Progresión aritmética

Una progresión aritmética (o sucesión aritmética) es una sucesión de números en la que cada término, a partir del segundo, se obtiene sumando al anterior siempre el mismo número. Ese número se representa con $d$ y se llama diferencia de la progresión.

Ejemplos

• $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots$ es una progresión aritmética de diferencia ${d=1}.$
• $4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots$ es una progresión aritmética de diferencia ${d=3},$ porque ${7-4}={10-7}={13-10}={3}.$
• $20,\ 10,\ 0,\ -10,\ -20,\ \ldots$ es una progresión aritmética de diferencia ${d=-10}.$
• $5,\ 5,\ 5,\ 5,\ \ldots$ también es una progresión aritmética, de diferencia ${d=0}.$
• $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ \ldots$ no es una progresión aritmética: las diferencias ${2-1=1}$ y ${4-2=2}$ no son iguales. (Aquí cada término es el doble del anterior. Una sucesión así es una progresión geométrica.)

Para hallar la diferencia, resta a cualquier término el anterior: ${d=a_2-a_1}={a_3-a_2}=\ldots$

En esta página: Notación · Término general · Propiedades · Suma de los primeros $n$ términos · Calculadora · Problemas resueltos · Errores comunes · Ejercicios

Notación

• $a_1$ es el primer término de la progresión;
• $a_n$ es el término que ocupa el lugar $n$ (el término general);
• $d$ es la diferencia: ${d=a_{n+1}-a_n}$ para todo $n;$
• $S_n$ es la suma de los primeros $n$ términos: ${S_n}={a_1+a_2+\ldots+a_n}.$ La suma de los términos de una progresión aritmética también se llama serie aritmética.

Si ${d\gt 0},$ cada término es mayor que el anterior y la progresión es creciente. Si ${d\lt 0},$ la progresión es decreciente. Si ${d=0},$ todos los términos son iguales y la progresión es constante.

Fórmula del término general

Empezamos en $a_1$ y sumamos $d$ una y otra vez:

${a_2=a_1+d},$   ${a_3}={a_2+d}={a_1+2d},$   ${a_4=a_1+3d},$   ${a_5=a_1+4d},$   $\ldots$

Llegamos a $a_n$ después de ${n-1}$ pasos, así que a $a_1$ le hemos sumado la diferencia $d$ exactamente ${n-1}$ veces:

Ejemplo. Halla el término vigésimo de la progresión $4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots$

Aquí ${a_1=4}$ y ${d=3},$ así que

${a_{20}}={a_1+19d}={4+19\cdot 3}={61}$

De $a_1$ a $a_{20}$ hay 19 pasos, no 20. Por eso la diferencia se multiplica por ${n-1}$ y no por $n.$

También podemos partir de cualquier otro término $a_k.$ De $a_k$ a $a_n$ hay ${n-k}$ pasos:

Ejemplo. En una progresión aritmética ${a_3=7}$ y ${a_8=22}.$ Halla $a_1$ y $d.$

De $a_3$ a $a_8$ hay 5 pasos, así que

${d}={\frac{a_8-a_3}{8-3}}={\frac{22-7}{5}}={3},$   ${a_1}={a_3-2d}={7-6}={1}$

La progresión es $1,\ 4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots$

Los términos están sobre una recta

La fórmula del término general también puede escribirse así: ${a_n}={a_1+(n-1)d}={dn+(a_1-d)}.$ Es una función lineal del lugar $n.$ Si dibujamos los puntos ${(n;\ a_n)},$ quedan sobre una misma recta, y la diferencia $d$ indica cuánto sube la recta en cada paso hacia la derecha. Para la progresión $4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots$ tenemos ${a_n=3n+1}$:

Los puntos ${(n;\ a_n)}$ de la progresión ${a_n=3n+1}.$ Cada punto está ${d=3}$ más arriba que el anterior.

Propiedades

Cada término es la media aritmética de sus vecinos

El término anterior es ${a_{n-1}=a_n-d}$ y el siguiente es ${a_{n+1}=a_n+d}.$ Al sumarlos, $d$ se cancela: ${a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n}.$ Por lo tanto

Cada término (salvo el primero) es la media aritmética del anterior y del siguiente. De ahí viene el nombre de la progresión. También es cierto lo contrario: si cada término, salvo el primero, es la media aritmética de sus vecinos, la sucesión es una progresión aritmética.

Así, tres números $a,$ $b,$ $c$ (en este orden) forman una progresión aritmética exactamente cuando ${2b=a+c}.$

Del mismo modo, cada término es la media aritmética de dos términos que están a la misma distancia de él: ${a_n=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}}$ para ${k\lt n}.$

Términos equidistantes de los extremos

Dos términos que están a la misma distancia del principio y del final siempre suman lo mismo:

La razón: si avanzamos un lugar hacia la derecha por delante y uno hacia la izquierda por detrás, el primer sumando aumenta en $d$ y el segundo disminuye en $d.$ En general, si ${m+k=p+q},$ entonces ${a_m+a_k=a_p+a_q}.$

Ejemplo. En la progresión $1,\ 11,\ 21,\ 31,\ 41,\ 51$:

${1+51}={11+41}={21+31}={52}$

${11}={\frac{1+21}{2}},$   ${21}={\frac{11+31}{2}},$   ${31}={\frac{21+41}{2}}$

Suma de los primeros $n$ términos

Se cuenta que, cuando Carl Friedrich Gauss era un escolar, su maestro mandó a la clase sumar todos los números del 1 al 100. Gauss respondió casi enseguida: sumó el primer número con el último, el segundo con el penúltimo, y así sucesivamente.

${1+100}={2+99}={3+98}=\ldots={50+51}={101}$

Hay 50 parejas, así que la suma es ${50\cdot 101=5050}.$

La misma idea sirve para cualquier progresión aritmética. Escribimos la suma dos veces, la segunda al revés:

$$\begin{aligned}S_n&=a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}+a_n\\S_n&=a_n+a_{n-1}+\ldots+a_2+a_1\end{aligned}$$

Sumamos las dos igualdades columna por columna. En cada columna hay dos términos equidistantes de los extremos, así que cada columna suma ${a_1+a_n}.$ Hay $n$ columnas, por lo tanto ${2S_n=(a_1+a_n)\,n}.$

La suma ${1+3+5+7+9}$ escrita dos veces: las columnas azules y las naranjas forman un rectángulo de ${5\times 10},$ así que ${2S_5=50}$ y ${S_5=25}.$

La primera fórmula es cómoda cuando conoces el último término; la segunda, cuando conoces la diferencia.

Ejemplo 1. ${1+2+3+\ldots+100}={\frac{(1+100)\cdot 100}{2}}={5050}.$

Ejemplo 2. La suma de los primeros $n$ números impares es

${1+3+5+\ldots+(2n-1)}={\frac{\bigl(1+(2n-1)\bigr)\,n}{2}}={n^2}$

Por ejemplo, ${1+3+5+7+9}={25}={5^2},$ como se ve en el dibujo.

Al revés: de la suma al término. Si conocemos las sumas, los términos se obtienen restando: ${a_1=S_1},$ y para ${n\ge 2}$ tenemos ${a_n=S_n-S_{n-1}}.$

Calculadora de progresiones aritméticas

Escribe el primer término, la diferencia y el número de términos. El resultado y las cuentas aparecen mientras escribes.

Problemas resueltos

Problema 1. ¿Es la sucesión $1,\ 11,\ 21,\ 31,\ \ldots$ una progresión aritmética?

Solución: Sí. Cada término es 10 unidades mayor que el anterior, es decir, es una progresión aritmética con ${a_1=1}$ y ${d=10}.$ Su término general es ${a_n}={1+(n-1)\cdot 10}={10n-9}.$

Problema 2. Halla la suma de los primeros 10 términos de la progresión $1,\ 11,\ 21,\ 31,\ \ldots$

Solución: Aquí ${a_1=1},$ ${d=10}$ y ${n=10}$:

${S_{10}}={\frac{(2\cdot 1+9\cdot 10)\cdot 10}{2}}={92\cdot 5}={460}$

Comprobación con la otra fórmula: ${a_{10}}={1+9\cdot 10}={91}$ y ${S_{10}}={\frac{(1+91)\cdot 10}{2}}={460}.$

Problema 3. ¿Es 100 un término de la progresión $4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots?$ ¿Y 200?

Solución: El término general es ${a_n}={4+(n-1)\cdot 3}={3n+1}.$ Buscamos un número natural $n$ tal que

${3n+1=100},$   ${3n=99},$   ${n=33}$

Así que ${a_{33}=100}.$ Para 200 obtenemos ${3n=199},$ y 199 no es divisible entre 3. El número 200 no es un término de la progresión.

Problema 4. Intercala tres números entre 2 y 14 de modo que los cinco números formen una progresión aritmética.

Solución: Buscamos una progresión con ${a_1=2}$ y ${a_5=14}.$ De $a_1$ a $a_5$ hay 4 pasos:

${d}={\frac{14-2}{4}}={3}$

Los números son $5,\ 8,\ 11,$ y la progresión es $2,\ 5,\ 8,\ 11,\ 14.$

Problema 5. Halla la suma de todos los números de dos cifras divisibles entre 3.

Solución: Son los números $12,\ 15,\ 18,\ \ldots,\ 99,$ una progresión aritmética con ${a_1=12}$ y ${d=3}.$ Cuántos hay lo obtenemos de ${a_n=99}$:

${12+(n-1)\cdot 3=99},$   ${(n-1)\cdot 3=87},$   ${n-1=29},$   ${n=30}$

${S_{30}}={\frac{(12+99)\cdot 30}{2}}={111\cdot 15}={1665}$

Problema 6. ¿Cuántos términos de la progresión $3,\ 7,\ 11,\ \ldots$ hay que sumar para obtener 210?

Solución: Aquí ${a_1=3}$ y ${d=4}$:

${S_n}={\frac{\bigl(2\cdot 3+(n-1)\cdot 4\bigr)\,n}{2}}={\frac{(4n+2)\,n}{2}}={2n^2+n}$

Resolvemos ${2n^2+n=210},$ es decir, ${2n^2+n-210=0}$:

${D}={1+4\cdot 2\cdot 210}={1681}={41^2},$   ${n}={\frac{-1+41}{4}}={10}$

La otra raíz, ${\frac{-1-41}{4}=-10{,}5},$ no es un número natural. Respuesta: 10 términos. Comprobación: ${a_{10}=3+9\cdot 4=39}$ y ${S_{10}}={\frac{(3+39)\cdot 10}{2}}={210}.$

Problema 7. Tres números forman una progresión aritmética. Su suma es 15 y su producto es 80. Halla los números.

Solución: Conviene llamar $x$ al número del medio y ${x-d}$ y ${x+d}$ a los otros dos. Entonces

${(x-d)+x+(x+d)}={3x}={15},$   de donde ${x=5}$

${(5-d)\cdot 5\cdot (5+d)}={80},$   ${25-d^2=16},$   ${d^2=9},$   ${d=\pm 3}$

Los números son $2,\ 5,\ 8$ (con ${d=3}$) o $8,\ 5,\ 2$ (con ${d=-3}$).

Problema 8. La suma de los primeros $n$ términos de una sucesión es ${S_n=n^2+2n}$ para todo $n.$ Demuestra que la sucesión es una progresión aritmética y halla su término general.

Solución: ${a_1=S_1=3}.$ Para ${n\ge 2}$:

${a_n}={S_n-S_{n-1}}={n^2+2n-(n-1)^2-2(n-1)}={2n+1}$

La fórmula ${a_n=2n+1}$ también da ${a_1=3}$ para ${n=1}.$ Como ${a_{n+1}-a_n=2}$ para todo $n,$ la sucesión es una progresión aritmética con ${a_1=3}$ y ${d=2}$: $3,\ 5,\ 7,\ 9,\ \ldots$

Problema 9. Una sala tiene 15 filas. En la primera fila hay 20 asientos, y en cada fila siguiente hay 2 asientos más que en la anterior. ¿Cuántos asientos hay en la última fila y cuántos hay en total?

Solución: El número de asientos por fila forma una progresión aritmética con ${a_1=20},$ ${d=2}$ y ${n=15}$:

${a_{15}}={20+14\cdot 2}={48},$   ${S_{15}}={\frac{(20+48)\cdot 15}{2}}={510}$

En la última fila hay 48 asientos, y en la sala hay 510 asientos en total.

Problema 10. Los números ${\frac{1}{b+c}},$ ${\frac{1}{c+a}},$ ${\frac{1}{a+b}}$ forman una progresión aritmética. Demuestra que los números $a^2,$ $b^2,$ $c^2$ también forman una progresión aritmética.

Solución: El término del medio es la media aritmética de sus vecinos:

${\frac{2}{c+a}}={\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}}={\frac{a+2b+c}{(b+c)(a+b)}}$

Los denominadores no son 0 (si no, las fracciones no existirían), así que podemos multiplicar en cruz:

${2(b+c)(a+b)}={(a+2b+c)(c+a)}$

El lado izquierdo es ${2ab+2b^2+2ac+2bc}.$ El lado derecho es ${(a+c)^2+2b(a+c)}={a^2+2ac+c^2+2ab+2bc}.$ Al cancelar los términos iguales queda

${2b^2=a^2+c^2}$

Es decir, $b^2$ es la media aritmética de $a^2$ y $c^2,$ así que $a^2,$ $b^2,$ $c^2$ forman una progresión aritmética.

Errores comunes

• $nd$ en lugar de ${(n-1)d}.$ El término ${a_{10}}$ de $2,\ 5,\ 8,\ \ldots$ es ${2+9\cdot 3=29},$ no ${2+10\cdot 3=32}.$
• Contar mal los términos. De $a_k$ a $a_m,$ ambos incluidos, hay ${m-k+1}$ términos, no ${m-k}.$ Por ejemplo, los números del 12 al 99 de 3 en 3 son ${\frac{99-12}{3}+1=30}.$
• El signo de la diferencia. En $10,\ 7,\ 4,\ \ldots$ la diferencia es ${d=7-10=-3}.$ Resta siempre el término anterior al siguiente, no al revés.
• Una sucesión «en dos partes». Las fórmulas solo valen si la diferencia es la misma en todas partes. En $1,\ 3,\ 5,\ 8,\ 11$ las diferencias son 2, 2, 3, 3, así que no es una progresión aritmética.

Ejercicios

Inténtalo primero y después abre la respuesta.

1. Halla ${a_{15}}$ de la progresión $2,\ 9,\ 16,\ \ldots$

${d=7},$ ${a_{15}}={2+14\cdot 7}={100}$

2. ${a_1=10}$ y ${d=-3}.$ Halla ${a_{12}}$ y ${S_{12}}.$

${a_{12}}={10+11\cdot(-3)}={-23},$   ${S_{12}}={\frac{(10-23)\cdot 12}{2}}={-78}$

3. ${a_5=17}$ y ${a_{12}=45}.$ Halla $a_1$ y $d.$

${d}={\frac{45-17}{12-5}}={4},$   ${a_1}={a_5-4d}={17-16}={1}$

4. ¿Qué término de la progresión $5,\ 9,\ 13,\ \ldots$ es igual a 101?

${a_n}={5+(n-1)\cdot 4}={4n+1},$   ${4n+1=101},$   ${n=25}.$ Es ${a_{25}}.$

5. ¿Para qué valor de $x$ los números ${x+1},$ ${3x},$ ${4x+2}$ forman una progresión aritmética?

${2\cdot 3x}={(x+1)+(4x+2)},$ es decir, ${6x=5x+3}$ y ${x=3}.$ Los números son $4,\ 9,\ 14,$ de diferencia 5.

6. Halla ${S_{20}}$ si ${a_1=3}$ y ${a_{20}=60}.$

${S_{20}}={\frac{(3+60)\cdot 20}{2}}={630}$

7. Halla la suma de todos los números naturales del 1 al 200 que son divisibles entre 7.

Son los números $7,\ 14,\ \ldots,\ 196.$ Como ${196=7\cdot 28},$ hay 28. ${S_{28}}={\frac{(7+196)\cdot 28}{2}}={203\cdot 14}={2842}$

8. Los ángulos de un triángulo forman una progresión aritmética. Halla el ángulo mediano.

Los ángulos son ${\alpha-d},$ $\alpha,$ ${\alpha+d}$ y su suma es ${3\alpha=180^\circ}.$ El ángulo mediano es ${\alpha=60^\circ},$ sean cuales sean los otros dos.

9. ${S_5=40}$ y ${S_{10}=155}.$ Halla $a_1$ y $d.$

${S_5}={\frac{(2a_1+4d)\cdot 5}{2}}={5a_1+10d}={40},$ es decir, ${a_1+2d=8}.$

${S_{10}}={\frac{(2a_1+9d)\cdot 10}{2}}={10a_1+45d}={155},$ es decir, ${2a_1+9d=31}.$

De la primera ecuación ${a_1=8-2d};$ entonces ${16-4d+9d=31},$ ${d=3}$ y ${a_1=2}.$

10. Un jardinero planta 12 árboles el primer día y cada día siguiente 4 más que el día anterior. ¿En cuántos días plantará 168 árboles?

${S_n}={\frac{\bigl(2\cdot 12+(n-1)\cdot 4\bigr)\,n}{2}}={2n^2+10n}.$ De ${2n^2+10n=168}$ obtenemos ${n^2+5n-84=0}$ y ${n=7}$ (la otra raíz es $-12$). En 7 días.

Ver también: Progresión geométrica