MenúIdentidades polinomiales
Cuando tenemos una suma (diferencia) de dos o tres números elevados a la potencia de 2 o 3 y necesitamos eliminar los corchetes usamosIdentidades polinomiales (fórmulas de multiplicación corta):
(x - y)2 = x2 - 2xy + y2
Ejemplo 1: Si x = 10, y = 5a
(10 + 5a)2 = 102 + 2·10·5a + (5a)2 = 100 + 100a + 25a2
Ejemplo 2: Si x = 10 y y es 4
(10 - 4)2 = 102 - 2·10·4 + 42 = 100 - 80 + 16 = 36
Lo opuesto también es cierto:
25 + 20a + 4a2 = 52 + 2·2·5 + (2a)2 = (5 + 2a)2
Consecuencias de las fórmulas anteriores:
(-x - y)2 = (-(x + y))2 = (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Fórmulas para 3er grado:
(x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
Ejemplo: (1 + a2)3 = 13 + 3.12.a2 + 3.1.(a2)2 + (a2)3 = 1 + 3a2 + 3a4 + a6
(x - y - z)2 = x2 + y2 + z2 - 2xy - 2xz + 2yz
Reglas de factorización
x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy
o
x2 + y2 = (x - y)2 + 2xy
Ejemplo: 9a2 - 25b2 = (3a)2 - (5b)2 = (3a - 5b)(3a + 5b)
x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)
Si n es un número natural
Si n es par (n = 2k)
Si n es impar (n = 2k + 1)
Más fórmulas algebraicas
(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
a4 - b4 = (a + b)(a - b)[(a + b)2 - 2ab]
Problemas que implican identidades polinomiales
1) Simplifica la expresión: $(a - b)^2 - 2(a - b)(a + b) + (a + b)^2 =$
Solución:
$a^2 - 2ab + b^2 - 2(a^2 - b^2) + a^2 + 2ab + b^2 = 2a^2 + 2b^2 - 2a^2 + 2b^2 = 4b^2$
2) Simplifica la expresión: $(x^2 + 2)^2 - (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)=$
Solución:
$x^4 + 4x^2 + 4 - (x^2 - 4)(x^2 + 4)=x^4 + 4x^2 + 4 - (x^4 - 16) = x^4 + 4x^2 + 4 - x^4 + 16 = 4x^2 + 20$
3) Resuelva la ecuación: x2 - 25 = 0
Solución: x2 - 25 = (x - 5)(x + 5)
=> tenemos que resolver las siguientes 2 ecuaciones:
x - 5 = 0 o x + 5 = 0
por lo tanto la ecuación tiene dos soluciones: x = 5 y x = -5
