Identidades polinomiales

Las identidades polinomiales, también llamadas productos notables o identidades notables, son resultados ya hechos de multiplicaciones que aparecen una y otra vez. En lugar de multiplicar cada término por cada término, escribimos el resultado directamente. Son de las herramientas más usadas del álgebra y funcionan en dos sentidos:

• de izquierda a derecha, para quitar paréntesis: ${{(x+3)^2}={x^2+6x+9}}$;
• de derecha a izquierda, para factorizar un polinomio: ${{x^2-9}={(x-3)(x+3)}}$.

En las fórmulas, $a$ y $b$ pueden ser cualquier número o expresión, por ejemplo $2x$, $5y^2$ o ${x+1}$.

Tabla de identidades

Nombre	Fórmula
Cuadrado de una suma	${(a+b)^2}={a^2+2ab+b^2}$
Cuadrado de una diferencia	${(a-b)^2}={a^2-2ab+b^2}$
Diferencia de cuadrados	${a^2-b^2}={(a-b)(a+b)}$
Cubo de una suma	${(a+b)^3}={a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$
Cubo de una diferencia	${(a-b)^3}={a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}$
Suma de cubos	${a^3+b^3}={(a+b)(a^2-ab+b^2)}$
Diferencia de cubos	${a^3-b^3}={(a-b)(a^2+ab+b^2)}$

Cada una de estas identidades se demuestra multiplicando los paréntesis. A continuación verás cómo se hace y cómo se usa cada una.

Cuadrado de una suma y cuadrado de una diferencia

¿Por qué? Elevar al cuadrado es multiplicar la expresión por sí misma:

${(a+b)^2}={(a+b)(a+b)}={a^2+ab+ba+b^2}={a^2+2ab+b^2}$

Los dos términos iguales $ab$ y $ba$ dan el doble producto $2ab$. El dibujo muestra lo mismo: un cuadrado de lado ${a+b}$ está formado por un cuadrado $a^2$, dos rectángulos de área $ab$ y un cuadrado $b^2$.

${(a+b)^2}={a^2+ab+ab+b^2}={a^2+2ab+b^2}$

El cuadrado de una diferencia se calcula igual. Solo cambia el signo delante del doble producto:

${(a-b)^2}={(a-b)(a-b)}={a^2-ab-ba+b^2}={a^2-2ab+b^2}$

Ejemplos

Ejemplo 1. En ${(x+3)^2}$ el primer término es $x$ y el segundo es $3$:

${(x+3)^2}={x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2}={x^2+6x+9}$

Ejemplo 2. Cuando un término es un producto, como $2a$, ponlo entre paréntesis para elevar al cuadrado tanto el número como la letra:

${(2a-5)^2}={(2a)^2-2\cdot 2a\cdot 5+5^2}={4a^2-20a+25}$

Ejemplo 3.

${(3x+2y)^2}={(3x)^2+2\cdot 3x\cdot 2y+(2y)^2}={9x^2+12xy+4y^2}$

Ejemplo 4. Para elevar una potencia al cuadrado, se duplica su exponente:

${(1-x^2)^2}={1^2-2\cdot 1\cdot x^2+(x^2)^2}={1-2x^2+x^4}$

Las expresiones opuestas tienen el mismo cuadrado, así que ${{(b-a)^2}={(a-b)^2}}$ y ${{(-a-b)^2}={(a+b)^2}}$. Por ejemplo, ${(-x-3)^2}={(x+3)^2}={x^2+6x+9}$.

¡Cuidado! ${{(a+b)^2}\ne {a^2+b^2}}$. ¡No olvides el doble producto! Comprobación con números: ${(3+4)^2}=7^2=49$, pero ${3^2+4^2}={9+16}=25$. La diferencia ${{49-25}=24}$ es exactamente ${2\cdot 3\cdot 4}$.

Cálculo mental

Las identidades permiten elevar al cuadrado de memoria números cercanos a un número redondo:

$51^2={(50+1)^2}={2500+100+1}=2601$

$99^2={(100-1)^2}={10\,000-200+1}=9801$

Diferencia de cuadrados

Al multiplicar los paréntesis, los dos términos del medio se anulan:

${(a-b)(a+b)}={a^2+ab-ba-b^2}={a^2-b^2}$

Con un dibujo: recorta un cuadrado pequeño $b^2$ de la esquina del cuadrado $a^2$. Corta lo que queda en dos rectángulos y júntalos en un solo rectángulo de lados ${a+b}$ y ${a-b}$.

${a^2-b^2}={(a+b)(a-b)}$

Ejemplos

${(x-7)(x+7)}={x^2-7^2}={x^2-49}$

${(2y+1)(2y-1)}={(2y)^2-1^2}={4y^2-1}$

En sentido contrario, la identidad factoriza una diferencia de cuadrados:

${9a^2-25b^2}={(3a)^2-(5b)^2}={(3a-5b)(3a+5b)}$

Y algo de cálculo mental: ${51\cdot 49}={(50+1)(50-1)}={2500-1}=2499$, ${102\cdot 98}={100^2-2^2}=9996$.

¡Cuidado! No existe una identidad así para una suma de cuadrados ${a^2+b^2}$: no se puede factorizar con números reales, así que ${x^2+9}$ se queda como está. Una suma de cuadrados solo puede escribirse usando el cuadrado de una suma o de una diferencia: ${a^2+b^2}={(a+b)^2-2ab}={(a-b)^2+2ab}$.

Cubo de una suma y cubo de una diferencia

Demostración: multiplica ${(a+b)^2}$ una vez más por ${(a+b)}$:

${(a+b)^3}={(a^2+2ab+b^2)(a+b)}={a^3+a^2b+2a^2b}+{2ab^2+ab^2+b^3}={a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$

Ejemplos

${(2x-1)^3}={(2x)^3-3\cdot(2x)^2\cdot 1}+{3\cdot 2x\cdot 1^2-1^3}={8x^3-12x^2+6x-1}$

${(1+a^2)^3}={1+3\cdot a^2+3\cdot(a^2)^2+(a^2)^3}={1+3a^2+3a^4+a^6}$

De memoria: $11^3={(10+1)^3}={1000+300+30+1}=1331$.

¡Cuidado! ${{(a+b)^3}\ne {a^3+b^3}}$. Por ejemplo, ${{(1+2)^3}=27}$, pero ${{1^3+2^3}=9}$.

Suma y diferencia de cubos

El segundo factor se parece a ${(a-b)^2}$ o a ${(a+b)^2}$, pero su término del medio es $ab$, no $2ab$. Para recordar los signos:

• el primer paréntesis tiene el mismo signo que el lado izquierdo;
• el término del medio del segundo paréntesis tiene el signo contrario;
• el último signo siempre es más.

Comprobación multiplicando: todos los términos del medio se anulan.

${(a+b)(a^2-ab+b^2)}={a^3-a^2b+ab^2}+{a^2b-ab^2+b^3}={a^3+b^3}$

Ejemplos

${x^3-8}={x^3-2^3}={(x-2)(x^2+2x+4)}$

${27a^3+1}={(3a)^3+1^3}={(3a+1)(9a^2-3a+1)}$

Los segundos factores ${a^2\pm ab+b^2}$ no se pueden factorizar más con números reales.

Factorización: las identidades al revés

A menudo hay que reconocer una identidad dentro de un polinomio. Un trinomio de la forma ${a^2\pm 2ab+b^2}$ es un trinomio cuadrado perfecto. Cómo reconocerlo:

1. Dos de los términos son cuadrados: ${x^2=(x)^2}$, ${9=3^2}$, ${4a^2=(2a)^2}$.
2. El tercer término es el doble del producto de sus bases: ${{2\cdot x\cdot 3}=6x}$.
3. El signo de ese término es el signo dentro del paréntesis.

${x^2+6x+9}={x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2}={(x+3)^2}$

${25+20a+4a^2}={5^2+2\cdot 5\cdot 2a+(2a)^2}={(5+2a)^2}$

${4y^2-12y+9}={(2y)^2-2\cdot 2y\cdot 3+3^2}={(2y-3)^2}$

Pero ${x^2+5x+9}$ no es un cuadrado perfecto, porque ${2\cdot x\cdot 3}=6x\ne 5x$.

A veces se usa una identidad más de una vez. Primero saca el factor común, si lo hay:

${2x^3-18x}={2x(x^2-9)}={2x(x-3)(x+3)}$

${x^4-16}={(x^2-4)(x^2+4)}={(x-2)(x+2)(x^2+4)}$

Más identidades útiles

${(a+b+c)^2}={a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}$

${(a-b-c)^2}={a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc}$

${(a+b)^2+(a-b)^2}={2(a^2+b^2)}$

${(a+b)^2-(a-b)^2}=4ab$

${(a-b)^2}={(a+b)^2-4ab}$

${a^3+b^3}={(a+b)^3-3ab(a+b)}$

${a^4-b^4}={(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}$

Con ellas puedes calcular el valor de una expresión sin hallar los números. Si ${{a+b}=5}$ y ${ab=6}$, entonces

${a^2+b^2}={(a+b)^2-2ab}={25-12}=13$

${a^3+b^3}={(a+b)^3-3ab(a+b)}={125-90}=35$

Identidades para la potencia n

La diferencia de cuadrados y la diferencia de cubos son casos particulares de una identidad válida para todo número natural ${n\ge 2}$:

${a^n-b^n}={(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1})}$

En el segundo paréntesis las potencias de $a$ bajan, las de $b$ suben y todos los signos son más. Por ejemplo:

${a^4-b^4}={(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)}$

Si $n$ es impar, la suma ${a^n+b^n}$ es divisible entre ${a+b}$ (los signos del segundo paréntesis se alternan):

${a^n+b^n}={(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\dots+b^{n-1})}$

${a^5+b^5}={(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)}$

Si $n$ es par, lo que es divisible entre ${a+b}$ es la diferencia ${a^n-b^n}$, no la suma:

${a^n-b^n}={(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\dots-b^{n-1})}$

Para $n$ par, la suma ${a^n+b^n}$ no es divisible entre ${a+b}$. Por ejemplo, ${a^2+b^2}$ no se factoriza en absoluto.

Triángulo de Pascal

Los coeficientes de ${(a+b)^n}$ se leen en el triángulo de Pascal (también llamado de Tartaglia). Cada fila empieza y termina con 1, y cada uno de los demás números es la suma de los dos que tiene encima:

La fila $1;\ 2;\ 1$ da ${(a+b)^2}$, la fila $1;\ 3;\ 3;\ 1$ da ${(a+b)^3}$ y la fila siguiente da

${(a+b)^4}={a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4}$

Las potencias de $a$ bajan de $n$ a 0 y las de $b$ suben de 0 a $n$. En ${(a-b)^n}$ los signos se alternan, empezando por más.

Errores frecuentes

Incorrecto	Correcto
✗ ${(a+b)^2}={a^2+b^2}$	✓ ${(a+b)^2}={a^2+2ab+b^2}$
✗ ${(a-b)^2}={a^2-b^2}$	✓ ${(a-b)^2}={a^2-2ab+b^2}$
✗ ${(x-3)^2}={x^2-6x-9}$	✓ ${(x-3)^2}={x^2-6x+9}$
✗ $(2x)^2=2x^2$	✓ $(2x)^2=4x^2$
✗ ${-(x-2)^2}={-x^2-4x+4}$	✓ ${-(x-2)^2}={-x^2+4x-4}$
✗ ${x^2+9}={(x-3)(x+3)}$	✓ ${x^2-9}={(x-3)(x+3)}$
✗ ${(a+b)^3}={a^3+b^3}$	✓ ${(a+b)^3}={a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$

La comprobación más segura es sustituir las letras por números pequeños, por ejemplo ${x=1}$, y comparar ambos lados.

Problemas que implican identidades polinomiales

Problema 1. Resuelve la ecuación ${{x^2-25}=0}$.

Solución: El lado izquierdo es una diferencia de cuadrados: ${{x^2-25}={(x-5)(x+5)}}$. Un producto es cero cuando al menos uno de sus factores es cero: ${{x-5}=0}$ o ${{x+5}=0}$. La ecuación tiene dos raíces: ${x_1=5}$ y ${x_2=-5}$.

Problema 2. Simplifica la expresión ${(a-b)^2}-{2(a-b)(a+b)}+{(a+b)^2}$.

Solución: Desarrolla cada parte:

${(a^2-2ab+b^2)}-{2(a^2-b^2)}+{(a^2+2ab+b^2)}={2a^2+2b^2-2a^2+2b^2}={4b^2}$

Más rápido: la expresión tiene la forma ${{A^2-2AB+B^2}={(A-B)^2}}$, con ${A={a-b}}$ y ${B={a+b}}$, así que es igual a ${((a-b)-(a+b))^2}={(-2b)^2}={4b^2}$.

Problema 3. Simplifica la expresión ${(x^2+2)^2}-{(x-2)(x+2)(x^2+4)}$.

Solución: Usa dos veces la diferencia de cuadrados: ${{(x-2)(x+2)}={x^2-4}}$ y ${(x^2-4)(x^2+4)}={x^4-16}$. Entonces

${(x^2+2)^2-(x^4-16)}={x^4+4x^2+4-x^4+16}={4x^2+20}$

Problema 4. Simplifica la expresión ${(x+2)^2-(x-2)^2}$.

Solución: ${(x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)}=8x$. Es aún más rápido con la identidad ${(a+b)^2-(a-b)^2}=4ab$, donde ${a=x}$ y ${b=2}$, así que el resultado es ${{4\cdot x\cdot 2}=8x}$.

Problema 5. Resuelve la ecuación ${{(x+3)^2-(x-1)^2}=24}$.

Solución: ${(x^2+6x+9)-(x^2-2x+1)}=24$, es decir, ${{8x+8}=24}$, de donde ${x=2}$. Comprobación: ${{5^2-1^2}=24}$.

Problema 6. Calcula ${1001^2-999^2}$.

Solución: ${1001^2-999^2}={(1001-999)(1001+999)}={2\cdot 2000}=4000$.

Problema 7. Factoriza ${3x^3-12x}$.

Solución: ${3x^3-12x}={3x(x^2-4)}={3x(x-2)(x+2)}$.

Problema 8. Demuestra que la diferencia de los cuadrados de dos números impares consecutivos es divisible entre 8.

Solución: Dos números impares consecutivos se pueden escribir como ${2k-1}$ y ${2k+1}$. Por la identidad ${(a+b)^2-(a-b)^2}=4ab$ con ${a=2k}$ y ${b=1}$: ${(2k+1)^2-(2k-1)^2}={4\cdot 2k\cdot 1}=8k$, y $8k$ es divisible entre 8. Por ejemplo, ${7^2-5^2}=24={8\cdot 3}$.

Práctica

Resuelve cada problema y después ábrelo para comprobar tu respuesta.

1. ${(x+5)^2}$

${x^2+10x+25}$

2. ${(3a-2b)^2}$

${(3a)^2-2\cdot 3a\cdot 2b+(2b)^2}={9a^2-12ab+4b^2}$

3. ${(2y-7)(2y+7)}$

${{(2y)^2-7^2}={4y^2-49}}$

4. Calcula $49^2$ de memoria

${(50-1)^2}={2500-100+1}=2401$

5. ${(a+2)^3}$

${a^3+3\cdot a^2\cdot 2+3\cdot a\cdot 2^2+2^3}={a^3+6a^2+12a+8}$

6. Factoriza ${16x^2-1}$

${(4x)^2-1^2}={(4x-1)(4x+1)}$

7. Factoriza ${x^2-14x+49}$

${x^2-2\cdot x\cdot 7+7^2}={(x-7)^2}$

8. Factoriza ${8m^3-125}$

${(2m)^3-5^3}={(2m-5)(4m^2+10m+25)}$

9. Si ${{a-b}=3}$ y ${ab=10}$, halla ${a^2+b^2}$

${a^2+b^2}={(a-b)^2+2ab}={9+20}=29$

10. Resuelve la ecuación ${{(x-4)^2}=x^2}$

${{x^2-8x+16}=x^2}$, así que ${{-8x+16}=0}$ y ${x=2}$.