Ecuaciones lineales

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones, por ejemplo ${3x+5=20}$. La letra $x$ representa un número desconocido, y resolver la ecuación significa encontrar el número que hace verdadera la igualdad. Las ecuaciones en las que la incógnita aparece solo con exponente 1, como ${3x+5=20}$ o ${2(x-1)=\frac{x}{3}+4}$, se llaman ecuaciones lineales (o ecuaciones de primer grado). Son las primeras ecuaciones que se aprenden a resolver, y casi todos los problemas verbales de álgebra llevan a una de ellas.

En esta página: Qué es una ecuación · La regla de la balanza · Ecuaciones de un paso · Transposición de términos · Multiplicar y dividir · Paso a paso · Fracciones · Proporciones · Sin solución o infinitas soluciones · Despejar una letra · Problemas resueltos · Práctica

¿Qué es una ecuación?

Las dos expresiones de una ecuación son sus miembros: en ${3x+5=20}$ el primer miembro es ${3x+5}$ y el segundo es $20$. Un número que hace iguales los dos miembros es una solución, o raíz, de la ecuación.

Ejemplo. ¿Es ${x=5}$ una solución de ${3x+5=20}$? Sustituimos $x$ por 5:

${3\cdot 5+5}={15+5}={20}$ ✓

Los dos miembros son iguales, así que ${x=5}$ es una solución. El número 4 no lo es: ${3\cdot 4+5=17}$, no 20.

Sustituir la respuesta en la ecuación se llama comprobar la solución. Lleva unos segundos y detecta la mayoría de los errores.

La regla de la balanza

Imagina una ecuación como una balanza en equilibrio. Los dos platillos pesan lo mismo, y la balanza sigue en equilibrio mientras hagas lo mismo en los dos miembros.

Si quitamos 3 pesas de cada platillo, la balanza sigue en equilibrio: ${x+3=7}$ se convierte en ${x=4}$.

Para resolver una ecuación, usa estas operaciones hasta dejar $x$ sola en un miembro. El otro miembro es la solución.

Nunca multipliques los dos miembros por 0. ${x=3}$ es verdadera para un solo número, pero ${0\cdot x=0\cdot 3}$ es verdadera para cualquier número, y la solución se pierde.

Ecuaciones de un paso

Si a $x$ solo se le aplica una operación, deshazla con la operación inversa: la resta deshace la suma, la división deshace la multiplicación, y al revés.

Ecuación	Qué hacer en los dos miembros	Solución
${x+7=12}$	restar 7	${x=5}$
${x-7=9}$	sumar 7	${x=16}$
${5x=35}$	dividir entre 5	${x=7}$
${\frac{x}{4}=3}$	multiplicar por 4	${x=12}$

Ejemplo. Resuelve ${x-7=9}$. Suma 7 a los dos miembros:

${{x-7+7}={9+7}}$, así que ${x=16}$

Comprobación: ${16-7=9}$ ✓

Transposición de términos

Fíjate en lo que pasó en el último ejemplo: $-7$ desapareció del primer miembro y $+7$ apareció en el segundo. Sumar o restar el mismo número en los dos miembros siempre funciona así, de modo que puedes tomar un atajo.

Ejemplo 1. Resuelve ${5x-4=3x+10}$. Pasa ${3x}$ al primer miembro y ${-4}$ al segundo, cambiándoles el signo:

${{5x-3x}={10+4}}$

${{2x}={14}}$, así que ${x=7}$

Comprobación: ${5\cdot 7-4=31}$ y ${3\cdot 7+10=31}$ ✓

No importa en qué miembro quede $x$: si ${7=x}$, entonces ${x=7}$. Normalmente lo más cómodo es reunir los términos con $x$ en el miembro donde quedan positivos.

Ejemplo 2. Un mismo término en los dos miembros se puede tachar, porque eso equivale a restarlo de los dos miembros:

${{x+3+2x}={7+2x}}$, así que ${x+3=7}$ y ${x=4}$

Ejemplo 3. Puedes cambiar el signo de todos los términos de los dos miembros, porque eso equivale a multiplicar los dos miembros por $-1$:

${-x+5=-3}$ es lo mismo que ${x-5=3}$, así que ${x=8}$

Multiplicar y dividir los dos miembros

Cuando $x$ está multiplicada por un número, divide los dos miembros entre ese número. Cuando $x$ está dividida entre un número, multiplica los dos miembros por él.

Ejemplo 1. En ${-4x=-5}$, divide los dos miembros entre $-4$: ${x=\frac{5}{4}}$.

Ejemplo 2. En ${\frac{x}{6}=-2}$, multiplica los dos miembros por 6: ${x=-12}$.

Ejemplo 3. En ${\frac{2}{3}x=8}$, multiplica los dos miembros por el inverso de $\frac{2}{3}$:

${x}={8\cdot\frac{3}{2}}={12}$

Ejemplo 4. Si $x$ aparece en varios términos, redúcelos primero y luego divide entre el coeficiente completo:

${{7x-2x+x}={42}}$, así que ${6x=42}$ y ${x=7}$

Divide todos los términos. En ${2x+6=10}$ no puedes dividir entre 2 solo $2x$. O restas 6 primero, y queda ${2x=4}$ y ${x=2}$, o divides entre 2 todos los términos, y queda ${x+3=5}$ y ${x=2}$.

Resolver paso a paso

La mayoría de las ecuaciones necesitan varias operaciones. Este orden sirve para cualquier ecuación lineal:

Ejemplo 1. Resuelve ${16x+10-32=35-10x-5}$. Primero agrupa los números de cada miembro:

${{16x-22}={30-10x}}$

${{16x+10x}={30+22}}$

${{26x}={52}}$, así que ${x=2}$

Ejemplo 2. Resuelve ${7(3x-6)}+{5(x-3)}-{2(x-7)}={5}$.

${21x-42+5x-15-2x+14}={5}$

${{24x-43}={5}}$

${{24x}={48}}$, así que ${x=2}$

Comprobación: ${7\cdot 0+5\cdot(-1)-2\cdot(-5)}={0-5+10}={5}$ ✓

Ejemplo 3. Los cuadrados se pueden cancelar. Resuelve ${(x-3)(x+4)}-{2(3x-2)}={(x-4)^2}$.

${x^2+x-12-6x+4}={x^2-8x+16}$

${x^2-5x-8}={x^2-8x+16}$

Los términos con $x^2$ se cancelan, así que la ecuación sí es lineal:

${{-5x+8x}={16+8}}$, así que ${3x=24}$ y ${x=8}$

Ecuaciones con fracciones

Ejemplo 1. Resuelve ${\frac{3x}{4}+6=\frac{5x}{8}+7}$. El mínimo común denominador es 8:

${{6x+48}={5x+56}}$, así que ${x=8}$

Ejemplo 2. Resuelve ${x+\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=11}$. Multiplica por 6:

${{6x+3x+2x}={66}}$, así que ${11x=66}$ y ${x=6}$

Ejemplo 3. Si un numerador tiene varios términos, ponlo entre paréntesis antes de multiplicar. Resuelve ${\frac{x-5}{4}+6x=\frac{284-x}{5}}$. Multiplica por 20:

${5(x-5)+120x}={4(284-x)}$

${5x-25+120x}={1136-4x}$

${{129x}={1161}}$, así que ${x=9}$

Un signo menos delante de una fracción cambia el signo de todo el numerador. En ${3x-\frac{x-4}{4}-4=\frac{5x+14}{3}-\frac{1}{12}}$, al multiplicar por 12 se obtiene ${36x-3(x-4)-48}={4(5x+14)-1}$, y ${-3(x-4)}$ es ${-3x+12}$, no ${-3x-12}$. La solución es ${x=7}$.

La incógnita en un denominador

Si $x$ está en un denominador, multiplica también por ese denominador. Un valor de $x$ que anula un denominador no puede ser solución, así que comprueba siempre la respuesta.

Ejemplo 4. Resuelve ${\frac{6}{10-x}+7=8}$. Multiplica por ${10-x}$:

${6+7(10-x)}={8(10-x)}$

${{6+70-7x}={80-8x}}$, así que ${x=4}$

Comprobación: ${\frac{6}{6}+7=8}$ ✓, y el denominador ${10-4}$ no es cero.

Decimales

Los decimales se eliminan de la misma manera, multiplicando por 10, 100, …

Ejemplo 5. Resuelve ${0{,}5x+1{,}2=0{,}3x+2}$. Multiplica por 10:

${{5x+12}={3x+20}}$, así que ${2x=8}$ y ${x=4}$

Ecuaciones en forma de proporción

Una ecuación de la forma ${\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$ es una proporción. La forma más rápida de resolverla es multiplicar en cruz: ${ad=bc}$.

Ejemplo. Resuelve ${\frac{x+2}{5}=\frac{x-1}{2}}$.

${{2(x+2)}={5(x-1)}}$

${{2x+4}={5x-5}}$, así que ${9=3x}$ y ${x=3}$

Comprobación: ${\frac{3+2}{5}=1}$ y ${\frac{3-1}{2}=1}$ ✓

Sin solución o con infinitas soluciones

Toda ecuación lineal se puede llevar a la forma ${ax=b}$. Normalmente $a$ no es cero y hay exactamente una solución, ${x=\frac{b}{a}}$. Pero a veces la $x$ se cancela por completo:

Después de simplificar	Soluciones
${ax=b}$ con $a\ne 0$	exactamente una, ${x=\frac{b}{a}}$
una igualdad verdadera, como ${0=0}$ o ${3=3}$	cualquier número es solución
una igualdad falsa, como ${0=5}$	no tiene solución

Ejemplo 1. En ${5-3x=7-3x}$, al transponer los términos se obtiene ${0=2}$, que es falso para cualquier $x$. La ecuación no tiene solución.

Ejemplo 2. En ${3(x+1)^2-(3x+5)x=x+3}$, el primer miembro se simplifica a ${3x^2+6x+3-3x^2-5x}$, es decir, a ${x+3}$. La ecuación dice ${x+3=x+3}$, que es verdadero para cualquier número.

${0=0}$ no significa ${x=0}$: significa que cualquier número es solución. Y ${4x=0}$ no es «sin solución»: su solución es ${x=0}$.

Despejar una letra

Una ecuación puede tener otras letras además de la incógnita, por ejemplo si es una fórmula. Para despejar una letra, trata las demás como números y usa las mismas operaciones.

Ejemplo 1. Despeja $x$ en ${\frac{x}{c}+a=b}$. Resta $a$ y luego multiplica por $c$:

${{\frac{x}{c}}={b-a}}$, así que ${x=c(b-a)}$

Ejemplo 2. El área de un triángulo es ${A=\frac{1}{2}bh}$. Despeja $h$: multiplica por 2 y luego divide entre $b$:

${{2A}={bh}}$, así que ${h=\frac{2A}{b}}$

Ejemplo 3. Despeja $x$ en ${ax+x=h-4}$. Saca $x$ como factor común y luego divide:

${{(a+1)x}={h-4}}$, así que ${x=\frac{h-4}{a+1}}$

El último paso divide entre ${a+1}$, lo que solo se puede hacer si ${a\ne -1}$. Cuando el coeficiente de $x$ contiene letras, comprueba qué ocurre cuando vale cero: así se resuelven las ecuaciones con parámetros.

Errores comunes

Incorrecto	Correcto
✗ ${x+5=12}$, así que ${x=12+5}$	✓ Un término que cambia de miembro cambia de signo: $x=12-5=7$
✗ ${\frac{x}{2}+3=5}$, así que ${x+3=10}$	✓ Multiplica todos los términos: ${x+6=10}$, así que ${x=4}$
✗ ${2x+6=10}$, así que ${x+6=5}$	✓ Divide todos los términos: ${x+3=5}$, así que ${x=2}$
✗ ${-3x=12}$, así que ${x=4}$	✓ Divide entre $-3$: ${x=-4}$
✗ $1-\frac{x-3}{5}$ se convierte en $5-x-3$	✓ El signo menos afecta a todo el numerador: ${5-(x-3)=5-x+3}$
✗ ${4x=0}$ no tiene solución	✓ Su solución es ${x=0}$
✗ ${0=0}$, así que ${x=0}$	✓ Cualquier número es solución

Problemas resueltos

Problema 1. Resuelve ${7u-9-3u+5=11u-6-4u}$.

Solución: Reduce los términos semejantes de cada miembro:

${{4u-4}={7u-6}}$

${{6-4}={7u-4u}}$, así que ${2=3u}$ y ${u=\frac{2}{3}}$

Problema 2. Resuelve ${(x+1)^3}-{(x-1)^3}={6(x^2+x+1)}$.

Solución: Desarrolla los cubos:

${x^3+3x^2+3x+1}-{(x^3-3x^2+3x-1)}={6x^2+6x+6}$

${{6x^2+2}={6x^2+6x+6}}$

${{2}={6x+6}}$, así que ${6x=-4}$ y ${x=-\frac{2}{3}}$

Problema 3. Resuelve ${\frac{x+1}{3}-\frac{2x+5}{2}=-3}$.

Solución: Multiplica por 6:

${2(x+1)-3(2x+5)}={-18}$

${{2x+2-6x-15}={-18}}$

${{-4x-13}={-18}}$, así que ${-4x=-5}$ y ${x=\frac{5}{4}}$

Problema 4. Resuelve ${\frac{6x-1}{5}-\frac{1-2x}{2}=\frac{12x+49}{10}}$.

Solución: Multiplica por 10:

${2(6x-1)-5(1-2x)}={12x+49}$

${12x-2-5+10x}={12x+49}$

${{10x}={56}}$, así que ${x=5{,}6}$

Problema 5. Resuelve ${(2x-1)^2}-{x(10x+1)}={x(1-x)(1+x)}-{(2-x)^3}$.

Solución: Simplifica cada miembro por separado:

${4x^2-4x+1-10x^2-x}={-6x^2-5x+1}$

${x-x^3-(8-12x+6x^2-x^3)}={-6x^2+13x-8}$

La ecuación queda

${-6x^2-5x+1}={-6x^2+13x-8}$, así que ${9=18x}$ y ${x=\frac{1}{2}}$

Problema 6. Resuelve ${\frac{6x+7}{9}+\frac{7x-13}{6x+3}=\frac{2x+4}{3}}$.

Solución: Multiplica los dos miembros por ${9(6x+3)}$:

${(6x+7)(6x+3)+9(7x-13)}={3(2x+4)(6x+3)}$

${36x^2+60x+21+63x-117}={36x^2+90x+36}$

${{123x-96}={90x+36}}$, así que ${33x=132}$ y ${x=4}$

El denominador ${6\cdot 4+3=27}$ no es cero, así que ${x=4}$ es la solución.

Problema 7. Se da la función ${f(x)=x+4}$. Resuelve ${\frac{3f(x-2)}{f(0)}+4=f(2x+1)}$.

Solución: Aquí ${f(0)=4}$, ${f(x-2)=x+2}$ y ${f(2x+1)=2x+5}$, así que la ecuación es

${{\frac{3(x+2)}{4}+4}={2x+5}}$

${{3x+6+16}={8x+20}}$, así que ${2=5x}$ y ${x=\frac{2}{5}}$

Problema 8. A un hombre le preguntaron cuánto pagó por su reloj. Respondió: «Si multiplicas el precio por 4, le sumas 70 y luego le restas 50, obtienes 220 dólares». ¿Cuánto costó el reloj?

Solución: Sea $x$ el precio en dólares:

${{4x+70-50}={220}}$, así que ${4x=200}$ y ${x=50}$

El reloj costó $\$50$. Encontrarás más problemas como este en problemas con ecuaciones.

Práctica

Intenta resolver cada problema y luego ábrelo para comprobar tu respuesta.

1. Resuelve ${x+9=4}$.

${x=4-9=-5}$

2. Resuelve ${-7x=42}$.

Divide entre $-7$: ${x=-6}$

3. Resuelve ${\frac{x}{5}=-3}$.

Multiplica por 5: ${x=-15}$

4. Resuelve ${3x-7=2x+5}$.

${{3x-2x}={5+7}}$, así que ${x=12}$

5. Resuelve ${5(x-2)=3(x+4)}$.

${{5x-10}={3x+12}}$, así que ${2x=22}$ y ${x=11}$

6. Resuelve ${40-6x-16=120-14x}$.

${{24-6x}={120-14x}}$, así que ${8x=96}$ y ${x=12}$

7. Resuelve ${\frac{x}{3}+\frac{x}{4}=7}$.

Multiplica por 12: ${4x+3x=84}$, así que ${7x=84}$ y ${x=12}$

8. Resuelve ${3x+\frac{2x+6}{5}=5+\frac{11x-37}{2}}$.

Multiplica por 10: ${30x+2(2x+6)}={50+5(11x-37)}$, así que ${{34x+12}={55x-135}}$, ${147=21x}$ y ${x=7}$

9. Resuelve ${\frac{6x-4}{3}-2=\frac{18-4x}{3}+x}$.

Multiplica por 3: ${{6x-4-6}={18-4x+3x}}$, así que ${{6x-10}={18-x}}$, ${7x=28}$ y ${x=4}$

10. Resuelve ${2(3x-1)-3(2x+1)=6}$.

${{6x-2-6x-3}={6}}$ da ${-5=6}$, que es falso: la ecuación no tiene solución.

11. Resuelve ${\frac{x+2}{3}=\frac{2x-1}{5}}$.

Multiplica en cruz: ${{5(x+2)}={3(2x-1)}}$, así que ${{5x+10}={6x-3}}$ y ${x=13}$

12. El perímetro de un rectángulo es ${P=2(a+b)}$. Despeja $b$.

Divide entre 2: ${\frac{P}{2}=a+b}$, así que ${b=\frac{P}{2}-a}$

Más práctica, con ecuaciones nuevas cada vez:

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