Ecuaciones bicuadráticas

Una ecuación bicuadrática es una ecuación polinómica de cuarto grado que contiene únicamente potencias pares de la variable.

Definición

La forma general es:

$ax^4 + bx^2 + c = 0$

donde:
$(a \neq 0)$ $a, b, c$ son números reales

No hay términos en $x^3$ ni en $x$. Como solo aparecen potencias pares, la ecuación puede reducirse a una ecuación cuadrática.

Idea principal: Sustitución

Sea:

$u = x^2$

Entonces la ecuación se convierte en:

$au^2 + bu + c = 0$

Esta es una ecuación cuadrática estándar.

Después de resolverla, volvemos a:
$x^2 = u$

Como trabajamos en los números reales, debemos recordar:
$x^2 \ge 0$
Los valores negativos de $u$ no producen soluciones reales.

Procedimiento general de resolución

Paso 1: Sustituir $u = x^2$

Paso 2: Resolver la ecuación cuadrática en $u$

Paso 3: Conservar solo las soluciones donde $u \ge 0$

Paso 4: Resolver
$x = \pm \sqrt{u}$

Ejemplo 1 — Cuatro soluciones reales

Resolver:
$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Sustituir: $u^2 - 5u + 4 = 0$

Factorizar:
$(u - 4)(u - 1) = 0$
$u = 4 \quad \text{o} \quad u = 1$

Ambos son no negativos.

Sustituir de nuevo:
$x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$

$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

Soluciones:
$x = -2, -1, 1, 2$

Ejemplo 2 — Dos soluciones reales (un valor positivo y uno negativo de $u$)

Resolver:
$x^4 - x^2 - 6 = 0$

Sustituir: $u^2 - u - 6 = 0$

Factorizar: $ (u - 3)(u + 2) = 0$

$u = 3 \quad \text{o} \quad u = -2$

Como $x^2 \ge 0$, rechazamos $u = -2$.

Resolver el caso válido: $x^2 = 3$
$x = \pm \sqrt{3}$

Soluciones: $x = -\sqrt{3}, \quad \sqrt{3}$

Ejemplo 3 — Tres soluciones reales (una raíz repetida)

Resolver: $x^4 - 4x^2 = 0$

Factorizar: $x^2(x^2 - 4) = 0$
$x^2 = 0 \quad \text{o} \quad x^2 = 4$

Resolver:
$x = 0$
$x = \pm 2$

Soluciones:
$x = -2, 0, 2$

Aquí, $x = 0$ es una raíz repetida.
Todas las raíces son: $-2, 0, 0, 2$

Ejemplo 4 — Sin soluciones reales

Resolver: $x^4 + 4x^2 + 5 = 0$

Sustituir: $u^2 + 4u + 5 = 0$

Discriminante: $\Delta = 16 - 20 = -4$

Como la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales, la ecuación original no tiene soluciones reales.

Uso de la fórmula cuadrática

Cuando la ecuación cuadrática en $u$ no se factoriza con números enteros, usamos la fórmula cuadrática:

$u = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Ejemplo 5 — Soluciones irracionales

Resolver:
$x^4 - 6x^2 + 4 = 0$

Sustituir: $u^2 - 6u + 4 = 0$

Esto no se factoriza con números enteros, así que aplicamos la fórmula:
$u = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$

Ambos valores son positivos, ya que $\sqrt{5} \approx 2.24$ da $u \approx 5.24$ y $u \approx 0.76$.

Sustituir de nuevo:
$x = \pm\sqrt{3 + \sqrt{5}} \quad \text{y} \quad x = \pm\sqrt{3 - \sqrt{5}}$

Soluciones: cuatro soluciones reales (todas irracionales).

Resumen de todos los casos posibles

Sea que la ecuación cuadrática en $u$ tenga soluciones $u_1$ y $u_2$.

Interpretación gráfica

La función $f(x) = ax^4 + bx^2 + c$

es simétrica respecto al eje y porque:
$f(x) = f(-x)$

Las soluciones reales corresponden a los puntos donde la gráfica corta el eje x.

Ejercicios de práctica

Resuelve cada ecuación bicuadrática. Inténtalo tú mismo y luego comprueba tus respuestas más abajo.

1.   $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$
2.   $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$
3.   $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$
4.   $x^4 - 9x^2 = 0$
5.   $x^4 + 3x^2 + 2 = 0$

Respuestas

1.   $x = -3, -1, 1, 3$
2.   $x = -3, -2, 2, 3$
3.   $x = -2, 2$
4.   $x = -3, 0, 3$
5.   sin soluciones reales