Ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas tienen la forma: ax² + bx + c = 0
donde a,b,c son números reales, y a ≠ 0 (de lo contrario es una ecuación lineal).
Toda ecuación cuadrática puede tener 0, 1 o 2 soluciones reales derivadas de la fórmula:

El número D = b² - 4ac se denomina"discriminante".
Si D < 0, entonces cuando la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales (tiene 2 soluciones complejas).
Si D = 0, entonces la ecuación cuadrática tiene 1 solución $x = - \frac{b}{2a}$
Si D > 0, entonces la ecuación cuadrática tiene 2 soluciones distintas.

Ejemplo:
Resolvamos la ecuación cuadrática.: x² + 3x - 4 = 0
a = 1, b = 3, c = -4
$x=\frac{-(3) \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = $
$ = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = $
$\frac{-3 \pm 5}{2} = \begin{cases} \frac{-3 - 5}{2} = -4 \\ \frac{-3 + 5}{2} = 1\end{cases}$

Parábola

La gráfica de una ecuación cuadrática se llama parábola.
Si a > 0, entonces su vértice apunta hacia abajo:

El vértice de la parábola está en el punto $x = -\frac{b}{2a}$.

Fórmulas de Vieta

Si x₁ y x₂ son las raíces de la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 entonces:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_1x_2 = \frac{c}{a}$
Estas fórmulas se denominan Fórmulas de Vieta.
Podemos encontrar las raíces. x₁ y x₂ de la ecuación cuadrática resolviendo las ecuaciones simultáneas.

Problemas que involucran ecuaciones cuadráticas.

Problema 1. Resuelva la ecuación:
x² - 4 = 0
Solución: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
(x - 2)(x + 2) = 0
x - 2 = 0 o x + 2 = 0
Las raíces son x = 2 o x = -2

Solución 2: a = 1, b = 0, c = -4
D = 0² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-4) = 16
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{- 0 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{- 0 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Problema 2. Resuelva la ecuación:
3x² + 4x + 5 = 0
Solución: El discriminante es D = 4² - 4⋅3⋅5 = 16 - 60 = -44 < 0
Así que la ecuación cuadrática no tiene raíces reales.

Problema 3. Resuelva la ecuación:
x² + 4x - 5 = 0; x = ?
Solución: El discriminante es 4² - (-4⋅1⋅5) = 16 + 20 = 36 > 0
La ecuación tiene 2 raíces reales: $\frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2}$
x = 1 o x = -5

Problema 4. Resuelva la ecuación:
x² + 4x + 4 = 0; x = ?
Solución: El discriminante es 4² - (4⋅1⋅4) = 16 - 16 = 0
Así que hay una solución real: $x = \frac{-4}{2}$
x = -2

Problema 5. Resuelva la ecuación:
x² - 13x + 12 = 0
Raíces: 1, 12

Problema 6. Resuelva la ecuación:
8x² - 30x + 7 = 0
Raíces: 3,5 y 0,25

Derivación de la fórmula cuadrática

Al usar la técnica de "completar el cuadrado"