Porcentajes

Por ciento significa «por cada cien». La expresión viene del latín per centum, «por cien», y el signo % significa «de cada 100». Así, 25% significa 25 de cada 100. Uno por ciento es una centésima, ${1\%=\frac{1}{100}=0{,}01}$, y el 25% de algo es $\frac{25}{100}$ de ello.

Están sombreados 25 de los 100 cuadraditos: ${25\%}={\frac{25}{100}}={\frac{1}{4}}$

Supongamos que hay 4 personas en una habitación. Entonces el 100% de ellas son las 4 personas, el 50% es la mitad (2 personas), el 25% es la cuarta parte (1 persona) y el 0% es nadie. Si entran 4 personas más, en la habitación hay 8 personas, que son el 200% del número inicial. Un porcentaje puede ser mayor que el 100%.

En esta página aprenderás a pasar porcentajes a decimales y a fracciones, y a resolver los tres problemas básicos de porcentajes: calcular el porcentaje de un número, calcular qué porcentaje es un número de otro y calcular el total a partir de una parte. Después veremos los aumentos y las disminuciones porcentuales, los porcentajes inversos y los cambios porcentuales sucesivos. Si solo necesitas una respuesta rápida, usa la calculadora de porcentajes.

Porcentajes, decimales y fracciones

Un porcentaje, un número decimal y una fracción son tres formas de escribir el mismo número: ${50\%}={0{,}5}={\frac{1}{2}}$.

Algunos porcentajes aparecen tan a menudo que conviene sabérselos de memoria:

Porcentaje	Decimal	Fracción
$1\%$	$0{,}01$	$\frac{1}{100}$
$5\%$	$0{,}05$	$\frac{1}{20}$
$10\%$	$0{,}1$	$\frac{1}{10}$
$12{,}5\%$	$0{,}125$	$\frac{1}{8}$
$20\%$	$0{,}2$	$\frac{1}{5}$
$25\%$	$0{,}25$	$\frac{1}{4}$
$33\tfrac{1}{3}\%$	$0{,}333\ldots$	$\frac{1}{3}$
$50\%$	$0{,}5$	$\frac{1}{2}$
$75\%$	$0{,}75$	$\frac{3}{4}$
$100\%$	$1$	$1$
$150\%$	$1{,}5$	$\frac{3}{2}$

Cuidado con los porcentajes pequeños: ${8\%=0{,}08}$, no $0{,}8$. Y ${0{,}5\%=0{,}005}$ es la mitad del 1%, no la mitad de algo: la mitad es el 50%.

Cómo calcular el porcentaje de un número

Ejemplo 1. Calcula el 20% de 40.

${20\%\ \text{de}\ 40}={0{,}2\times 40}=8$

La palabra «de» indica que hay que multiplicar.

Ejemplo 2. Una escuela tiene 600 alumnos, y el 45% de ellos va a la escuela en autobús. ¿Cuántos alumnos son?

${0{,}45\times 600}=270$

Ejemplo 3. Un porcentaje puede ser mayor que el 100% o menor que el 1%:

${120\%\ \text{de}\ 50}={1{,}2\times 50}=60$

${0{,}5\%\ \text{de}\ 3000}={0{,}005\times 3000}=15$

Ejemplo 4. Cindy necesita 8 m de manguera para su jardín. En la tienda hay un carrete de 30 m, pero una etiqueta dice que ya se ha vendido el 60% de la manguera. ¿Es suficiente lo que queda?

Solución: Se han vendido ${{0{,}6\times 30}=18}$ m, así que quedan ${{30-18}=12}$ m. Es suficiente. Más rápido: queda el ${{100\%-60\%}={40\%}}$ del carrete, y ${{0{,}4\times 30}=12}$ m.

Cálculo mental de porcentajes

• 10%: divide entre 10. El 10% de 360 es 36.
• 5%: toma la mitad del 10%. El 5% de 360 es 18.
• 1%: divide entre 100. El 1% de 360 es $3{,}6$.
• El 50%, el 25% y el 20% son la mitad, la cuarta parte y la quinta parte. El 25% de 360 es 90.
• Combina estos porcentajes: el 15% es el 10% más el 5%, así que el 15% de 360 es ${{36+18}=54}$.
• Intercambia los números: el $p\%$ de $a$ es lo mismo que el $a\%$ de $p$, porque ${\frac{p}{100}\times a}={\frac{a}{100}\times p}$. El 8% de 50 es difícil de calcular mentalmente, pero el 50% de 8 es fácil. Los dos dan 4.

Por ejemplo, una propina del 15% sobre una cuenta de $\$36$: el 10% es $\$3{,}60$ y el 5% es $\$1{,}80$, así que la propina es de $\$5{,}40$.

Qué porcentaje es un número de otro

Ejemplo 1. ¿Qué porcentaje de 160 es 80?

${\frac{80}{160}\times 100\%}={0{,}5\times 100\%}={50\%}$

Ejemplo 2. Sacaste 45 puntos de 60 en un examen. ¿Qué porcentaje es?

${\frac{45}{60}\times 100\%}={0{,}75\times 100\%}={75\%}$

Ejemplo 3. Un cuestionario tiene 5 preguntas: tres valen 3 puntos cada una y dos valen 4 puntos cada una. Respondiste bien dos de las preguntas de 3 puntos y una de las preguntas de 4 puntos. ¿Qué porcentaje de los puntos obtuviste?

Solución: El cuestionario vale ${{3\times 3+2\times 4}=17}$ puntos, y obtuviste ${{2\times 3+4}=10}$ puntos:

${\frac{10}{17}\times 100\%}\approx{58{,}8\%}$

La división no es exacta, así que la respuesta está redondeada y se escribe ≈ («aproximadamente igual a») en lugar de =.

Ejemplo 4. Ryan colecciona cartas deportivas: tiene 32 cartas de béisbol, 25 de fútbol y 47 de baloncesto. ¿Qué porcentaje de su colección corresponde a cada deporte?

Solución: El total es el número de todas las cartas, ${{32+25+47}=104}$.

Béisbol: ${\frac{32}{104}\times 100\%}\approx{30{,}8\%}$

Fútbol: ${\frac{25}{104}\times 100\%}\approx{24{,}0\%}$

Baloncesto: ${\frac{47}{104}\times 100\%}\approx{45{,}2\%}$

Juntas, las tres partes forman toda la colección, así que sus porcentajes suman el 100%. Los porcentajes redondeados pueden sumar un poco más o un poco menos, por ejemplo $99{,}9\%$ o $100{,}1\%$.

Ejemplo 5. La parte puede ser mayor que el total. ¿Qué porcentaje de 40 es 45?

${\frac{45}{40}\times 100\%}={1{,}125\times 100\%}={112{,}5\%}$

Cómo calcular el total a partir de una parte

Ejemplo 1. ¿De qué número es 12 el 30%?

${12\div 0{,}3}=40$

Comprobación: ${{0{,}3\times 40}=12}$ ✓

Ejemplo 2. En una clase, 6 alumnos usan lentes. Son el 20% de la clase. ¿Cuántos alumnos hay en la clase?

${6\div 0{,}2}=30$

También puedes pasar por el 10%: si el 20% de la clase son 6 alumnos, el 10% son 3 alumnos y el 100% son ${{10\times 3}=30}$ alumnos.

Ejemplo 3. Ahorraste $\$150$. Es el 60% del precio de una bicicleta. ¿Cuánto cuesta la bicicleta?

${150\div 0{,}6}={\$250}$

Una fórmula para los tres problemas

Los tres problemas salen de una misma fórmula, que relaciona la parte, el porcentaje y el total:

Conoces dos de los tres números y buscas el tercero. Las tres preguntas de abajo usan los mismos números, porque 8 es el 20% de 40:

Pregunta	Solución
¿Cuánto es el 20% de 40? (la parte)	${0{,}2\times 40}=8$
¿Qué porcentaje de 40 es 8? (el porcentaje)	${\frac{8}{40}\times 100\%}={20\%}$
¿De qué número es 8 el 20%? (el total)	${8\div 0{,}2}=40$

Incremento y disminución porcentual

Cuando una cantidad cambia, la variación porcentual compara el cambio con el valor inicial (el anterior):

Ejemplo 1. Tenías 80 sellos y seguiste coleccionando hasta tener 120. ¿En qué porcentaje creció tu colección?

${\frac{120-80}{80}\times 100\%}={\frac{40}{80}\times 100\%}={50\%}$

Ejemplo 2. Después cambiaste algunos de tus 120 sellos por un juego de un amigo y te quedaron 100. ¿En qué porcentaje disminuyó el número de sellos?

${\frac{100-120}{120}\times 100\%}={-\frac{20}{120}\times 100\%}\approx{-16{,}7\%}$

El número de sellos disminuyó alrededor de un $16{,}7\%$. El cambio de 20 sellos se compara con 120, el número que tenías antes del cambio.

Ejemplo 3. La población de una ciudad creció de 12 000 a 12 600 habitantes, es decir, en 600 personas:

${\frac{600}{12\,000}\times 100\%}={5\%}$

Aumentar o disminuir un número en un porcentaje

Cuando aumentas un número en un $p\%$, le sumas el $p\%$ de sí mismo, así que obtienes el ${100\%+p\%}$ del número. Cuando lo disminuyes en un $p\%$, obtienes el ${100\%-p\%}$ del número. Por eso puedes hacerlo en un solo paso, multiplicando por un multiplicador:

Ejemplo 4. Un videojuego costaba $\$40$. Luego su precio subió un 20%. ¿Cuál es el nuevo precio?

En dos pasos: el precio subió ${{0{,}2\times 40}={\$8}}$, así que el nuevo precio es ${{40+8}={\$48}}$. En un paso: ${{40\times 1{,}2}={\$48}}$.

Ejemplo 5. Una chaqueta cuesta $\$250$. Está en oferta con un 30% de descuento, así que cuesta ${{250\times 0{,}7}={\$175}}$.

«Más que» y «menos que»

El porcentaje siempre se calcula sobre el número con el que comparas. Por eso las dos afirmaciones son verdaderas:

• 50 es un 25% más que 40, porque ${\frac{10}{40}}={25\%}$;
• 40 es un 20% menos que 50, porque ${\frac{10}{50}}={20\%}$.

La diferencia es 10 en los dos casos, pero se compara con números distintos.

Porcentajes inversos: calcular el valor original

A veces conoces el valor después de un cambio porcentual y necesitas el valor de antes. Entonces divide entre el multiplicador:

Ejemplo 1. Con un 20% de descuento, una chaqueta cuesta $\$64$. ¿Cuánto costaba antes del descuento?

Solución: El precio con descuento es el ${{100\%-20\%}={80\%}}$ del precio original, así que

${\text{precio original}}={64\div 0{,}8}={\$80}$

Comprobación: el 20% de $\$80$ son $\$16$, y ${{80-16}=64}$ ✓. Un modelo de barras muestra lo mismo:

El 80% del precio son $\$64$, así que el 10% son $\$8$ y el 100% son $\$80$.

Cuidado: no sumes el 20% del precio con descuento. ${{64+0{,}2\times 64}={\$76{,}80}}$ es incorrecto, porque el descuento era el 20% del precio original, no el 20% de $\$64$.

Ejemplo 2. Un precio con un IVA del 16% es de $\$58$. Sin IVA, el precio era ${{58\div 1{,}16}={\$50}}$.

Ejemplo 3. Después de un aumento del 25%, un sueldo es de $\$2\,500$ al mes. Antes del aumento era de ${{2\,500\div 1{,}25}={\$2\,000}}$.

Un cambio porcentual tras otro

Cuando un cambio porcentual sigue a otro, el segundo porcentaje se calcula sobre el valor nuevo, no sobre el original. Por eso los porcentajes no se pueden sumar sin más: hay que multiplicar los multiplicadores.

Ejemplo 1. Un precio sube un 10% y después baja un 10%. No vuelve al valor inicial:

${1{,}1\times 0{,}9}={0{,}99}$

El precio final es el 99% del original, es decir, un 1% más bajo. Por ejemplo, $\$100$ pasan a ser $\$110$ y luego $\$99$.

Ejemplo 2. Un descuento del 20% seguido de otro 10% no es un descuento del 30%:

${0{,}8\times 0{,}9}={0{,}72}$

Pagas el 72% del precio, así que el descuento total es del 28%.

Ejemplo 3. El precio de una acción baja un 50%. Para volver a su valor anterior tiene que subir un 100%, porque ${{0{,}5\times 2}=1}$.

Ejemplo 4. Una ciudad crece un 5% al año durante 3 años:

${1{,}05\times 1{,}05\times 1{,}05}={1{,}05^3}\approx{1{,}158}$

En total, la ciudad crece alrededor de un $15{,}8\%$, no un 15%, porque cada año el 5% se calcula sobre un número mayor. Los ahorros con interés compuesto crecen igual. La calculadora de interés compuesto de abajo hace estos cálculos por ti.

¿Porcentaje o puntos porcentuales?

Cuando cambia una cantidad que ya es un porcentaje, hay dos formas de describir el cambio. Supongamos que un banco sube su tasa de interés del 4% al 5%:

• la tasa subió 1 punto porcentual, porque ${{5-4}=1}$;
• la tasa subió un 25%, porque ${\frac{5-4}{4}\times 100\%}={25\%}$.

Las dos afirmaciones son ciertas, pero dicen cosas distintas, así que la frase «la tasa subió un 1%» se presta a confusión. Cuando restas un porcentaje de otro, habla de «puntos porcentuales».

Calculadora de porcentajes

Escribe dos números en cualquier fila. La respuesta y el cálculo aparecen mientras escribes.

Los porcentajes en la vida diaria

Los porcentajes permiten comparar partes de totales distintos en la misma escala, sobre 100. Por eso aparecen en todas partes:

• compras: descuentos e impuestos;
• dinero: intereses de ahorros y préstamos, propinas, subidas de precios;
• escuela: resultados de exámenes y calificaciones;
• noticias: resultados electorales, encuestas, crecimiento de la población;
• ciencia: la concentración de una disolución, la humedad del aire, los nutrientes de una etiqueta.

Ejemplo 1. En el grupo A aprobaron un examen 18 de los 24 alumnos. En el grupo B aprobaron 21 de los 30 alumnos. ¿Qué grupo lo hizo mejor?

Solución: En el grupo B aprobaron más alumnos, pero el grupo B también es más grande. Compara los porcentajes:

Grupo A: ${\frac{18}{24}\times 100\%}={75\%}$

Grupo B: ${\frac{21}{30}\times 100\%}={70\%}$

Al grupo A le fue mejor.

Ejemplo 2. Tom tiene una pequeña tienda de comestibles. El primer mes compró mercancía por $\$650$ y la vendió por $\$800$. El segundo mes compró mercancía por $\$800$ y la vendió por $\$1\,200$. ¿Le fue mejor al negocio el segundo mes?

Solución: Su ganancia creció de ${{800-650}={\$150}}$ a ${{1\,200-800}={\$400}}$, pero también gastó más. Para ver cuánto le rindió el dinero, compara la ganancia de cada mes con el dinero que gastó:

${\frac{150}{650}\times 100\%}\approx{23{,}1\%}$

${\frac{400}{800}\times 100\%}={50\%}$

El primer mes, cada $\$100$ que Tom gastó le dejaron unos $\$23$ de ganancia, y el segundo mes, $\$50$. Así que su negocio no solo creció, sino que también se volvió más rentable.

Errores frecuentes

Incorrecto	Correcto
✗ ${8\%=0{,}8}$	✓ ${8\%=0{,}08}$
✗ ${0{,}5\%=0{,}5}$	✓ ${0{,}5\%=0{,}005}$
✗ De 80 a 120 hay un aumento del ${{\frac{40}{120}}\approx{33\%}}$	✓ Divide entre el valor anterior: ${\frac{40}{80}}={50\%}$
✗ +10% y después −10% deja el precio igual	✓ ${1{,}1\times 0{,}9}={0{,}99}$: una disminución del 1%
✗ Un 20% de descuento y después otro 10% es un 30% de descuento	✓ ${0{,}8\times 0{,}9}={0{,}72}$: un 28% de descuento
✗ Con un 20% de descuento cuesta $\$64$, así que el precio original era ${64+0{,}2\times 64}={\$76{,}80}$	✓ ${64\div 0{,}8}={\$80}$
✗ 50 es un 25% más que 40, así que 40 es un 25% menos que 50	✓ 40 es un ${\frac{10}{50}}={20\%}$ menos que 50
✗ Del 4% al 5% hay un aumento del 1%	✓ Un aumento de 1 punto porcentual, es decir, del 25%

Un buen hábito es comprobar que la respuesta tiene sentido: un precio con descuento es menor que antes, y el 30% de un número es menos de la mitad de ese número.

Problemas resueltos

Problema 1. El precio de un televisor bajó de $\$900$ a $\$765$. ¿En qué porcentaje se redujo el precio?

Solución: El precio bajó ${{900-765}={\$135}}$. Compáralo con el precio anterior:

${\frac{135}{900}\times 100\%}={15\%}$

Problema 2. 200 g de agua salada contienen un 15% de sal. ¿Cuánta sal hay? ¿Qué porcentaje de sal habrá si añades 100 g de agua?

Solución: Hay ${{0{,}15\times 200}=30}$ g de sal. Al añadir el agua, hay ${{200+100}=300}$ g de agua salada, pero sigue habiendo 30 g de sal:

${\frac{30}{300}\times 100\%}={10\%}$

Problema 3. En una elección con dos candidatos votaron 2400 personas. El candidato A obtuvo el 55% de los votos. ¿Cuántos votos más que B obtuvo A?

Solución: B obtuvo el ${{100\%-55\%}={45\%}}$ de los votos. La diferencia es el ${{55\%-45\%}={10\%}}$ de los votos:

${0{,}1\times 2400}=240$

Comprobación: A obtuvo ${{0{,}55\times 2400}=1320}$ votos y B obtuvo ${{0{,}45\times 2400}=1080}$ votos, y ${{1320-1080}=240}$.

Problema 4. Con un 25% de descuento, una camisa cuesta $\$18$. ¿Cuánto costaba antes del descuento?

Solución: $\$18$ son el ${{100\%-25\%}={75\%}}$ del precio anterior:

${18\div 0{,}75}={\$24}$

Problema 5. Una ciudad de 50 000 habitantes perdió el 10% de su población en un año y creció un 10% al año siguiente. ¿Cuántas personas viven allí ahora?

${50\,000\times 0{,}9\times 1{,}1}={49\,500}$

Son 500 personas menos que al principio, una disminución del 1%.

Problema 6. Una tienda subió todos sus precios un 25%. Más tarde puso todo en oferta con un 20% de descuento. ¿Los precios de oferta son más altos o más bajos que los precios de antes de la subida?

Solución: ${{1{,}25\times 0{,}8}=1}$, así que los precios de oferta son exactamente iguales a los de antes.

Problema 7. El desempleo bajó del 8% al 6%. Describe el cambio en puntos porcentuales y en porcentaje.

Solución: El desempleo bajó ${{8-6}=2}$ puntos porcentuales. Como variación porcentual,

${\frac{6-8}{8}\times 100\%}={-25\%}$

es decir, el desempleo bajó un 25%.

Práctica

Resuelve cada problema y después ábrelo para comprobar tu respuesta.

1. Escribe 45% como decimal y como fracción irreducible.

${45\%}={0{,}45}={\frac{45}{100}}={\frac{9}{20}}$

2. Escribe $\frac{7}{8}$ como porcentaje.

${7\div 8}={0{,}875}={87{,}5\%}$

3. Calcula el 35% de 240.

${0{,}35\times 240}=84$

4. ¿Qué porcentaje de 36 es 27?

${\frac{27}{36}\times 100\%}={75\%}$

5. ¿De qué número es 18 el 45%?

${18\div 0{,}45}=40$

6. Unos zapatos cuestan $\$60$ y tienen un 15% de descuento. ¿Cuál es el precio con descuento?

${60\times 0{,}85}={\$51}$

7. El valor de un automóvil bajó de $\$25\,000$ a $\$21\,000$. ¿En qué porcentaje bajó?

${\frac{25\,000-21\,000}{25\,000}\times 100\%}={\frac{4000}{25\,000}\times 100\%}={16\%}$

8. Después de subir un 10%, un boleto de autobús cuesta $\$2{,}75$. ¿Cuánto costaba antes?

${{2{,}75\div 1{,}1}={\$2{,}50}}$

9. Un precio sube un 30% y después baja un 30%. ¿Cuál es el cambio total?

${{1{,}3\times 0{,}7}=0{,}91}$, así que el precio termina un 9% más bajo que al principio.

10. ¿Qué es mayor: el 40% de 70 o el 70% de 40?

Son iguales: ${{0{,}4\times 70}=28}$ y ${{0{,}7\times 40}=28}$.