Inecuaciones polinómicas y racionales

Una inecuación polinómica compara un polinomio con cero, o se puede transformar para que lo haga, por ejemplo ${x^3-x\gt 0}$ o ${3x^4+10x}\le{11x^3+4.}$ En una inecuación racional la incógnita aparece en un denominador, por ejemplo ${\frac{x-3}{x+4}}\ge{\frac{x+2}{x-5}.}$ Ambos tipos se resuelven con la misma idea: buscamos los números donde la expresión vale cero o no está definida, dividimos con ellos la recta numérica en intervalos y hallamos el signo de la expresión en cada intervalo. Es el método de los intervalos, también llamado método de la tabla de signos.

En esta página: Inecuaciones polinómicas · Alternancia de signos · Raíces múltiples · Inecuaciones racionales · Errores comunes · Ejercicios

Inecuaciones polinómicas

Después de pasar todos los términos a un lado, una inecuación polinómica tiene una de las formas ${P(x)\gt 0,}$ ${P(x)\ge 0,}$ ${P(x)\lt 0}$ o ${P(x)\le 0,}$ donde ${P(x)}$ es un polinomio. Una inecuación cuadrática, como ${3x^2-2x-5}\gt{0,}$ es el caso de grado 2: sus puntos de corte son las raíces de la ecuación cuadrática. Otros ejemplos: ${x^3-x\gt 0,}$   ${-2x^4+x^2-3}\lt{7,}$   ${4x^3-2x^2}\gt{{5x+7}.}$

El método de los intervalos

1. Pasamos todos los términos a un lado, de modo que en el otro quede ${0.}$
2. Resolvemos la ecuación asociada ${P(x)=0}$: factorizamos el polinomio y hallamos sus raíces.
3. Marcamos las raíces en la recta numérica. La dividen en intervalos.
4. Hallamos el signo de ${P(x)}$ en cada intervalo: sustituimos un valor de prueba del intervalo o usamos la regla de alternancia de signos (más abajo).
5. Elegimos los intervalos con el signo buscado. Con ${\ge}$ y ${\le}$ las raíces forman parte de la solución (corchetes); con ${\gt}$ y ${\lt}$ no (paréntesis).

Ejemplo 1

Resuelve ${x^3-x\gt 0.}$

El lado derecho ya es ${0.}$ Factorizamos el lado izquierdo:

${x^3-x}={x(x^2-1)}={x(x+1)(x-1)}$

Las raíces son ${-1,}$ ${0}$ y ${1.}$ Dividen la recta numérica en cuatro intervalos. Tomamos un valor de prueba en cada uno:

Intervalo	${x}$	${x^3-x}$
${(-\infty,\,-1)}$	${-2}$	${-6}$
${(-1,\,0)}$	${-0{,}5}$	${0{,}375}$
${(0,\,1)}$	${0{,}5}$	${-0{,}375}$
${(1,\,+\infty)}$	${2}$	${6}$

Los signos de ${x^3-x}$ en los intervalos. Los círculos vacíos indican que las raíces no son soluciones.

Buscamos ${x^3-x\gt 0,}$ así que tomamos los dos intervalos con signo «+». En las raíces la expresión vale ${0,}$ y ${0\gt 0}$ es falso, por lo que las raíces quedan fuera.

Solución: $x\in(-1,\,0)\cup(1,\,+\infty),$ es decir, ${-1\lt x\lt 0}$ o ${x\gt 1.}$

La gráfica de ${y=x^3-x}$ muestra lo mismo: la curva está por encima del eje ${x}$ justo sobre esos dos intervalos.

La gráfica de ${y=x^3-x.}$ La solución está marcada en naranja sobre el eje ${x.}$

La regla de alternancia de signos

Los valores de prueba siempre funcionan, pero si el polinomio ya está factorizado hay un camino más rápido. Lo escribimos en la forma

${P(x)}={a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n),}$   donde $x_1\lt x_2\lt\dots\lt x_n.$

A la derecha de la raíz mayor todos los paréntesis son positivos, así que allí ${P(x)}$ tiene el signo del coeficiente principal ${a.}$ Cada vez que pasamos una raíz hacia la izquierda, exactamente un paréntesis cambia de signo, y por tanto también cambia el signo del producto.

En el ejemplo 1, ${x^3-x}={x(x+1)(x-1)}$ tiene ${a=1\gt 0,}$ así que de derecha a izquierda los signos son ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ tal como mostraron los valores de prueba.

Ejemplo 2

Resuelve ${3x^4+10x}\le{11x^3+4.}$

Restamos ${11x^3+4}$ en ambos lados:

${3x^4-11x^3+10x-4}\le 0$

Solución algebraica

Resolvemos la ecuación asociada ${3x^4-11x^3+10x-4}=0.$ Primero probamos números pequeños: ${P(-1)}={3+11-10-4}={{0},}$ así que ${x=-1}$ es raíz y el polinomio es divisible entre ${x+1.}$ La división (por ejemplo, con la regla de Horner) da

${3x^4-11x^3+10x-4}={(x+1)(3x^3-14x^2+14x-4)}$

Si un polinomio con coeficientes enteros tiene una raíz racional ${\frac pq,}$ entonces ${p}$ divide al término independiente y ${q}$ divide al coeficiente principal. Para el polinomio cúbico los candidatos son ${\pm1,}$ ${\pm2,}$ ${\pm4,}$ ${\pm\frac13,}$ ${\pm\frac23,}$ ${\pm\frac43,}$ y ${x=\frac23}$ es raíz:

${3\cdot\frac{8}{27}-14\cdot\frac49+14\cdot\frac23-4}={\frac{8-56+84-36}{9}}={0}$

Al dividir el cúbico entre ${3x-2}$ queda ${x^2-4x+2,}$ cuyas raíces son ${x}={\frac{4\pm\sqrt{16-8}}{2}}={{2\pm\sqrt2}.}$ Por tanto,

${3x^4-11x^3+10x-4}={(x+1)(3x-2)(x^2-4x+2)}$

y las cuatro raíces, de menor a mayor, son

${-1}\lt{2-\sqrt2}\lt{\frac23}\lt{2+\sqrt2,}$   o aproximadamente   ${-1;}$ ${0{,}586;}$ ${0{,}667;}$ ${3{,}414.}$

El coeficiente principal es ${3\gt 0}$ y las cuatro raíces son distintas, así que de derecha a izquierda los signos son ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ ${+}$:

Los valores de prueba lo confirman (el valor ${0{,}6}$ está entre ${0{,}586}$ y ${0{,}667}$):

Intervalo	${x}$	${P(x)}$
${(-\infty,\,-1)}$	${-2}$	${112}$
${(-1,\,2-\sqrt2)}$	${0}$	${-4}$
${(2-\sqrt2,\,\frac23)}$	${0{,}6}$	${0{,}0128}$
${(\frac23,\,2+\sqrt2)}$	${1}$	${-2}$
${(2+\sqrt2,\,+\infty)}$	${4}$	${100}$

Buscamos ${P(x)\le 0}$: los dos intervalos con signo «−» junto con sus extremos, porque la desigualdad no es estricta.

Solución: $x\in\left[-1,\,2-\sqrt2\,\right]\cup\left[\frac23,\,2+\sqrt2\,\right].$

Solución gráfica

La gráfica de $y={3x^4-11x^3+10x-4}$ corta el eje ${x}$ en ${x=-1}$ y cerca de ${x=3{,}414.}$ Entre ${x=0}$ y ${x=1}$ parece que la curva solo toca el eje.

Si ampliamos la zona marcada con el círculo, vemos que la curva en realidad corta el eje dos veces: en ${2-\sqrt2}\approx{0{,}586}$ y en ${\frac23}\approx{0{,}667.}$ Entre esas raíces hay una pequeña joroba por encima del eje; su punto más alto vale solo unos ${0{,}022.}$

La gráfica está sobre el eje ${x}$ o por debajo de él desde ${-1}$ hasta ${0{,}586}$ y desde ${0{,}667}$ hasta ${3{,}414,}$ lo que coincide con la solución algebraica. Una gráfica es una buena comprobación, pero solo da valores aproximados y puede ocultar raíces muy próximas entre sí. El álgebra da los puntos críticos exactos; la gráfica muestra de un vistazo qué intervalos cumplen la inecuación.

Ejemplo 3

Resuelve ${x^4-5x^2+4}\lt 0.$

El lado izquierdo es bicuadrático, es decir, cuadrático en ${x^2.}$ Lo factorizamos en dos pasos:

${x^4-5x^2+4}={(x^2-1)(x^2-4)}={(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)}$

Las raíces ${-2,}$ ${-1,}$ ${1,}$ ${2}$ son distintas y el coeficiente principal es ${1,}$ así que de derecha a izquierda los signos son ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ ${+.}$

Solución: $x\in(-2,\,-1)\cup(1,\,2).$

Raíces múltiples

Si un paréntesis aparece dos veces, como en ${(x-2)^2,}$ entonces ${2}$ es una raíz doble. Un cuadrado nunca es negativo, así que allí el signo no cambia.

Ejemplo 4. Resuelve ${x^3-4x^2+4x}\le 0.$

${x^3-4x^2+4x}={x(x^2-4x+4)}={x(x-2)^2}$

La raíz ${0}$ es simple y la raíz ${2}$ es doble. A la derecha de ${2}$ el signo es ${+.}$ Al pasar por ${2}$ sigue siendo ${+;}$ al pasar por ${0}$ cambia a ${-.}$

La expresión es negativa para ${x\lt 0}$ y vale ${0}$ en ${x=0}$ y en ${x=2.}$ Todos esos números cumplen ${\le 0.}$

Solución: $x\in(-\infty,\,0]\cup\{2\}.$

No olvides el punto aislado ${x=2.}$ Para la desigualdad estricta ${x(x-2)^2\lt 0}$ la solución sería solo ${x\lt 0.}$ Para ${x(x-2)^2\gt 0}$ sería $x\in(0,\,2)\cup(2,\,+\infty);$ ahí hay que excluir el ${2.}$

La gráfica de ${y=x(x-2)^2}$ corta el eje ${x}$ en la raíz simple ${0}$ y solo lo toca en la raíz doble ${2.}$

Factores que nunca valen cero

Un factor cuadrático con discriminante negativo, como ${x^2+x+1}$ (${D=1-4=-3\lt 0}$), no tiene raíces reales. Conserva el signo de su coeficiente principal para todo ${x,}$ así que no influye en la tabla de signos. Un factor positivo se puede quitar sin más, porque dividir entre un número positivo no cambia la desigualdad.

Ejemplo 5. Resuelve ${(x^2+x+1)(x^2-9)}\ge 0.$

Como ${x^2+x+1\gt 0}$ para todo ${x,}$ la inecuación equivale a ${x^2-9\ge 0,}$ es decir, a ${(x+3)(x-3)}\ge 0.$

Solución: $x\in(-\infty,\,-3]\cup[3,\,+\infty).$

Inecuaciones racionales

En una inecuación racional la incógnita aparece en un denominador. Después de pasar todos los términos a un lado y escribirlos como una sola fracción, tiene la forma ${\frac{P(x)}{Q(x)}}\gt 0$ (o ${\ge,}$ ${\lt,}$ ${\le}$), donde ${P}$ y ${Q}$ son polinomios.

Método para inecuaciones racionales

1. Pasamos todos los términos a un lado y los reducimos a común denominador.
2. Factorizamos el numerador y el denominador.
3. Hallamos los puntos críticos: los ceros del numerador y los ceros del denominador.
4. Los marcamos en la recta numérica. Los ceros del denominador son siempre círculos vacíos. Los ceros del numerador son círculos rellenos con ${\ge}$ y ${\le,}$ y vacíos con ${\gt}$ y ${\lt.}$
5. Hallamos el signo en cada intervalo con valores de prueba o con la regla de alternancia de signos. Los paréntesis del denominador cuentan igual que los del numerador, porque ${\frac PQ}$ y ${P\cdot Q}$ siempre tienen el mismo signo.
6. Escribimos la solución. Nunca incluimos un cero del denominador.

Ejemplo 6

Resuelve ${\frac{x-3}{x+4}}\ge{\frac{x+2}{x-5}.}$

Solución algebraica

Restamos ${\frac{x+2}{x-5}}$ y reducimos las dos fracciones al común denominador ${(x+4)(x-5)}$:

${\frac{x-3}{x+4}-\frac{x+2}{x-5}}\ge 0$

${\frac{(x-3)(x-5)-(x+2)(x+4)}{(x+4)(x-5)}}\ge 0$

El numerador es ${(x^2-8x+15)}-{(x^2+6x+8)}={{-14x+7},}$ así que

${\frac{-14x+7}{(x+4)(x-5)}}\ge 0$

Dividimos ambos lados entre ${-7.}$ Al dividir entre un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte:

${\frac{2x-1}{(x+4)(x-5)}}\le 0$

Los puntos críticos son ${x=\frac12}$ (cero del numerador; círculo relleno, porque la desigualdad no es estricta) y ${x=-4,}$ ${x=5}$ (ceros del denominador; círculos vacíos). Salvo un factor positivo, todos los paréntesis son de la forma ${(x-c),}$ así que de derecha a izquierda los signos son ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-.}$

Necesitamos los intervalos con signo «−», incluido ${\frac12}$ pero sin ${-4}$ ni ${5.}$

Solución: $x\in(-\infty,\,-4)\cup\left[\frac12,\,5\right).$

Como comprobación, estos son valores de prueba de ${f(x)}={\frac{x-3}{x+4}-\frac{x+2}{x-5},}$ la diferencia entre los dos lados de la inecuación original:

Intervalo	${x}$	${f(x)}$
${(-\infty,\,-4)}$	${-5}$	${7{,}7}$
${(-4,\,\frac12)}$	${-2}$	${-2{,}5}$
${(\frac12,\,5)}$	${3}$	${2{,}5}$
${(5,\,+\infty)}$	${6}$	${-7{,}7}$

Solución gráfica

La gráfica de $y={\frac{x-3}{x+4}-\frac{x+2}{x-5}}$ se interrumpe en ${x=-4}$ y ${x=5,}$ donde la función no está definida; las rectas discontinuas son asíntotas verticales. La curva corta el eje ${x}$ una sola vez, en ${x=\frac12.}$

La curva está sobre el eje ${x}$ o por encima de él en ${(-\infty,\,-4)}$ y en ${\left[\frac12,\,5\right),}$ que es la misma solución. Observa que la función también cambia de signo en las interrupciones sin cortar allí el eje. Por eso los ceros del denominador también son puntos críticos.

Ejemplo 7

Resuelve ${\frac{x^2-x-6}{x^2-1}}\ge 0.$

Factorizamos el numerador y el denominador:

${\frac{(x-3)(x+2)}{(x-1)(x+1)}}\ge 0$

El numerador se anula en ${-2}$ y ${3}$ (círculos rellenos); el denominador, en ${-1}$ y ${1}$ (círculos vacíos). Los cuatro puntos críticos son distintos, así que de derecha a izquierda los signos son ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ ${+.}$

Solución: $x\in(-\infty,\,-2]\cup(-1,\,1)\cup[3,\,+\infty).$

Errores comunes

Error	Incorrecto	Correcto
Multiplicar por un denominador que contiene ${x}$	${\frac1x\lt 1}\Rightarrow{x\gt 1}$	${\frac{x-1}{x}\gt 0}\Rightarrow{x\in(-\infty,\,0)\cup(1,\,+\infty)}$
Incluir en la solución un cero del denominador	${\frac{x+1}{x-2}\ge 0}\Rightarrow{x\in(-\infty,\,-1]\cup[2,\,+\infty)}$	${x\in(-\infty,\,-1]\cup(2,\,+\infty)}$
Alternar el signo en una raíz doble	${(x-1)^2(x+2)\gt 0}\Rightarrow{x\in(-\infty,\,-2)\cup(1,\,+\infty)}$	${x\in(-2,\,1)\cup(1,\,+\infty)}$
Olvidar un punto aislado	${x(x-2)^2\le 0}\Rightarrow{x\in(-\infty,\,0]}$	${x\in(-\infty,\,0]\cup\{2\}}$
Simplificar un factor común y olvidar dónde se anula	${\frac{x^2-1}{x-1}\gt 0}\Rightarrow{x+1\gt 0}\Rightarrow{x\gt -1}$	${x\in(-1,\,1)\cup(1,\,+\infty)}$
Tratar ${(2-x)}$ como si fuera ${(x-2)}$	${(2-x)(x+3)\gt 0}\Rightarrow{x\in(-\infty,\,-3)\cup(2,\,+\infty)}$	${x\in(-3,\,2)}$

Ejercicios

Resuelve las inecuaciones. Inténtalo primero y después abre la solución.

1. ${(x+3)(x-1)(x-4)}\lt 0$

Raíces ${-3,}$ ${1,}$ ${4;}$ signos de derecha a izquierda ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-.}$ Solución: $x\in(-\infty,\,-3)\cup(1,\,4)$

2. ${x^3\ge 9x}$

${x^3-9x}={x(x-3)(x+3)}\ge 0.$ Solución: $x\in[-3,\,0]\cup[3,\,+\infty)$

3. ${x^4-10x^2+9}\le 0$

${x^4-10x^2+9}={(x^2-1)(x^2-9)}={(x+3)(x+1)(x-1)(x-3)}\le 0.$ Solución: $x\in[-3,\,-1]\cup[1,\,3]$

4. ${(x-2)^2(x+5)}\lt 0$

La raíz doble ${2}$ no cambia el signo, y en ${x=2}$ la expresión vale ${0,}$ que no es negativo. Solución: $x\in(-\infty,\,-5)$

5. ${x^3+x^2-4x-4}\gt 0$

Agrupamos términos: ${x^2(x+1)-4(x+1)}={(x+1)(x-2)(x+2)}\gt 0.$ Solución: $x\in(-2,\,-1)\cup(2,\,+\infty)$

6. ${\frac{x-1}{x+2}}\le 0$

Puntos críticos ${-2}$ (círculo vacío) y ${1}$ (círculo relleno). Solución: ${x\in(-2,\,1]}$

7. ${\frac{x+3}{x-1}}\gt 2$

${\frac{x+3}{x-1}-2}={\frac{5-x}{x-1}}\gt{0,}$ es decir, ${\frac{x-5}{x-1}}\lt 0.$ Solución: ${x\in(1,\,5)}$

8. ${\frac{x^2-4}{x^2+x}}\ge 0$

${\frac{(x-2)(x+2)}{x(x+1)}}\ge 0.$ Puntos críticos ${-2,}$ ${-1,}$ ${0,}$ ${2;}$ signos de derecha a izquierda ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ ${+.}$ Solución: $x\in(-\infty,\,-2]\cup(-1,\,0)\cup[2,\,+\infty)$

9. ${\frac{1}{x-1}}\ge{\frac{1}{x+1}}$

${\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}}={\frac{2}{(x-1)(x+1)}}\ge 0.$ El numerador nunca vale cero, así que la fracción tiene que ser positiva. Solución: $x\in(-\infty,\,-1)\cup(1,\,+\infty)$

10. ${\frac{(x-3)^2}{x^2-4}}\le 0$

El numerador nunca es negativo y vale ${0}$ solo en ${x=3.}$ La fracción es negativa donde ${x^2-4\lt 0.}$ Solución: $x\in(-2,\,2)\cup\{3\}$

Puedes comprobar tus soluciones con el solucionador de problemas, que resuelve inecuaciones por el método de los intervalos paso a paso.