Ecuaciones cuadráticas

Los números $a,$ $b$ y $c$ son los coeficientes de la ecuación: $a$ es el coeficiente de $x^2$ (coeficiente principal), $b$ es el coeficiente de $x$ y $c$ es el término independiente. La condición ${a\ne 0}$ es importante: si ${a=0},$ queda la ecuación ${bx+c=0},$ que es lineal.

Ejemplos. Antes de identificar los coeficientes, pase todos los términos al lado izquierdo del signo igual. El signo de cada término forma parte de su coeficiente.

• ${2x^2-5x-3=0}$:   ${a=2},$ ${b=-5},$ ${c=-3}$
• ${x^2-9=0}$:   ${a=1},$ ${b=0},$ ${c=-9}$
• ${-x^2+4x=0}$:   ${a=-1},$ ${b=4},$ ${c=0}$
• ${3x^2=2x+1}$ se escribe como ${3x^2-2x-1=0}$:   ${a=3},$ ${b=-2},$ ${c=-1}$

Cuando ${a=1},$ la ecuación ${x^2+px+q=0}$ se llama mónica. Cualquier ecuación cuadrática se puede convertir en mónica dividiendo sus dos lados entre $a.$

Un número que satisface la ecuación se llama raíz (o solución) de la ecuación. Por ejemplo, ${x=3}$ es raíz de ${2x^2-5x-3=0},$ porque ${2\cdot 3^2-5\cdot 3-3}={18-15-3}={0}.$

En esta página: Ecuaciones incompletas · Fórmula general · Calculadora · Deducción · Fórmulas de Vieta · Factorización · Parábola · Ecuaciones reducibles · Problemas resueltos · Con parámetro · Errores comunes · Ejercicios

Ecuaciones cuadráticas incompletas

Si ${b=0}$ o ${c=0},$ la ecuación se llama incompleta. Estas ecuaciones se resuelven rápido y sin la fórmula general.

Tipo	Cómo se resuelve	Raíces
${c=0}$:   ${ax^2+bx=0}$	se saca $x$ como factor común: ${x(ax+b)=0}$	${x_1=0},$ ${x_2=-\frac{b}{a}}$
${b=0}$:   ${ax^2+c=0}$	${x^2=-\frac{c}{a}}$	${x_{1,2}=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}}$ si ${-\frac{c}{a}\gt 0};$ no hay raíces reales si ${-\frac{c}{a}\lt 0}$
${b=c=0}$:   ${ax^2=0}$	${x^2=0}$	${x=0}$

Ejemplos

• ${3x^2-12x=0},$ es decir, ${3x(x-4)=0}.$ Un producto es cero cuando alguno de sus factores es cero: ${x_1=0},$ ${x_2=4}.$
• ${2x^2-18=0},$ es decir, ${x^2=9},$ de donde ${x_{1,2}=\pm 3}.$
• ${4x^2-3=0},$ es decir, ${x^2=\frac34},$ de donde ${x_{1,2}=\pm\frac{\sqrt3}{2}}.$
• ${x^2+9=0},$ es decir, ${x^2=-9}.$ El cuadrado de un número real nunca es negativo, así que la ecuación no tiene raíces reales.
• ${5x^2=0},$ es decir, ${x=0}.$

No divida entre $x.$ Si dividimos ${3x^2=12x}$ entre $x,$ obtenemos solo ${x=4}$ y perdemos la raíz ${x=0}.$ Lo correcto es: ${3x^2-12x=0},$ ${3x(x-4)=0},$ de donde ${x_1=0},$ ${x_2=4}.$

La fórmula general y el discriminante

Toda ecuación cuadrática se resuelve con la misma fórmula.

Discriminante	Número de raíces reales	Raíces
${D\gt 0}$	dos distintas	${x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}}$
${D=0}$	una (raíz doble)	${x_1=x_2=-\frac{b}{2a}}$
${D\lt 0}$	ninguna (dos raíces complejas conjugadas)	—

Por qué la raíz se llama doble cuando ${D=0}$ se verá en la factorización: entonces ${ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2}.$

Cómo resolver una ecuación cuadrática

1. Escriba la ecuación en la forma ${ax^2+bx+c=0}$ e identifique $a,$ $b$ y $c$ con sus signos.
2. Calcule el discriminante ${D=b^2-4ac}.$
3. Según el signo de $D,$ halle las raíces o concluya que no hay raíces reales.
4. Compruebe: sustituya las raíces en la ecuación o use las fórmulas de Vieta.

Ejemplo 1. ${x^2+3x-4=0}.$ Aquí ${a=1},$ ${b=3},$ ${c=-4}.$

${D}={3^2-4\cdot 1\cdot(-4)}={9+16}={25}$

${x_{1,2}}={\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2\cdot 1}}={\frac{-3\pm 5}{2}}$

${x_1=\frac{-3-5}{2}=-4},$   ${x_2=\frac{-3+5}{2}=1}$

Comprobación: ${(-4)^2+3\cdot(-4)-4}={16-12-4}={0}$ y ${1^2+3\cdot 1-4=0}.$

Ejemplo 2. ${4x^2-12x+9=0}.$ Aquí ${a=4},$ ${b=-12},$ ${c=9}$ y

${D}={(-12)^2-4\cdot 4\cdot 9}={144-144}={0}$

La ecuación tiene una raíz: ${x=-\frac{b}{2a}=\frac{12}{8}=\frac32}.$ En efecto, ${4x^2-12x+9=(2x-3)^2},$ que solo vale cero para ${x=\frac32}.$

Ejemplo 3. ${x^2-2x+5=0}.$ Aquí ${D}={(-2)^2-4\cdot 1\cdot 5}={4-20}={-16}\lt{0},$ así que la ecuación no tiene raíces reales. También se ve así: ${x^2-2x+5=(x-1)^2+4},$ y un cuadrado más 4 vale al menos 4, de modo que nunca es cero.

Ejemplo 4. ${x^2-4x+1=0}.$ Aquí ${D}={(-4)^2-4\cdot 1\cdot 1}={12}$ y ${\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt3}$:

${x_{1,2}}={\frac{4\pm 2\sqrt3}{2}}={\frac{2(2\pm\sqrt3)}{2}}={2\pm\sqrt3}$

Se dividen entre 2 los dos términos del numerador. Las raíces son ${x_1=2-\sqrt3\approx 0{,}27}$ y ${x_2=2+\sqrt3\approx 3{,}73}.$

Ejemplo 5. ${-2x^2+x+6=0}.$ Conviene multiplicar primero por $-1$ para que el coeficiente principal sea positivo: ${2x^2-x-6=0}.$ Las raíces no cambian.

${D}={(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-6)}={1+48}={49},$   ${x_{1,2}=\frac{1\pm 7}{4}},$   ${x_1=-\frac32},$   ${x_2=2}$

Si los coeficientes son fracciones o decimales, multiplique la ecuación por un número adecuado para que sean enteros. Por ejemplo, ${0{,}5x^2-1{,}5x+1=0}$ multiplicada por 2 se convierte en ${x^2-3x+2=0},$ con raíces 1 y 2.

La fórmula cuando el coeficiente de x es par

Si ${b=2k},$ la fórmula se simplifica. Entonces ${D}={4k^2-4ac}={4(k^2-ac)}$ y el factor 2 se cancela:

Por ejemplo, para ${x^2-4x+1=0}$ tenemos ${k=-2},$ ${D_1=4-1=3}$ y directamente ${x_{1,2}=2\pm\sqrt3},$ sin nada que simplificar. Para ${3x^2+10x+3=0}$ tenemos ${k=5},$ ${D_1=25-9=16}$ y ${x_{1,2}=\frac{-5\pm 4}{3}},$ es decir, ${x_1=-3},$ ${x_2=-\frac13}.$

Calculadora de ecuaciones cuadráticas

Escriba los coeficientes $a,$ $b$ y $c.$ Pueden ser enteros, decimales (por ejemplo 0,5 o 0.5) o fracciones (por ejemplo 1/3). Una casilla vacía en $b$ o $c$ significa 0. La calculadora halla el discriminante y las raíces exactas, las comprueba con las fórmulas de Vieta, factoriza el trinomio y halla el vértice de la parábola.

Deducción de la fórmula general

La fórmula se obtiene completando el cuadrado. Divida la ecuación ${ax^2+bx+c=0}$ entre ${a\ne 0}$ y pase el término independiente a la derecha:

${x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}}$

El término ${\frac{b}{a}x}$ es el doble producto ${2\cdot x\cdot\frac{b}{2a}}.$ Sume ${\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}}$ a los dos lados, y el lado izquierdo se convierte en un cuadrado perfecto:

${x^2+2\cdot x\cdot\frac{b}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}}={\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}$

${\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

El denominador ${4a^2}$ es positivo, así que el lado derecho tiene el signo de ${D=b^2-4ac}.$

• Si ${D\lt 0},$ el lado derecho es negativo, y un cuadrado no puede ser negativo. No hay raíces reales.
• Si ${D=0},$ queda ${x+\frac{b}{2a}=0},$ es decir, ${x=-\frac{b}{2a}}.$
• Si ${D\gt 0},$ sacamos raíz cuadrada: ${x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{D}}{2a}}.$ (En rigor ${\sqrt{4a^2}=2|a|},$ pero el signo $\pm$ ya incluye los dos signos). Por lo tanto, ${x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}}.$

Fórmulas de Vieta

Las raíces de una ecuación cuadrática están relacionadas con sus coeficientes de una forma muy sencilla. Estas relaciones llevan el nombre del matemático francés François Viète (1540–1603). Fue el primero en usar letras no solo para las incógnitas, sino también para los números dados de las ecuaciones, y así hizo posibles fórmulas generales como las de abajo.

Dicho con palabras: en una ecuación mónica, la suma de las raíces es igual al coeficiente de $x$ con el signo cambiado, y su producto es igual al término independiente.

Demostración. Sean ${x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}}$ y ${x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}}.$ Las sumamos y las multiplicamos (los numeradores del producto dan una diferencia de cuadrados):

${x_1+x_2}={\frac{-b-\sqrt{D}-b+\sqrt{D}}{2a}}={\frac{-2b}{2a}}={-\frac{b}{a}}$

${x_1x_2}={\frac{(-b-\sqrt{D})(-b+\sqrt{D})}{4a^2}}={\frac{b^2-D}{4a^2}}={\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}}={\frac{4ac}{4a^2}}={\frac{c}{a}}$

Cuando ${D=0}$ las dos raíces coinciden y las fórmulas siguen siendo válidas: ${x_1+x_2}={2\cdot\left(-\frac{b}{2a}\right)}={-\frac{b}{a}}$ y ${x_1x_2=\frac{b^2}{4a^2}=\frac{c}{a}},$ porque ${b^2=4ac}.$

Ejemplo. Las raíces de ${2x^2-5x-3=0}$ son ${x_1=3}$ y ${x_2=-\frac12}.$ En efecto,

${x_1+x_2}={3-\frac12}={\frac52}={-\frac{-5}{2}},$   ${x_1x_2}={3\cdot\left(-\frac12\right)}={-\frac32}={\frac{-3}{2}}$

Primero compruebe que hay raíces. Las fórmulas de Vieta hablan de raíces que existen. Para ${x^2+2x+5=0}$ «obtendríamos» la suma $-2$ y el producto 5, pero ${D=4-20=-16\lt 0}$ y no hay raíces reales. Tampoco existen dos números reales con suma $-2$ y producto 5.

El recíproco del teorema de Vieta

Por qué es cierto. Desarrollamos los paréntesis: ${(x-x_1)(x-x_2)}={x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2}={x^2+px+q}.$ Así, la ecuación ${x^2+px+q=0}$ es lo mismo que ${(x-x_1)(x-x_2)=0},$ y sus raíces son exactamente $x_1$ y $x_2.$

Lo mismo vale en la forma general: si ${x_1+x_2=-\frac{b}{a}}$ y ${x_1x_2=\frac{c}{a}},$ entonces $x_1$ y $x_2$ son raíces de ${ax^2+bx+c=0}$ (divida la ecuación entre $a$).

Hallar las raíces mentalmente

Si la ecuación mónica ${x^2+px+q=0}$ tiene raíces enteras, a menudo se pueden adivinar enseguida: se buscan dos números cuyo producto sea $q$ y cuya suma sea $-p.$

• ${x^2-7x+10=0}$: producto 10 y suma 7. Son ${x_1=2}$ y ${x_2=5}.$
• ${x^2+x-12=0}$: el producto $-12$ es negativo, así que las raíces tienen signos opuestos, y su suma es $-1.$ Son ${x_1=-4}$ y ${x_2=3}.$
• ${x^2+8x+15=0}$: el producto 15 es positivo (mismo signo) y la suma $-8$ es negativa (las dos raíces son negativas). Son ${x_1=-5}$ y ${x_2=-3}.$

Dos casos especiales sirven para cualquier ecuación cuadrática:

En efecto, para ${x=1}$ el lado izquierdo vale ${a+b+c},$ y para ${x=-1}$ vale ${a-b+c}.$ La otra raíz se obtiene del producto ${x_1x_2=\frac{c}{a}}.$ Por ejemplo, ${5x^2-3x-2=0}$ tiene las raíces 1 y ${-\frac25},$ porque ${5-3-2=0},$ y ${2x^2+7x+5=0}$ tiene las raíces $-1$ y ${-\frac52},$ porque ${2-7+5=0}.$

Si se conoce una raíz, las fórmulas de Vieta dan la otra. Por ejemplo, ${x_1=2}$ es raíz de ${3x^2-7x+2=0},$ porque ${3\cdot 4-7\cdot 2+2=0}.$ De ${x_1x_2=\frac23}$ se sigue que ${x_2=\frac13}.$

Escribir una ecuación con raíces dadas

Por el teorema recíproco, los números $x_1$ y $x_2$ son las raíces de la ecuación ${x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2}={0}.$

• Raíces 3 y $-5$: la suma es $-2$ y el producto es $-15.$ La ecuación es ${x^2+2x-15=0}.$
• Raíces $\frac12$ y $-3$: la suma es ${-\frac52}$ y el producto es ${-\frac32}.$ Multiplicamos la ecuación ${x^2+\frac52x-\frac32=0}$ por 2: ${2x^2+5x-3=0}.$
• Raíces ${2+\sqrt3}$ y ${2-\sqrt3}$: la suma es 4 y el producto es ${4-3=1}.$ La ecuación es ${x^2-4x+1=0}$ (vea el ejemplo 4).

Expresiones con las raíces sin resolver la ecuación

Una expresión que no cambia al intercambiar $x_1$ y $x_2$ se puede escribir en función de la suma ${S=x_1+x_2}$ y del producto ${P=x_1x_2}.$ Las más usadas son:

Expresión	En función de $S$ y $P$
${x_1^2+x_2^2}$	${S^2-2P}$
${(x_1-x_2)^2}$	${S^2-4P}$
${\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}$	${\frac{S}{P}}$
${x_1^2x_2+x_1x_2^2}$	${SP}$
${x_1^3+x_2^3}$	${S^3-3SP}$
${\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}}$	${\frac{S^2-2P}{P}}$

Por ejemplo, ${x_1^2+x_2^2}={(x_1+x_2)^2-2x_1x_2},$ porque ${(x_1+x_2)^2}={x_1^2+2x_1x_2+x_2^2},$ y ${x_1^3+x_2^3}={(x_1+x_2)^3}-{3x_1x_2(x_1+x_2)}.$

Ejemplo. Sin resolver la ecuación ${x^2-6x+4=0},$ calcule ${x_1^2+x_2^2},$ ${\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}},$ ${x_1^3+x_2^3}$ y ${|x_1-x_2|}.$

Solución. ${D=36-16=20\gt 0},$ así que las raíces existen. ${S=6},$ ${P=4}$ y

${x_1^2+x_2^2}={S^2-2P}={36-8}={28}$

${\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{S}{P}=\frac64=\frac32}$

${x_1^3+x_2^3}={S^3-3SP}={216-72}={144}$

${(x_1-x_2)^2}={S^2-4P}={36-16}={20},$ así que ${|x_1-x_2|=\sqrt{20}=2\sqrt5}$

Comprobación: las raíces son ${3\pm\sqrt5}$ y, por ejemplo, ${(3+\sqrt5)^2+(3-\sqrt5)^2}={(14+6\sqrt5)}+{(14-6\sqrt5)}={28}.$

En general, ${|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{D}}{|a|}}$: la distancia entre las raíces solo depende del discriminante y de $a.$

Signos de las raíces

Supongamos que la ecuación tiene raíces reales (${D\ge 0}$). Sus signos se deducen de $S$ y $P,$ sin calcular las raíces:

Condición	Las raíces
${P\lt 0}$	tienen signos opuestos
${P\gt 0},$ ${S\gt 0}$	son las dos positivas
${P\gt 0},$ ${S\lt 0}$	son las dos negativas
${P=0}$	son 0 y $S$

Si ${P=\frac{c}{a}\lt 0},$ entonces $a$ y $c$ tienen signos opuestos, ${-4ac\gt 0}$ y ${D=b^2-4ac\gt 0}.$ Por eso una ecuación así siempre tiene dos raíces de signos opuestos.

Ejemplo. Para ${2x^2-9x+4=0}$ tenemos ${D=81-32=49\gt 0},$ ${P=2\gt 0}$ y ${S=\frac92\gt 0}.$ Las dos raíces son positivas (son 4 y $\frac12$). La ecuación ${x^2+5x-3=0}$ tiene ${P=-3\lt 0},$ así que sus raíces tienen signos opuestos. Como ${S=-5\lt 0},$ la raíz negativa tiene mayor valor absoluto.

Factorización del trinomio cuadrático

La expresión ${ax^2+bx+c}$ se llama trinomio cuadrático. Las raíces de la ecuación ${ax^2+bx+c=0}$ permiten factorizarlo:

Por qué es cierto. Por las fórmulas de Vieta

${a(x-x_1)(x-x_2)}={a\bigl(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\bigr)}={a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)}={ax^2+bx+c}$

Ejemplo 1. ${2x^2-5x-3}$ tiene las raíces 3 y ${-\frac12},$ así que ${2x^2-5x-3}={2(x-3)\left(x+\frac12\right)}={(x-3)(2x+1)}.$

Ejemplo 2. Simplifique la fracción ${\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}}.$

Solución. Las raíces de ${x^2-5x+6=0}$ son 2 y 3, así que ${x^2-5x+6}={(x-2)(x-3)}.$ Además, ${x^2-9=(x-3)(x+3)}.$ Para ${x\ne\pm 3}$

${\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}}={\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}}={\frac{x-2}{x+3}}$

La función cuadrática y la parábola

La función ${y=ax^2+bx+c},$ donde ${a\ne 0},$ se llama función cuadrática, y su gráfica es una parábola. Las raíces de la ecuación ${ax^2+bx+c=0}$ son las abscisas de los puntos comunes de la parábola con el eje $x.$

La gráfica de ${y=x^2-2x-3}$: raíces $-1$ y 3, vértice ${(1,\ -4)},$ eje de simetría ${x=1}.$

• Si ${a\gt 0},$ la parábola se abre hacia arriba y el vértice es su punto más bajo. Si ${a\lt 0},$ se abre hacia abajo y el vértice es su punto más alto.
• Vértice: ${\left(-\frac{b}{2a},\ -\frac{D}{4a}\right)}.$ Eje de simetría: la recta ${x=-\frac{b}{2a}}.$
• La parábola corta el eje $y$ en el punto ${(0,\ c)}.$
• El eje de simetría pasa justo a mitad de camino entre las raíces: ${\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{b}{2a}}.$ Es otra vez la fórmula de Vieta para la suma.

La parábola tiene tantos puntos comunes con el eje $x$ como raíces tiene la ecuación, así que el número de esos puntos depende del signo de $D$:

Si ${D\gt 0}$ la parábola corta el eje $x$ en dos puntos, si ${D=0}$ lo toca en su vértice y si ${D\lt 0}$ no tiene puntos comunes con él.

Tres formas de escribir una función cuadrática

Una función cuadrática se puede escribir de tres maneras. Cada una muestra una propiedad distinta de la gráfica:

Forma	Qué se ve	Ejemplo
Forma general ${y=ax^2+bx+c}$	el corte con el eje $y$: ${(0,\ c)}$	${y=2x^2+4x-30},$ punto ${(0,\ -30)}$
Forma canónica ${y=a(x-h)^2+k}$	el vértice ${(h,\ k)}$ y el eje ${x=h}$	${y=2(x+1)^2-32},$ vértice ${(-1,\ -32)}$
Forma factorizada ${y=a(x-x_1)(x-x_2)}$	las raíces $x_1$ y $x_2$	${y=2(x-3)(x+5)},$ raíces 3 y $-5$

Los tres ejemplos son la misma función: ${2(x+1)^2-32}={2x^2+4x+2-32}={2x^2+4x-30}$ y ${2(x-3)(x+5)}={2(x^2+2x-15)}={2x^2+4x-30}.$

Ecuaciones que se reducen a cuadráticas

Muchas ecuaciones de grado mayor o con fracciones se resuelven con un cambio de variable o una transformación adecuada que las convierte en una ecuación cuadrática.

Ejemplo 1. ${3x^4-2x^2-1=0}.$ La ecuación es de cuarto grado, pero solo contiene $x^4$ y $x^2$ (una ecuación bicuadrática). Hacemos el cambio ${x^2=u},$ con ${u\ge 0}$:

${3u^2-2u-1=0}$

Como ${3-2-1=0},$ las raíces son ${u_1=1}$ y ${u_2=-\frac13}.$ La segunda es negativa y no sirve, porque ${x^2\ge 0}.$ De ${x^2=1}$ obtenemos ${x_{1,2}=\pm 1}.$

Ejemplo 2. ${(x^2-2x+3)^2}-{5(x^2-2x+3)+4}={0}.$ Con el cambio ${x^2-2x+3=u}$ obtenemos ${u^2-5u+4=0},$ con raíces ${u_1=1}$ y ${u_2=4}$ (producto 4 y suma 5).

• ${x^2-2x+3=4},$ es decir, ${x^2-2x-1=0}.$ Aquí ${D_1=1+1=2}$ y ${x_{1,2}=1\pm\sqrt2}.$
• ${x^2-2x+3=1},$ es decir, ${x^2-2x+2=0}.$ Aquí ${D_1=1-2=-1\lt 0},$ así que no hay raíces reales.

Respuesta: ${x_{1,2}=1\pm\sqrt2}.$ El segundo caso se podía descartar enseguida: ${x^2-2x+3}={(x-1)^2+2}\ge{2},$ así que esa expresión nunca vale 1.

Ejemplo 3. ${\frac{x}{x-1}-\frac{2}{x+1}=\frac{4}{x^2-1}}.$ Los valores permitidos son ${x\ne\pm 1}.$ Multiplicamos por el denominador común ${x^2-1=(x-1)(x+1)}$:

${x(x+1)-2(x-1)=4},$   ${x^2-x-2=0}$

Las raíces son ${x_1=2}$ y ${x_2=-1}$ (${a-b+c=1+1-2=0}$). El número $-1$ no está permitido, porque anula los denominadores ${x+1}$ y ${x^2-1}.$ Respuesta: ${x=2}.$

Problemas resueltos

Problema 1. Resuelva la ecuación ${x^2-4=0}.$

Solución. Factorizamos la diferencia de cuadrados: ${(x-2)(x+2)=0},$ de donde ${x_1=2}$ y ${x_2=-2}.$ La fórmula da lo mismo: ${a=1},$ ${b=0},$ ${c=-4},$ ${D}={0^2-4\cdot 1\cdot(-4)}={16}$ y ${x_{1,2}=\frac{0\pm 4}{2}=\pm 2}.$

Problema 2. Resuelva la ecuación ${3x^2+4x+5=0}.$

Solución. ${D}={4^2-4\cdot 3\cdot 5}={16-60}={-44}\lt{0}.$ La ecuación no tiene raíces reales.

Problema 3. Resuelva la ecuación ${x^2+4x-5=0}.$

Solución. ${D}={4^2-4\cdot 1\cdot(-5)}={16+20}={36}$ y ${x_{1,2}=\frac{-4\pm 6}{2}},$ es decir, ${x_1=1},$ ${x_2=-5}.$ Más rápido: ${a+b+c=1+4-5=0},$ así que ${x_1=1}$ y ${x_2=\frac{c}{a}=-5}.$

Problema 4. Resuelva la ecuación ${x^2+4x+4=0}.$

Solución. ${D=4^2-4\cdot 1\cdot 4=0},$ así que la ecuación tiene una raíz: ${x=-\frac{4}{2}=-2}.$ En efecto, ${x^2+4x+4=(x+2)^2}.$

Problema 5. Resuelva la ecuación ${x^2-13x+12=0}$ y haga un esbozo de la gráfica de la función ${f(x)=x^2-13x+12}.$

Solución. ${a+b+c=1-13+12=0},$ así que ${x_1=1}$ y ${x_2=12}.$ Para la gráfica: ${a=1\gt 0},$ así que la parábola se abre hacia arriba. Corta el eje $x$ en los puntos ${(1,\ 0)}$ y ${(12,\ 0)},$ y el eje $y$ en el punto ${(0,\ 12)}.$ El vértice está a mitad de camino entre las raíces: ${x=\frac{1+12}{2}=6{,}5},$ y con ${D=169-48=121}$ obtenemos ${f(6{,}5)}={-\frac{D}{4a}}={-\frac{121}{4}}={-30{,}25}.$

Problema 6. Resuelva la ecuación ${8x^2-30x+7=0}.$

Solución. El coeficiente de $x$ es par: ${k=-15},$ ${D_1}={(-15)^2-8\cdot 7}={225-56}={169}$ y

${x_{1,2}=\frac{15\pm 13}{8}},$   ${x_1=\frac{2}{8}=\frac14=0{,}25},$   ${x_2=\frac{28}{8}=\frac72=3{,}5}$

Problema 7. El área de un rectángulo es 40 cm² y su perímetro es 26 cm. Halle sus lados.

Solución. Sean $x$ e $y$ los lados. Entonces ${x+y=13}$ y ${xy=40}.$ Por el recíproco del teorema de Vieta, $x$ e $y$ son las raíces de la ecuación

${t^2-13t+40=0},$   ${D=169-160=9},$   ${t_{1,2}=\frac{13\pm 3}{2}}$

es decir, ${t_1=5}$ y ${t_2=8}.$ Los lados miden 5 cm y 8 cm.

Problema 8. El producto de dos números naturales consecutivos es 156. ¿Cuáles son esos números?

Solución. Sean $n$ y ${n+1}$ los números. Entonces ${n(n+1)=156},$ es decir, ${n^2+n-156=0}.$

${D=1+624=625},$   ${n_{1,2}=\frac{-1\pm 25}{2}},$   ${n_1=-13},$   ${n_2=12}$

El número $-13$ no es natural. Los números son 12 y 13. Comprobación: ${12\cdot 13=156}.$

Problema 9. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba. Después de $t$ segundos está a una altura de ${h=20t-5t^2}$ metros. ¿Cuándo está la pelota a 15 m de altura? ¿Cuándo cae al suelo? ¿Hasta qué altura sube?

Solución. ${20t-5t^2=15},$ es decir, ${5t^2-20t+15=0},$ y al dividir entre 5: ${t^2-4t+3=0}.$ Las raíces son ${t_1=1}$ y ${t_2=3}$ (${1-4+3=0}$). La pelota está a 15 m dos veces: al cabo de 1 s, mientras sube, y al cabo de 3 s, mientras baja.

La pelota está en el suelo cuando ${h=0}$: ${5t(4-t)=0},$ es decir, en ${t=0}$ (el momento del lanzamiento) y en ${t=4}$ s. El punto más alto es el vértice de la parábola: ${t=-\frac{20}{2\cdot(-5)}=2}$ s y ${h=20\cdot 2-5\cdot 2^2=20}$ m.

Problema 10. La suma de un número y su recíproco es ${\frac{10}{3}}.$ ¿Cuál es el número?

Solución. ${x+\frac1x=\frac{10}{3}},$ ${x\ne 0}.$ Multiplicamos por $3x$: ${3x^2+3=10x},$ es decir, ${3x^2-10x+3=0}.$ Aquí ${k=-5},$ ${D_1=25-9=16}$ y ${x_{1,2}=\frac{5\pm 4}{3}},$ es decir, ${x_1=\frac13}$ y ${x_2=3}.$ Los dos números son soluciones: ${3+\frac13=\frac{10}{3}}.$

Ecuaciones cuadráticas con parámetro

En una ecuación con parámetro, algunos coeficientes dependen de una letra (el parámetro). Resolver una ecuación así significa decir cuáles son las raíces para cada valor del parámetro. Si el coeficiente principal depende del parámetro, el caso en que vale cero se estudia aparte, porque entonces la ecuación no es cuadrática.

Problema 1. Resuelva la ecuación ${x^2-3x+p+1=0}$ con el parámetro $p.$

Solución. ${D}={(-3)^2-4(p+1)}={9-4p-4}={5-4p}.$

• Si ${p\lt\frac54},$ entonces ${D\gt 0}$ y la ecuación tiene dos raíces: ${x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{5-4p}}{2}}.$
• Si ${p=\frac54},$ entonces ${D=0}$ y la ecuación tiene una raíz: ${x=\frac32}.$
• Si ${p\gt\frac54},$ entonces ${D\lt 0}$ y la ecuación no tiene raíces reales.

Problema 2. Halle los valores de $k$ para los que la ecuación ${kx^2-x+2=0}$ tiene exactamente una raíz real o ninguna.

Solución. Si ${k=0},$ la ecuación es lineal: ${-x+2=0},$ con la única raíz ${x=2}.$ Este valor es solución del problema.

Si ${k\ne 0},$ la ecuación es cuadrática. Tiene una raíz o ninguna exactamente cuando ${D\le 0}$:

${D}={(-1)^2-4\cdot k\cdot 2}={1-8k}\le{0},$   es decir, ${k\ge\frac18}$

Respuesta: ${k=0}$ o ${k\ge\frac18},$ es decir, ${k\in\{0\}\cup\left[\frac18,\ +\infty\right)}.$ El valor ${k=\frac18}$ está incluido: entonces ${D=0},$ y la ecuación ${\frac18x^2-x+2=0}$ tiene la única raíz ${x=4}.$

Problema 3. Halle $m$ si una raíz de la ecuación ${x^2+mx+12=0}$ es el triple de la otra.

Solución. Sean $x_2$ y ${x_1=3x_2}$ las raíces. Por las fórmulas de Vieta, ${x_1x_2=3x_2^2=12},$ de donde ${x_2^2=4}$ y ${x_2=\pm 2}.$

• Si ${x_2=2}$: ${x_1=6}$ y ${m=-(x_1+x_2)=-8}.$ La ecuación ${x^2-8x+12=0}$ tiene las raíces 2 y 6.
• Si ${x_2=-2}$: ${x_1=-6}$ y ${m=8}.$ La ecuación ${x^2+8x+12=0}$ tiene las raíces $-2$ y $-6.$

Respuesta: ${m=-8}$ o ${m=8}.$

Problema 4. Halle $k$ si las raíces de la ecuación ${x^2+(k-2)x+4-2k=0}$ cumplen ${x_1^2+x_2^2=5}.$

Solución. ${S=x_1+x_2=2-k}$ y ${P=x_1x_2=4-2k}.$ Entonces

${x_1^2+x_2^2}={S^2-2P}={(2-k)^2-2(4-2k)}={k^2-4}$

De ${k^2-4=5}$ obtenemos ${k=3}$ o ${k=-3}.$ Pero las fórmulas de Vieta solo valen si las raíces existen, así que comprobamos el discriminante:

• ${k=3}$: la ecuación es ${x^2+x-2=0}$ y ${D=1+8=9\gt 0}.$ Las raíces son 1 y $-2,$ y en efecto ${1^2+(-2)^2=5}.$
• ${k=-3}$: la ecuación es ${x^2-5x+10=0}$ y ${D=25-40=-15\lt 0}.$ No hay raíces reales.

Respuesta: ${k=3}.$

Problema 5. Resuelva la ecuación ${\frac{x+k}{k}+\frac{x}{x-k}=\frac{x-k}{2k}}$ con el parámetro $k.$

Solución. La ecuación tiene sentido para ${k\ne 0}$ y ${x\ne k}.$ Multiplicamos por ${2k(x-k)}$:

${2(x+k)(x-k)+2kx}={(x-k)^2}$

${2x^2-2k^2+2kx}={x^2-2kx+k^2}$

${x^2+4kx-3k^2=0}$

El coeficiente de $x$ es par: ${D_1}={(2k)^2+3k^2}={7k^2}\gt{0},$ porque ${k\ne 0}.$ Por lo tanto,

${x_{1,2}}={-2k\pm\sqrt{7k^2}}={-2k\pm\sqrt7\,|k|}={(-2\pm\sqrt7)k}$

(el signo $\pm$ absorbe el signo de $k$: $\pm|k|$ y $\pm k$ dan los mismos dos números). Falta comprobar la condición ${x\ne k}$: ${(-2\pm\sqrt7)k=k}$ significaría ${(-3\pm\sqrt7)k=0},$ lo cual es imposible, porque ${k\ne 0}$ y ${\sqrt7\ne 3}.$

Respuesta: para ${k=0}$ la ecuación no tiene sentido, y para cada ${k\ne 0}$ las raíces son ${x_{1,2}=(-2\pm\sqrt7)k}.$

Errores comunes

Error	Incorrecto	Correcto
Los coeficientes se leen antes de pasar los términos a la izquierda	${x^2=2x+3}$: ${a=1},$ ${b=2},$ ${c=3}$	${x^2-2x-3=0}$: ${a=1},$ ${b=-2},$ ${c=-3}$
Se pierde el signo de $b$	${x^2-5x+6=0}$: ${x_{1,2}=\frac{-5\pm 1}{2}}$	${-b=5},$ así que ${x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}}$
El cuadrado de un número negativo	${b=-3},$ ${b^2=-9}$	${b^2=(-3)^2=9}$
Signo equivocado delante de $4ac$	${x^2+3x-4=0}$: ${D=9-16}$	${D}={9-4\cdot 1\cdot(-4)}={9+16}={25}$
Solo la raíz cuadrada se divide entre $2a$	${x_{1,2}=-b\pm\frac{\sqrt{D}}{2a}}$	${x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}}$
Se simplifica solo un término del numerador	${\frac{4\pm 2\sqrt3}{2}=4\pm\sqrt3}$	${\frac{4\pm 2\sqrt3}{2}=2\pm\sqrt3}$
Una raíz perdida al dividir entre $x$	${3x^2=12x},$ así que ${x=4}$	${3x(x-4)=0}$: ${x_1=0},$ ${x_2=4}$
Se olvida la raíz negativa	${x^2=9},$ así que ${x=3}$	${x_{1,2}=\pm 3}$
Suma de las raíces con el signo equivocado	${x^2-7x+10=0}$: ${x_1+x_2=-7}$	${x_1+x_2=7},$ ${x_1x_2=10}$
Las fórmulas para ${a=1}$ se usan cuando ${a\ne 1}$	${2x^2-5x-3=0}$: ${x_1x_2=-3}$	${x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac32}$
Las fórmulas de Vieta se usan cuando no hay raíces	${x^2+2x+5=0}$: ${x_1+x_2=-2},$ ${x_1x_2=5}$	${D=-16\lt 0},$ no hay raíces reales

Ejercicios

Intente resolverlos y después abra la respuesta.

1. Resuelva la ecuación ${x^2-8x+15=0}.$

Buscamos dos números con producto 15 y suma 8: ${x_1=3},$ ${x_2=5}.$ Con la fórmula: ${D=64-60=4}$ y ${x_{1,2}=\frac{8\pm 2}{2}}.$

2. Resuelva la ecuación ${2x^2+3x-2=0}.$

${D=9+16=25},$ ${x_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}},$ es decir, ${x_1=-2},$ ${x_2=\frac12}.$

3. Resuelva la ecuación ${9x^2-6x+1=0}.$

${D=36-36=0},$ y la ecuación tiene una raíz ${x=\frac{6}{18}=\frac13}.$ En efecto, ${9x^2-6x+1=(3x-1)^2}.$

4. Resuelva la ecuación ${x^2+x+1=0}.$

${D=1-4=-3\lt 0}.$ La ecuación no tiene raíces reales.

5. Resuelva la ecuación ${5x^2-20=0}.$

${x^2=4},$ de donde ${x_{1,2}=\pm 2}.$

6. Resuelva la ecuación ${x^2-6x+7=0}.$

${k=-3},$ ${D_1=9-7=2}$ y ${x_{1,2}=3\pm\sqrt2}.$

7. Sin resolver la ecuación ${x^2-3x-7=0},$ calcule ${x_1^2+x_2^2}$ y ${\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}.$

${D=9+28=37\gt 0},$ ${S=3}$ y ${P=-7}.$ Entonces ${x_1^2+x_2^2}={S^2-2P}={9+14}={23}$ y ${\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{S}{P}=-\frac37}.$

8. Escriba una ecuación cuadrática con coeficientes enteros cuyas raíces sean $-2$ y ${\frac53}.$

${S=-2+\frac53=-\frac13}$ y ${P=-2\cdot\frac53=-\frac{10}{3}}.$ Multiplicamos la ecuación ${x^2+\frac13x-\frac{10}{3}=0}$ por 3: ${3x^2+x-10=0}.$

9. Una raíz de la ecuación ${x^2+px-12=0}$ es 4. Halle $p$ y la otra raíz.

${x_1x_2=-12},$ así que ${x_2=-3}.$ De ${x_1+x_2=1=-p}$ obtenemos ${p=-1}.$ Comprobación: ${4^2-4-12=0}.$

10. ¿Para qué valor de $m$ la ecuación ${x^2-6x+m=0}$ tiene una raíz (doble)?

${D=36-4m=0}$ para ${m=9}.$ Entonces ${x^2-6x+9=(x-3)^2}$ y la raíz es ${x=3}.$

11. El largo de un rectángulo mide 3 cm más que su ancho, y su área es 54 cm². Halle sus lados.

Si el ancho mide $x$ cm, entonces ${x(x+3)=54},$ es decir, ${x^2+3x-54=0}.$ ${D=9+216=225}$ y ${x_{1,2}=\frac{-3\pm 15}{2}}.$ La raíz positiva es ${x=6}.$ Los lados miden 6 cm y 9 cm.

Vea también: Ecuaciones bicuadráticas · Inecuaciones polinómicas y racionales

También puede comprobar sus respuestas con el solucionador de problemas.