2(4+4)=\log_2 8=3}$
Un cociente de logaritmos calculado como una resta	${\frac{\log_2 8}{\log_2 4}}={\log_2 8-\log_2 4}={1}$	${\frac{\log_2 8}{\log_2 4}=\frac32}$
La potencia de un logaritmo confundida con el logaritmo de una potencia	${(\log_2 8)^2=2\log_2 8=6}$	${(\log_2 8)^2=3^2=9},$ mientras que ${\log_2 8^2=2\log_2 8=6}$
Se pierden los $x$ negativos con una potencia par	${\log x^2=2\log x}$ para todo ${x\ne 0}$	${\log x^2=2\log|x|}$
Se intercambian la base y el número	${\log_8 2=3}$	${\log_8 2=\frac13},$ porque ${8^{\frac13}=2}$
El logaritmo de un número negativo	${\log(-100)=-2}$	$\log(-100)$ no existe, mientras que ${\log 0{,}01=-2}$
No se comprueba el dominio	La ecuación ${\log_2(x-1)}+{\log_2(x+1)}={3}$ tiene las soluciones $\pm 3$	Solo ${x=3};$ para ${x=-3}$ los logaritmos no existen
Con una base entre 0 y 1 no se invierte el signo de la desigualdad	${\log_{0{,}5} x\gt\log_{0{,}5} 2\Rightarrow x\gt 2}$	${\log_{0{,}5} x\gt\log_{0{,}5} 2\Rightarrow 0\lt x\lt 2}$

Ejercicios

Inténtalo tú y después abre la respuesta.

1. Calcula $\log_5 125.$

${5^3=125},$ así que ${\log_5 125=3}.$

2. Calcula $\log_8 2.$

${8^{\frac13}=\sqrt[3]8=2},$ así que ${\log_8 2=\frac13}.$

3. Calcula $\log_{1/3} 27.$

${\left(\frac13\right)^{-3}=3^3=27},$ así que ${\log_{1/3} 27=-3}.$

4. Calcula $3^{2\log_3 4}.$

${3^{2\log_3 4}}={\left(3^{\log_3 4}\right)^2}={4^2}={16}$

5. Calcula ${\log_{12} 3+\log_{12} 48}.$

${\log_{12} 3+\log_{12} 48}={\log_{12}(3\cdot 48)}={\log_{12} 144}={2}$

6. Calcula $\frac{\log 8+\log 18}{2\log 2+\log 3}.$

El numerador es ${\log(8\cdot 18)=\log 144}$ y el denominador es ${\log\left(2^2\cdot 3\right)=\log 12}.$ Como ${144=12^2},$ queda ${\frac{\log 144}{\log 12}=\frac{2\log 12}{\log 12}=2}.$

7. ¿Entre qué dos números enteros consecutivos está $\log_2 10?$

${2^3=8\lt 10\lt 16=2^4},$ así que ${3\lt\log_2 10\lt 4}.$ Con más precisión, ${\log_2 10\approx 3{,}32}.$

8. Resuelve la ecuación ${\log_5(3x+1)=2}.$

El dominio es ${x\gt-\frac13}.$ ${3x+1=5^2=25},$ de donde ${x=8}.$

9. Resuelve la ecuación ${\log_3 x+\log_3(x-8)=2}.$

El dominio es ${x\gt 8}.$ ${\log_3\bigl(x(x-8)\bigr)=2},$ es decir, ${x^2-8x=9}$ y ${x^2-8x-9=0}.$ Las soluciones son $9$ y $-1,$ pero solo ${x=9}$ está en el dominio.

10. Un depósito en el banco crece un 5% cada año. ¿En cuántos años se duplicará el dinero?

Después de $n$ años el dinero se multiplica por ${1{,}05^n}.$ Buscamos el menor $n$ con ${1{,}05^n\ge 2}.$ Tomando logaritmos: ${n\log 1{,}05\ge\log 2},$ es decir, ${n\ge\frac{\log 2}{\log 1{,}05}\approx 14{,}2}.$ El dinero se duplica a los 15 años.