MenúReglas de divisibilidad
Un número entero es divisible por otro número entero cuando la división no deja resto. Por ejemplo, 84 es divisible por 7 porque 84 ÷ 7 = 12 con resto 0, pero 85 no es divisible por 7 porque 85 ÷ 7 = 12 con resto 1.
Las siguientes reglas permiten comprobar la divisibilidad sin hacer la división. Cada regla va acompañada de un número que la cumple y de otro que no la cumple.
| Divisible por | Regla | Divisible | No divisible |
|---|---|---|---|
| 2 | El último dígito es par: 0, 2, 4, 6 u 8. | 258 termina en 8. | 347 termina en 7, que es impar. |
| 3 | La suma de los dígitos es divisible por 3. | 246: 2 + 4 + 6 = 12, y 12 = 3 × 4. | 247: 2 + 4 + 7 = 13, que no es divisible por 3. |
| 4 | Los dos últimos dígitos forman un número divisible por 4. | 316: 16 = 4 × 4. | 530: 30 no es divisible por 4. |
| 5 | El último dígito es 0 o 5. | 135 termina en 5, 770 termina en 0. | 572 termina en 2. |
| 6 | El número es divisible por 2 y por 3 a la vez. | 282 es par, y 2 + 8 + 2 = 12. | 471: 4 + 7 + 1 = 12, pero 471 es impar. |
| 7 | Se duplica el último dígito y se resta del número formado por los demás dígitos. Si el resultado es divisible por 7, también lo es el número original (el 0 y los resultados negativos también cuentan). En números largos, se repite el paso. | 203: 20 − 2 × 3 = 14 = 7 × 2. 119: 11 − 2 × 9 = −7. 2464: 246 − 2 × 4 = 238, y luego 23 − 2 × 8 = 7. |
326: 32 − 2 × 6 = 20, que no es divisible por 7. |
| 8 | Los tres últimos dígitos forman un número divisible por 8. | 1112: 112 = 8 × 14. | 1250: 250 = 8 × 31 + 2, así que el resto es 2. |
| 9 | La suma de los dígitos es divisible por 9. | 819: 8 + 1 + 9 = 18 = 9 × 2. | 725: 7 + 2 + 5 = 14. |
| 10 | El último dígito es 0. | 2340 termina en 0. | 2345 termina en 5. |
| 11 | Empezando por el último dígito, se suman y se restan los dígitos de forma alterna (+ − + − …). Si el resultado es divisible por 11, también lo es el número (el 0 y los resultados negativos también cuentan). | 4829: 9 − 2 + 8 − 4 = 11. 1331: 1 − 3 + 3 − 1 = 0. |
1234: 4 − 3 + 2 − 1 = 2. |
| 12 | El número es divisible por 3 y por 4 a la vez. | 348: 3 + 4 + 8 = 15, y 48 = 4 × 12. | 138: 1 + 3 + 8 = 12, pero 38 no es divisible por 4. |
| 25 | Los dos últimos dígitos son 00, 25, 50 o 75. | 1375 termina en 75. | 1340 termina en 40. |
Cuidado
- Para el 4 hay que mirar los dos últimos dígitos, no solo el último: 34 termina en 4 y, sin embargo, 34 no es divisible por 4.
- Dos reglas solo se pueden combinar cuando los números no tienen ningún factor común aparte del 1. Para el 12 se usan el 3 y el 4, nunca el 2 y el 6: 18 es divisible por 2 y por 6, pero no por 12.
- Todo número divisible por 9 es divisible por 3, pero no al revés: 12 es divisible por 3, y la suma de sus dígitos, 1 + 2 = 3, muestra que no es divisible por 9.
¿Por qué funcionan las reglas?
2, 5 y 10. Todo número es una cantidad de decenas más su último dígito, por ejemplo 258 = 250 + 8. Una cantidad de decenas siempre es divisible por 2, por 5 y por 10, porque 10 = 2 × 5. Por eso solo decide el último dígito.
4, 25 y 8. 100 = 4 × 25, así que cualquier cantidad de centenas es divisible por 4 y por 25. En 316 = 300 + 16 solo importa el 16. Del mismo modo, 1000 = 8 × 125, así que para el 8 solo importan los tres últimos dígitos.
3 y 9. 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1 y 1000 = 999 + 1. Por lo tanto
246 = 2 × 100 + 4 × 10 + 6 = (2 × 99 + 4 × 9) + (2 + 4 + 6).
El primer paréntesis siempre es divisible por 9, y por lo tanto por 3, así que el número y la suma de sus dígitos dan la misma respuesta.
11. 10 = 11 − 1, 100 = 99 + 1 y 1000 = 1001 − 1, donde 1001 = 11 × 91. Cada valor posicional es un múltiplo de 11 más o menos 1; por eso los dígitos se suman y se restan de forma alterna.
7. Escribimos el número como 10a + b, donde b es el último dígito y a es el número formado por los demás dígitos. Entonces
2 × (10a + b) = 21a − (a − 2b).
21a siempre es divisible por 7, así que 10a + b es divisible por 7 exactamente cuando lo es a − 2b. (Duplicar un número no cambia el hecho de que sea o no divisible por 7.)
6 y 12. Un número divisible por 2 y por 3 contiene ambos factores, así que es divisible por 2 × 3 = 6. Lo mismo ocurre con 3 y 4, que dan 12. Esto funciona solo porque 2 y 3 (y también 3 y 4) no tienen ningún factor común; por eso no se pueden usar 2 y 6 para el 12.
Práctica
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