Trigonometría - sen, cos, tan, cot

Tome un eje x y un eje y (ortonormal) y sea O el origen. Un círculo centrado en O y con radio = 1 se conoce como Círculo Trigonométrico or Círculo Unitario.

Si P es un punto del círculo y A es el ángulo entre PO y el eje x, entonces:

la coordenada x de P se llama coseno de A. Escribimos cos (A) o cos A;
la coordenada y de P se llama seno de A. Escribimos sen (A) o sen A;
el número sen (A) / cos (A) se denomina tangente de A. Escribimos tan (A) o tan A;
el número cos (A) / sen (A) se llama cotangente de A. Escribimos cot (A) o cot A.

La función seno

sen : R -> R
Todas las funciones trigonométricas son periódicas. El período de sen es 2$\pi$.
El rango de la función es [-1,1].

La función coseno

cos : R -> R
El período de cos es 2$\pi$.
El rango de la función es [-1,1].

La función tangente

tan : R -> R
El rango de la función es R. Ahora, el periodo es $\pi$ y la función no está definida para x = ($\pi$/2) + k$\pi$, k=0,1,2,...
La gráfica de la función tangente en el intervalo 0 - $\pi$

Gráfico animado (abrir en una nueva ventana):
La gráfica de la función tangente en el intervalo 0 - 2$\pi$

La función cotangente

cot : R -> R
El rango de la función es R. El período es $\pi$ y la función no está definida para x = k$\pi$, k=0,1,2,...

Los valores de sen, cos, tan, cot de los ángulos de 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°

$A^o$	$0^o$	$30^o$	$45^o$	$60^o$	$90^o$	$120^o$	$135^o$	$150^o$	$180^o$	$210^o$	$225^o$	$240^o$	$270^o$	$300^o$	$315^o$	$330^o$	$360^o$
$A rad$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\frac{7\pi}{6}$	$\frac{5\pi}{4}$	$\frac{4\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{2}$	$\frac{5\pi}{3}$	$\frac{7\pi}{4}$	$\frac{11\pi}{6}$	$2\pi$
$\sen A$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$0$
$\cos A$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\tan A$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$-$	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$-$	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$
$\cot A$	$-$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-1$	$-\sqrt{3}$	$-$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-1$	$-\sqrt{3}$	$-$

La forma más fácil de recordar los valores básicos de sen y cos para los ángulos de 0°, 30°, 60°, 90°:
sen([0, 30, 45, 60, 90]) = cos([90, 60, 45, 30, 0]) = sqrt([0, 1, 2, 3, 4]/4)

Identidades trigonométricas básicas

Para cada ángulo A corresponde exactamente un punto P (cos (A), sen (A)) en el Círculo Unitario.

cos²(A) + sen²(A) = 1

Si A + B = 180° entonces:

sen(A) = sen(B)
cos(A) = -cos(B)
tan(A) = -tan(B)
cot(A) = -cot(B)

Si A + B = 90° entonces:

sen(A) = cos(B)
cos(A) = sen(B)
tan(A) = cot(B)
cot(A) = tan(B)

	$-A$	$90^\circ - A$	$90^\circ + A$	$180^\circ - A$
$\textrm{ sen }$	$-\textrm{ sen }A$	$\textrm{ cos }A$	$\textrm{ cos }A$	$\textrm{ sen }A$
$\textrm{ cos }$	$\textrm{ cos }A$	$\textrm{ sen }A$	$-\textrm{ sen}A$	$-\textrm{ cos }A$
$\textrm{ tan }$	$-\textrm{ tan }A$	$\textrm{ cot }A$	$-\textrm{ cot }A$	$-\textrm{ tan } A$
$\textrm{ cot }$	$-\textrm{ cot }A$	$\textrm{ tan }A$	$-\textrm{ tan }A$	$-\textrm{ cot }A$

Fórmulas trigonométricas

Fórmulas del ángulo mitad

$\sen\frac{A}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}$
+ si $\frac{A}{2}$ se encuentra en el cuadrante | or ||
- si $\frac{A}{2}$ se encuentra en el cuadrante ||| or |V

$\cos\frac{A}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}$
+ si $\frac{A}{2}$ se encuentra en el cuadrante | or |V
- si $\frac{A}{2}$ se encuentra en el cuadrante || or |||

$\tan\frac{A}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}$
+ si $\frac{A}{2}$ se encuentra en el cuadrante | or |||
- si $\frac{A}{2}$ se encuentra en el cuadrante || or |V

$\cot\frac{A}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos A}{1-\cos A}}$
+ si $\frac{A}{2}$ se encuentra en el cuadrante | or |||
- si $\frac{A}{2}$ se encuentra en el cuadrante || or |V

$\tan\frac{A}{2} = \frac{\sen A}{1+\cos A} = \frac{1-\cos A}{\sen A}=\csc A-\cot A$

$\cot\frac{A}{2} = \frac{\sen A}{1-\cos A} = \frac{1+\cos A}{\sen A}=\csc A+\cot A$

Fórmulas del ángulo doble y triple

$\sen(2A) = 2\sen(A)\cdot \cos(A)$

$\cos(2A) = \cos^2(A) - \sen^2(A) = 2\cos^2(A) - 1 = 1 - 2\sen^2(A)$

$\tan(2A) = \frac{2\tan(A)}{1- \tan^2(A)}$

$\cos(2A) = \frac{1 - \tan^2(A)}{1 + \tan^2(A)}$

$\sen(2A) = \frac{2\tan(A)}{1 + \tan^2(A)}$

$\sen3A = 3\sen A - 4 \sen^3A$

$\cos3A = 4\cos^3A - 3 \cos A$

$\tan3A=\frac{3\tan A - \tan^3A}{1-3\tan^2A}$

$\cot3A=\frac{\cot^3A-3\cot A}{3\cot^2A-1}$

$\sen4A = 4\cos^3A\cdot \sen A - 4\cos A\cdot \sen^3A$

$\cos4A = \cos^4A - 6\cos^2A\cdot \sen^2A + \sen^4A$

$\tan4A=\frac{4\tan A - 4\tan^3A}{1-6\tan^2A+\tan^4A}$

$\cot4A=\frac{\cot^4A-6\cot^2A+1}{4\cot^3A-4\cot A}$

Fórmulas de reducción de exponentes

$\sen^2(A)=\frac{1 - \cos(2A)}{2}$

$\sen^3(A)=\frac{3\sen A - \sen(3A)}{4}$

$\sen^4(A)=\frac{\cos(4A) - 4\cos(2A) + 3}{8}$

$\cos^2(A) = \frac{1 + \cos(2A)}{2}$

$\cos^3(A)=\frac{3\cos A + \cos(3A)}{4}$

$\cos^4(A)=\frac{4\cos(2A) + \cos(4A) + 3}{8}$

Fórmulas de la suma y diferencia de ángulos

$\sen(A + B) = \sen(A)\cdot \cos(B) + \cos(A)\cdot \sen(B)$

$\sen(A - B) = \sen(A)\cdot \cos(B) - \cos(A)\cdot \sen(B)$

$\cos(A + B) = \cos(A)\cdot \cos(B) - \sen(A)\cdot \sen(B)$

$\cos(A - B) = \cos(A)\cdot \cos(B) + \sen(A)\cdot \sen(B)$

$\tan(A + B) = \frac{\sen(A + B)}{\cos(A + B)}=\frac{\sen(A)\cdot \cos(B) + \cos(A)\cdot \sen(B)}{\cos(A)\cdot \cos(B) - \sen(A)\cdot \sen(B)}$

$\tan(A + B) = \frac{\tan(A) + \tan(B)}{1 - \tan(A)\cdot\tan(B)}$

$\cot(A \pm B) = \frac{\cot(B)\cot(A)\mp 1}{\cot(B)\pm \cot(A)}=\frac{1\mp \tan(A)\tan(B)}{\tan(A)\pm \tan(B)}$

$\sen(A + B + C) = \sen A\cdot\cos B\cdot\cos C + \cos A\cdot\sen B\cdot\cos C + \cos A\cdot\cos B\cdot\sen C - \sen A\cdot\sen B\cdot\sen C$

$\cos(A + B + C) = \cos A\cdot\cos B\cdot\cos C - \sen A\cdot\sen B\cdot\cos C - \sen A\cdot\cos B\cdot\sen C $
$- \sen A\cdot\cos B \cdot\sen C - \cos A \cdot \sen B\cdot \sen C$

$\tan(A + B + C) = \frac{\tan A + \tan B + \tan C - \tan A\cdot \tan B \cdot \tan C}{1 - \tan A \cdot\tan B - \tan B\cdot\tan C - \tan A\cdot\tan C}$

Suma y diferencia de funciones trigonométricas

$\textrm{ sen } A + \textrm{ sen }B = 2 \textrm{ sen }\frac{A + B}{2} \textrm{ cos }\frac{A - B}{2}$

$\textrm{ sen } A - \textrm{ sen }B = 2 \textrm{ sen }\frac{A - B}{2} \textrm{ cos }\frac{A + B}{2}$

$\textrm{ cos } A + \textrm{ cos }B = 2 \textrm{ cos }\frac{A + B}{2} \textrm{ cos }\frac{A - B}{2}$

$\textrm{ cos } A - \textrm{ cos }B = -2 \textrm{ sen }\frac{A + B}{2} \textrm{ sen }\frac{A - B}{2}$

$\tan A + \tan B = \frac{\sen(A+B)}{\cos A \cdot\cos B}$

$\tan A - \tan B = \frac{\sen(A-B)}{\cos A\cdot\cos B}$

$\cot A + \cot B = \frac{\sen(A+B)}{\sen A\cdot\sen B}$

$\cot A - \cot B = \frac{-\sen(A-B)}{\sen A\cdot\sen B}$

Multiplicación de 2 funciones trigonométricas

$\textrm{ sen }A \textrm{ sen }B = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(A - B) - \textrm{ cos }(A + B))$

$\textrm{ cos }A \textrm{ cos }B = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(A - B) + \textrm{ cos }(A + B))$

$\textrm{ sen }A \textrm{ cos }B = \frac{1}{2} (\textrm{ sen }(A + B) + \textrm{ sen }(A - B))$

$\tan A \cdot \tan B = \frac{\tan A+\tan B}{\cot A+\cot B}=-\frac{\tan A-\tan B}{\cot A-\cot B}$

$\cot A \cdot \cot B = \frac{\cot A+\cot B}{\tan A+\tan B}$

$\tan A \cdot \cot B = \frac{\tan A+\cot B}{\cot A+\tan B}$

$\sen A\sen B\sen C = \frac{1}{4}\big(\sen(A+B-C)+\sen(B+C-A)+\sen(C+A-B)-\sen(A+B+C)\big)$

$\cos A\cos B\cos C = \frac{1}{4}\big(\cos(A+B-C)+\cos(B+C-A)+\cos(C+A-B)+\cos(A+B+C)\big)$

$\sen A\sen B\cos C = \frac{1}{4}\big(-\cos(A+B-C)+\cos(B+C-A)+\cos(C+A-B)-\cos(A+B+C)\big)$

$\sen A\cos B\cos C = \frac{1}{4}\big(\sen(A+B-C)-\sen(B+C-A)+\sen(C+A-B)+\sen(A+B+C)\big)$

Sustitución de la tangente del ángulo mitad

$\sen A = \frac{2\tan\frac{A}{2}}{1+\tan^2\frac{A}{2}}$

$\cos A = \frac{1-\tan^2\frac{A}{2}}{1+\tan^2\frac{A}{2}}$

$\tan A = \frac{2\tan\frac{A}{2}}{1-\tan^2\frac{A}{2}}$

$\cot A = \frac{1-\tan^2\frac{A}{2}}{2\tan\frac{A}{2}}$

Otras fórmulas trigonométricas

$1\pm\sen A=2\sen^2\big(\frac{\pi}{4}\pm \frac{A}{2}\big)=2\cos^2\big(\frac{\pi}{4}\mp \frac{A}{2}\big)$

$\frac{1-\sen A}{1+\sen A} = \tan^2(\frac{\pi}{4}-\frac{A}{2})$

$\frac{1-\cos A}{1+\cos A} = \tan^2\frac{A}{2}$

$\frac{1-\tan A}{1+\tan A} = \tan(\frac{\pi}{4}-A)$

$\frac{1+\tan A}{1-\tan A} = \tan(\frac{\pi}{4}+A)$

$\frac{\cot A + 1}{\cot A - 1} = \cot(\frac{\pi}{4}-A)$

$\tan A + \cot A = \frac{2}{\sen2A}$

$\tan A - \cot A = -2\cot2A$