Radicales y raíces

¿Qué número positivo, multiplicado por sí mismo, da 9? Es 3, porque ${3\cdot 3=3^2=9}.$ Decimos que 3 es la raíz cuadrada de 9 y escribimos ${\sqrt9=3}.$ ¿Qué número, tomado tres veces como factor, da 27? De nuevo 3, porque ${3\cdot 3\cdot 3=3^3=27}.$ Así, 3 es la raíz cúbica de 27, y escribimos ${\sqrt[3]{27}=3}.$

El lado de un cuadrado de área 9 es ${\sqrt9=3}.$ La arista de un cubo de volumen 27 es ${\sqrt[3]{27}=3}.$

Extraer una raíz es la operación inversa de elevar a una potencia: la deshace. La potencia $3^2$ nos lleva de 3 a 9, y la raíz $\sqrt9$ nos devuelve de 9 a 3. El signo $\sqrt{\phantom{0}}$ se llama signo radical, y una expresión escrita con él, como $\sqrt9,$ $\sqrt[3]{27}$ o ${2\sqrt{x+1}},$ se llama radical. La palabra viene del latín radix, que significa “raíz”.

El número $n$ es el índice de la raíz, y el número $a$ que está bajo el signo radical es el radicando. En la raíz cuadrada el índice 2 no se escribe: $\sqrt[2]{a}$ es simplemente $\sqrt a.$ La raíz de índice 3 es la raíz cúbica; después vienen la raíz cuarta, la raíz quinta, etcétera.

Ejemplos

• ${\sqrt{25}=5},$ porque ${5^2=25}.$
• ${\sqrt{\frac14}=\frac12},$ porque ${\left(\frac12\right)^2=\frac14}.$
• ${\sqrt{0{,}09}=0{,}3},$ porque ${0{,}3^2=0{,}09}.$
• ${\sqrt[3]{8}=2},$ porque ${2^3=8}.$
• ${\sqrt[3]{-8}=-2},$ porque ${(-2)^3=-8}.$
• ${\sqrt[4]{81}=3},$ porque ${3^4=81}.$
• ${\sqrt[5]{32}=2},$ porque ${2^5=32}.$
• ${\sqrt[n]{0}=0}$ y ${\sqrt[n]{1}=1}$ para todo índice $n,$ porque ${0^n=0}$ y ${1^n=1}.$

En esta página: Raíces · Exponentes fraccionarios · Propiedades de los radicales · Simplificación · Suma y resta · Multiplicación · División · Racionalización del denominador · Potencias y raíces de radicales · Comparación · Gráficas · Errores comunes · Ejercicios

Raíces cuadradas, cúbicas y n-ésimas

Cuadrados perfectos y cubos perfectos

Un número entero cuya raíz cuadrada también es un número entero se llama cuadrado perfecto: 1, 4, 9, 16, 25, … Un número cuya raíz cúbica es un número entero es un cubo perfecto: 1, 8, 27, 64, … Conviene aprender de memoria los primeros, porque las raíces se hallan reconociendo estos números.

$x$	$x^2$	$x^3$	$x^4$
1	1	1	1
2	4	8	16
3	9	27	81
4	16	64	256
5	25	125	625
6	36	216	1296
7	49	343	2401
8	64	512	4096
9	81	729	6561
10	100	1000	10000

Lee la tabla de derecha a izquierda para hallar raíces: ${\sqrt{49}=7},$ ${\sqrt[3]{216}=6},$ ${\sqrt[4]{625}=5}.$ Los siguientes cuadrados perfectos son ${11^2=121},$ ${12^2=144},$ ${13^2=169},$ ${14^2=196}$ y ${15^2=225}.$

Dos raíces cuadradas, un solo signo radical

La ecuación ${x^2=9}$ tiene dos soluciones, 3 y $-3,$ porque ${3^2=9}$ y ${(-3)^2=9}.$ Los dos números son raíces cuadradas de 9. Pero el símbolo $\sqrt9$ representa solo uno de ellos, el que no es negativo: ${\sqrt9=3}.$ Se llama raíz cuadrada principal (o aritmética). La raíz negativa se escribe ${-\sqrt9=-3},$ y las dos juntas se escriben ${\pm\sqrt9=\pm 3}.$

Por ejemplo, de ${x^2=7}$ se obtiene ${x=\pm\sqrt7},$ y de ${x^3=-125}$ se obtiene ${x=\sqrt[3]{-125}=-5}.$ Así se resuelven las ecuaciones cuadráticas y cúbicas más sencillas.

Índice par e índice impar

Toda raíz de índice par (para abreviar, raíz par) se comporta como la raíz cuadrada, y toda raíz de índice impar (raíz impar) se comporta como la raíz cúbica.

	$n$ es par: $\sqrt a,$ $\sqrt[4]{a},$ $\sqrt[6]{a},$ …	$n$ es impar: $\sqrt[3]{a},$ $\sqrt[5]{a},$ …
${a\gt 0}$	La raíz es positiva: ${\sqrt[4]{16}=2}$	La raíz es positiva: ${\sqrt[3]{8}=2}$
${a=0}$	${\sqrt[4]{0}=0}$	${\sqrt[3]{0}=0}$
${a\lt 0}$	No hay raíz real: $\sqrt[4]{-16}$ no existe	La raíz es negativa: ${\sqrt[3]{-8}=-2}$
La ecuación ${x^n=a}$	Dos soluciones $\pm\sqrt[n]{a}$ si ${a\gt 0},$ una (${x=0}$) si ${a=0},$ ninguna si ${a\lt 0}$	Exactamente una solución, $\sqrt[n]{a}$

¿Por qué no existe $\sqrt{-4}?$ Un cuadrado nunca es negativo: ${2\cdot 2=4}$ y ${(-2)\cdot(-2)=4},$ así que ningún número real multiplicado por sí mismo da $-4.$ (Las raíces cuadradas de números negativos llevan a los números imaginarios, un tema de álgebra más avanzada.) En cambio, una raíz impar de un número negativo sí existe, y el signo menos simplemente sale delante de la raíz:

Por ejemplo, ${\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3}$ y ${\sqrt[5]{-32}=-\sqrt[5]{32}=-2}.$

No confundas $\sqrt{-a}$ con $-\sqrt a.$ El número ${-\sqrt{16}=-4}$ existe, mientras que $\sqrt{-16}$ no es un número real.

Por la misma razón, una expresión con una raíz par está definida solo cuando su radicando no es negativo: $\sqrt{x-3}$ está definida para ${x\ge 3},$ mientras que $\sqrt[3]{x-3}$ está definida para todo $x.$

La raíz de un número negativo puede indicar que un problema no tiene solución. Supongamos que hay que descomponer el número 14 en dos sumandos cuyo producto sea 60. Si un sumando es $x,$ el otro es ${14-x},$ de modo que ${x(14-x)=60},$ es decir, ${x^2-14x+60=0}.$ La fórmula general de las ecuaciones cuadráticas daría ${x=7\pm\sqrt{-11}}.$ No existe ningún número real $\sqrt{-11},$ así que 14 no se puede descomponer de esa manera. En efecto, el producto es máximo cuando los dos sumandos son iguales, y entonces vale solo ${7\cdot 7=49}.$

Raíces que no son números enteros

La mayoría de las raíces no son números enteros. Tomemos $\sqrt2.$ Como ${1^2=1}$ y ${2^2=4},$ la raíz está entre 1 y 2. Probemos con números decimales:

${1{,}4^2=1{,}96}$ y ${1{,}5^2=2{,}25},$ luego ${1{,}4\lt\sqrt2\lt 1{,}5}$

${1{,}41^2=1{,}9881}$ y ${1{,}42^2=2{,}0164},$ luego ${1{,}41\lt\sqrt2\lt 1{,}42}$

Podemos seguir así indefinidamente: ${\sqrt2=1{,}41421356\ldots}$ Las cifras decimales no terminan nunca y no se repiten de forma periódica. El número $\sqrt2$ es irracional: no se puede escribir como una fracción cuyo numerador y denominador sean números enteros.

Así, $\sqrt4$ y $\sqrt[3]{27}$ son números naturales, mientras que $\sqrt2,$ $\sqrt3,$ $\sqrt5,$ $\sqrt6,$ $\sqrt[3]{2}$ y $\sqrt[3]{10}$ son irracionales. Algunos valores se usan muy a menudo:

${\sqrt2\approx 1{,}414},$   ${\sqrt3\approx 1{,}732},$   ${\sqrt5\approx 2{,}236},$   ${\sqrt{10}\approx 3{,}162}$

Aun así, una raíz irracional es un número exacto. En los cálculos la dejamos como $\sqrt2$ y la sustituimos por un número decimal solo al final, si es que hace falta.

Para estimar una raíz sin calculadora, busca los cuadrados perfectos más cercanos por debajo y por encima del radicando. Por ejemplo, ${49\lt 50\lt 64},$ luego ${7\lt\sqrt{50}\lt 8},$ y como 50 está muy cerca de 49, la raíz es solo un poco mayor que 7. De hecho, ${\sqrt{50}\approx 7{,}07}.$

Por qué $\sqrt2$ no se puede escribir como fracción

Supongamos que ${\sqrt2=\frac pq},$ donde $p$ y $q$ son números naturales y la fracción es irreducible. Al elevar al cuadrado se obtiene ${p^2=2q^2},$ así que $p^2$ es par, y entonces el propio $p$ es par: ${p=2k}.$ Ahora ${4k^2=2q^2},$ es decir, ${q^2=2k^2},$ así que $q$ también es par. Pero entonces la fracción $\frac pq$ se puede simplificar dividiendo sus dos términos entre 2, y habíamos dicho que era irreducible. Esta contradicción demuestra que no existe tal fracción.

Las raíces como potencias: exponentes fraccionarios

Una raíz se puede escribir como potencia. Para verlo, tomemos un número positivo $a$ y fijémonos en $a^6.$ Su raíz cuadrada es $a^3,$ porque ${a^3\cdot a^3=a^6}$: el exponente 6 se divide entre 2. Su raíz cúbica es $a^2,$ porque ${a^2\cdot a^2\cdot a^2=a^6}$: el exponente 6 se divide entre 3. Hagamos ahora lo mismo con ${a=a^1}.$ Su raíz cuadrada debería tener el exponente $\frac12.$ Y, en efecto, si los exponentes se suman de la manera habitual, entonces

${a^{\frac12}\cdot a^{\frac12}=a^{\frac12+\frac12}=a^1=a}$

Así, $a^{\frac12}$ multiplicado por sí mismo da $a,$ exactamente igual que $\sqrt a.$ Del mismo modo, ${a^{\frac13}\cdot a^{\frac13}\cdot a^{\frac13}=a},$ igual que $\sqrt[3]{a}.$ Los exponentes de este tipo se llaman exponentes fraccionarios (o racionales).

La segunda fórmula dice que una potencia de una raíz es igual a la raíz de la potencia. Por ejemplo, la cuarta potencia de la raíz cúbica de $a$ es el mismo número que la raíz cúbica de $a^4.$

Un exponente fraccionario negativo significa “uno dividido entre”, igual que con los exponentes enteros: ${a^{-\frac mn}=\frac{1}{a^{\frac mn}}}.$

Ejemplos

• ${9^{\frac12}=\sqrt9=3}$
• ${8^{\frac13}=\sqrt[3]{8}=2}$
• ${8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4}$
• ${16^{\frac34}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8}$
• ${27^{\frac43}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^4=3^4=81}$
• ${4^{-\frac12}=\frac{1}{4^{\frac12}}=\frac{1}{\sqrt4}=\frac12}$
• ${100^{1{,}5}}={100^{\frac32}}={\left(\sqrt{100}\right)^3}={10^3}={1000}$
• ${32^{0{,}4}}={32^{\frac25}}={\left(\sqrt[5]{32}\right)^2}={2^2}={4}$

Extrae primero la raíz y eleva después a la potencia: así los números se mantienen pequeños. Si $16^{\frac34}$ se calcula como ${\sqrt[4]{16^3}=\sqrt[4]{4096}},$ se obtiene el mismo 8, pero con mucho más trabajo.

Fracciones iguales dan potencias iguales: ${a^{\frac23}=a^{\frac46}=a^{\frac69}},$ es decir, ${\sqrt[3]{a^2}=\sqrt[6]{a^4}=\sqrt[9]{a^6}}.$ El exponente también se puede escribir como número decimal: ${a^{0{,}5}=\sqrt a},$ ${a^{0{,}25}=\sqrt[4]{a}},$ ${a^{1{,}5}=\sqrt{a^3}}.$ Así halla las raíces una calculadora: $\sqrt[5]{7}$ se introduce como $7^{0{,}2},$ y ${7^{0{,}2}\approx 1{,}476}.$

Todas las propiedades de las potencias siguen siendo válidas para los exponentes fraccionarios. Aquí ${a\gt 0}$ y ${b\gt 0},$ y $p$ y $q$ son números racionales cualesquiera:

Propiedad	Ejemplo
${a^p\cdot a^q=a^{p+q}}$	${a^{\frac12}\cdot a^{\frac13}=a^{\frac12+\frac13}=a^{\frac56}}$
${\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}}$	${\frac{a^{\frac12}}{a^{\frac16}}=a^{\frac12-\frac16}=a^{\frac13}}$
${\left(a^p\right)^q=a^{pq}}$	${\left(a^{\frac13}\right)^2=a^{\frac23}}$
${(ab)^p=a^pb^p}$	${(8a)^{\frac13}=8^{\frac13}a^{\frac13}=2a^{\frac13}}$
${\left(\frac ab\right)^p=\frac{a^p}{b^p}}$	${\left(\frac{a}{9}\right)^{\frac12}=\frac{a^{\frac12}}{3}}$

Algunos ejemplos más:

• ${a^{\frac27}\cdot a^{\frac37}=a^{\frac57}}$
• ${y^3\cdot y^{\frac16}=y^{3+\frac16}=y^{\frac{19}{6}}}$
• ${a^3\cdot a^{\frac13}\cdot a^{\frac23}}={a^{3+\frac13+\frac23}}={a^4}$
• ${\left(a^{\frac23}x^{\frac34}\right)^2=a^{\frac43}x^{\frac32}}$

Solo bases positivas. Una potencia de exponente fraccionario está definida solo para una base positiva. La raíz ${\sqrt[3]{-8}=-2}$ es correcta, pero $(-8)^{\frac13}$ se deja sin definir. De lo contrario, los exponentes iguales $\frac13$ y $\frac26$ darían dos resultados distintos: $-2$ y ${\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2}.$

Propiedades de los radicales

Las reglas para operar con radicales son las propiedades de las potencias escritas con signos radicales. En la tabla, $n,$ $m$ y $k$ son números naturales (todo índice es mayor o igual que 2), y $a$ y $b$ no son negativos. En la propiedad del cociente, ${b\gt 0}.$

Propiedad	Fórmula	Ejemplo
Raíz de un producto	${\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}}$	${\sqrt{4\cdot 25}=\sqrt4\cdot\sqrt{25}=10}$
Raíz de un cociente	${\sqrt[n]{\frac ab}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}$	${\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt9}{\sqrt{16}}=\frac34}$
Potencia de una raíz	${\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}}$	${\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=\sqrt[3]{64}=4}$
Raíz de una raíz	${\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}}$	${\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2}$
Cambio de índice	${\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}}$	${\sqrt[6]{5^3}=\sqrt5}$
Una raíz elevada a su propio índice	${\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a}$	${\left(\sqrt7\right)^2=7}$
Raíz de una potencia $n$-ésima, $n$ impar	${\sqrt[n]{x^n}=x}$ para todo $x$ real	${\sqrt[3]{(-5)^3}=-5}$
Raíz de una potencia $n$-ésima, $n$ par	${\sqrt[n]{x^n}=|x|}$ para todo $x$ real	${\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5}$

Las dos últimas propiedades se confunden con facilidad: ${\sqrt[3]{x^3}=x},$ pero ${\sqrt[4]{x^4}=|x|},$ el valor absoluto de $x.$ La razón es que una raíz par nunca es negativa: ${\sqrt[2n]{x}\ge 0}$ para todo ${x\ge 0}$ y todo número natural $n.$ Para ${x=-5}$ se obtiene ${\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5},$ que es $|{-5}|$ y no $-5.$ Compara también ${\left(\sqrt x\right)^2=x},$ que tiene sentido solo para ${x\ge 0},$ con ${\sqrt{x^2}=|x|},$ que está definida para todo $x.$

Por qué se cumplen las fórmulas

Escritas como potencias de exponente fraccionario, las fórmulas se convierten en las propiedades de las potencias (para ${a=0}$ los dos miembros de cada fórmula valen 0).

Raíz de un producto.

${\sqrt[n]{ab}}={(ab)^{\frac1n}}={a^{\frac1n}\cdot b^{\frac1n}}={\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}}$

Raíz de un cociente.

${\sqrt[n]{\frac ab}=\left(\frac ab\right)^{\frac1n}=\frac{a^{\frac1n}}{b^{\frac1n}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}$

Potencia de una raíz.

${\left(\sqrt[n]{a}\right)^m}={\left(a^{\frac1n}\right)^m}={a^{\frac mn}}={\sqrt[n]{a^m}}$

Raíz de una raíz.

${\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\left(a^{\frac1m}\right)^{\frac1n}=a^{\frac{1}{mn}}=\sqrt[nm]{a}}$

Cambio de índice.

${\sqrt[nk]{a^{mk}}=a^{\frac{mk}{nk}}=a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}}$

Hemos aceptado sin demostración las propiedades de los exponentes fraccionarios, así que una demostración completa tiene que partir de la definición de raíz. Veámosla para la propiedad del producto. El número ${\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}}$ no es negativo, y su potencia $n$-ésima es ${\left(\sqrt[n]{a}\right)^n\cdot\left(\sqrt[n]{b}\right)^n=ab}.$ Por tanto, es la raíz $n$-ésima de $ab.$ Las demás fórmulas se comprueban del mismo modo. Por ejemplo, ${\left(\left(\sqrt[n]{a}\right)^m\right)^n}={\left(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n\right)^m}={a^m},$ luego ${\left(\sqrt[n]{a}\right)^m}$ es la raíz $n$-ésima de $a^m.$

La propiedad del producto vale para cualquier número de factores: ${\sqrt[n]{abc}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\cdot\sqrt[n]{c}}.$

Con índice impar, las propiedades del producto y del cociente se cumplen también para números negativos: ${\sqrt[3]{(-8)\cdot 27}}={\sqrt[3]{-8}\cdot\sqrt[3]{27}}={-6}.$ Con índice par, no: ${\sqrt{(-4)\cdot(-9)}}={\sqrt{36}}={6},$ pero $\sqrt{-4}$ y $\sqrt{-9}$ no existen. Si $a$ y $b$ son ambos negativos, usa ${\sqrt{ab}=\sqrt{-a}\cdot\sqrt{-b}}$: por ejemplo, ${\sqrt{(-4)\cdot(-9)}}={\sqrt4\cdot\sqrt9}={6}.$

No hay ninguna propiedad para la suma ni para la diferencia. En general, ${\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b}$ y ${\sqrt{a-b}\ne\sqrt a-\sqrt b}.$ Por ejemplo, ${\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5},$ pero ${\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7}.$ Para $a$ y $b$ positivos, la raíz de la suma es siempre menor que la suma de las raíces: ${\sqrt{a+b}\lt\sqrt a+\sqrt b}.$

Letras bajo el radical. De aquí en adelante, salvo que se diga lo contrario, las letras representan números que no son negativos, y se supone que toda expresión que está bajo una raíz par no es negativa (y que es positiva si está en un denominador). Entonces ${\sqrt{a^2}=a}$ y no hacen falta las barras de valor absoluto.

Simplificación de radicales

Un radical está en su forma más simple cuando

• el radicando no tiene ningún factor mayor que 1 que sea una potencia $n$-ésima perfecta (en una raíz cuadrada: ningún factor que sea un cuadrado perfecto);
• no hay ninguna fracción bajo el signo radical ni ningún radical en un denominador;
• el índice es el menor posible.

Extraer un factor del radical

Ejemplo. Simplifica $\sqrt8.$ El mayor cuadrado perfecto que divide a 8 es 4, luego

${\sqrt8}={\sqrt{4\cdot 2}}={\sqrt4\cdot\sqrt2}={2\sqrt2}$

Aquí $2\sqrt2$ significa ${2\cdot\sqrt2}.$ Un número escrito delante de un radical lo multiplica y se llama su coeficiente. Cuando no se escribe ningún coeficiente, este es 1. No confundas el coeficiente con el índice: $3\sqrt2$ es 3 veces $\sqrt2,$ mientras que $\sqrt[3]{2}$ es la raíz cúbica de 2.

• ${\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt2}$
• ${\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt2}$
• ${\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt3}$
• ${\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt2}$
• ${\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}}$
• ${\sqrt[4]{32}=\sqrt[4]{16\cdot 2}=2\sqrt[4]{2}}$

Busca el mayor factor que sea un cuadrado perfecto. Para $\sqrt{72}$ también sirve el factor 4, que da ${\sqrt{72}=2\sqrt{18}},$ pero 18 todavía contiene el cuadrado perfecto 9, así que hace falta un paso más: ${2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt2=6\sqrt2}.$

Cuando el radicando es grande, descomponlo en factores primos. Cada par de factores iguales da un factor delante de la raíz cuadrada (y cada terna, un factor delante de la raíz cúbica):

${\sqrt{360}}={\sqrt{2^3\cdot 3^2\cdot 5}}={\sqrt{2^2\cdot 3^2\cdot 10}}={2\cdot 3\sqrt{10}}={6\sqrt{10}}$

Con las letras se procede igual. Divide el exponente entre el índice: el cociente es el exponente que sale fuera, y el resto se queda dentro.

• ${\sqrt{a^2x}=a\sqrt x}$
• ${\sqrt{x^5}=\sqrt{x^4\cdot x}=x^2\sqrt x}$
• ${\sqrt{98a^2x}}={\sqrt{49a^2\cdot 2x}}={7a\sqrt{2x}}$
• ${\sqrt[3]{54a^6b}}={\sqrt[3]{27a^6\cdot 2b}}={3a^2\sqrt[3]{2b}}$
• ${\sqrt[3]{a^3+a^3b^2}}={\sqrt[3]{a^3\left(1+b^2\right)}}={a\sqrt[3]{1+b^2}}$

Si no se conoce el signo de $a,$ una raíz par necesita el valor absoluto: ${\sqrt{a^2x}=|a|\sqrt x}.$ Radicales como $\sqrt{10},$ $\sqrt{15}$ y $\sqrt[3]{4}$ no tienen ningún factor que sea una potencia perfecta, así que ya están en su forma más simple.

Introducir un factor en el radical

La misma fórmula, leída de derecha a izquierda, introduce un coeficiente bajo el signo radical. Eleva el coeficiente a la potencia que indica el índice y escríbelo como factor del radicando.

• ${3\sqrt2=\sqrt{3^2\cdot 2}=\sqrt{18}}$
• ${2\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{2^3\cdot 5}=\sqrt[3]{40}}$
• ${a\sqrt[3]{x-b}=\sqrt[3]{a^3(x-b)}}$
• ${2ab\sqrt[3]{2ab^2}}={\sqrt[3]{8a^3b^3\cdot 2ab^2}}={\sqrt[3]{16a^4b^5}}$

De este modo, cualquier número positivo se puede escribir como un radical de cualquier índice: ${3=\sqrt9=\sqrt[3]{27}=\sqrt[4]{81}},$ ${3a=\sqrt[4]{81a^4}}$ y ${a^2=\sqrt[3]{a^6}}.$

Un coeficiente negativo se queda delante de una raíz par. ${-3\sqrt2=-\sqrt{18}}.$ Al elevar al cuadrado el $-3$ se perdería el signo menos y se obtendría el número positivo $\sqrt{18}.$ Lo mismo vale para una letra: si ${a\lt 0},$ entonces ${a\sqrt x=-\sqrt{a^2x}}.$

Cambio de índice. Índice común

Por la fórmula del cambio de índice, el índice de una raíz y el exponente de su radicando se pueden multiplicar o dividir por un mismo número:

• ${\sqrt[6]{a^3}=\sqrt a}$
• ${\sqrt[4]{9}=\sqrt[4]{3^2}=\sqrt3}$
• ${\sqrt[6]{8}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt2}$
• ${\sqrt[6]{a^4}=\sqrt[3]{a^2}}$

Es lo mismo que simplificar la fracción del exponente: ${a^{\frac36}=a^{\frac12}}.$

Solo cuando el radicando no es negativo. ${\sqrt[3]{-8}=-2},$ pero ${\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2}.$ Con un radicando negativo, saca primero el signo menos: ${\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}=-\sqrt[6]{8^2}}.$

Los radicales de índices distintos se pueden reducir a índice común. Usa el mínimo común múltiplo de los índices, exactamente igual que cuando buscas el denominador común de varias fracciones.

• $\sqrt a$ y $\sqrt[3]{b}$: el mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6, luego ${\sqrt a=\sqrt[6]{a^3}}$ y ${\sqrt[3]{b}=\sqrt[6]{b^2}}.$
• $\sqrt2$ y $\sqrt[3]{3}$ se convierten en ${\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}}$ y ${\sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{9}}.$
• $\sqrt[4]{a}$ y $\sqrt[6]{b}$ se convierten en $\sqrt[12]{a^3}$ y $\sqrt[12]{b^2}.$
• $\sqrt[3]{4}$ y $\sqrt[4]{5}$ se convierten en ${\sqrt[12]{4^4}=\sqrt[12]{256}}$ y ${\sqrt[12]{5^3}=\sqrt[12]{125}}.$

La raíz de un cuadrado perfecto

Cuando el radicando es el cuadrado de una suma o de una diferencia, la raíz se puede extraer exactamente. Aquí las letras pueden ser números reales cualesquiera, positivos o negativos, así que hace falta el valor absoluto. Recuerda las identidades ${(x+y)^2=x^2+2xy+y^2}$ y ${(x-y)^2=x^2-2xy+y^2}.$

• ${\sqrt{x^2+2x+1}}={\sqrt{(x+1)^2}}={|x+1|}$
• ${\sqrt{a^2+a+\frac14}}={\sqrt{\left(a+\frac12\right)^2}}={\left|a+\frac12\right|}$
• ${\sqrt{x^2-6bx+9b^2}}={\sqrt{(x-3b)^2}}={|x-3b|}$

Por ejemplo, ${x+1}$ puede ser negativo. Para ${x=-4}$ el radicando es ${16-8+1=9}$ y la raíz es 3, que es $|{-3}|.$

La misma idea permite eliminar una raíz que está dentro de otra raíz. Busca dos números cuya suma sea el término sin raíz y cuyo producto sea el número que está bajo la raíz interior, una vez escrita esa raíz con el coeficiente 2. Para ${3+2\sqrt2}$ los números son 1 y 2. Para ${7-4\sqrt3=7-2\sqrt{12}}$ son 4 y 3.

${\sqrt{3+2\sqrt2}}={\sqrt{1+2\sqrt2+2}}={\sqrt{\left(1+\sqrt2\right)^2}}={1+\sqrt2}$

${\sqrt{7-4\sqrt3}}={\sqrt{4-4\sqrt3+3}}={\sqrt{\left(2-\sqrt3\right)^2}}={\left|2-\sqrt3\right|}={2-\sqrt3}$

En el último paso, ${2-\sqrt3}$ es positivo, porque ${2=\sqrt4\gt\sqrt3}.$ Una raíz cuadrada nunca es negativa, así que el orden importa: ${\sqrt{\left(1-\sqrt2\right)^2}=\sqrt2-1}.$

Suma y resta de radicales

Los radicales que tienen el mismo índice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes. Por ejemplo, $2\sqrt3$ y $5\sqrt3$ son radicales semejantes, y también lo son $\sqrt[3]{x}$ y $-4\sqrt[3]{x}.$ Los radicales $\sqrt3$ y $\sqrt5$ no son semejantes (radicandos distintos), y tampoco lo son $\sqrt a$ y $\sqrt[3]{a}$ (índices distintos).

Dos veces la raíz de $a$ más tres veces la raíz de $a$ son cinco veces la raíz de $a,$ igual que ${2x+3x=5x}$:

${2\sqrt a+3\sqrt a=5\sqrt a}$

• ${2\sqrt3+5\sqrt3=7\sqrt3}$
• ${7\sqrt[3]{2}-4\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}}$
• ${\sqrt5+\sqrt5=2\sqrt5}$
• ${\sqrt{ay}-3\sqrt{ay}=-2\sqrt{ay}}$
• ${3\sqrt[3]{h}-\left(-5\sqrt[3]{h}\right)=8\sqrt[3]{h}}$
• ${a\sqrt{b-h}+y\sqrt{b-h}}={(a+y)\sqrt{b-h}}$
• ${5\sqrt2+3\sqrt7-2\sqrt2+\sqrt7}={3\sqrt2+4\sqrt7}$

Primero se simplifica

Radicales que parecen distintos pueden resultar semejantes después de simplificarlos.

• ${\sqrt8+\sqrt{50}}={2\sqrt2+5\sqrt2}={7\sqrt2}$
• ${\sqrt{50}-\sqrt8}={5\sqrt2-2\sqrt2}={3\sqrt2}$
• ${\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{48}}={2\sqrt3+3\sqrt3-4\sqrt3}={\sqrt3}$
• ${\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{54}}={2\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{2}}={5\sqrt[3]{2}}$
• ${\sqrt{16b}+\sqrt{4b}}={4\sqrt b+2\sqrt b}={6\sqrt b}$
• ${\sqrt{a^2x}+\sqrt{b^4x}}={a\sqrt x+b^2\sqrt x}={\left(a+b^2\right)\sqrt x}$
• ${\sqrt[3]{b^4y}-\sqrt[3]{by^4}}={b\sqrt[3]{by}-y\sqrt[3]{by}}={(b-y)\sqrt[3]{by}}$

Los radicales no semejantes no se pueden reducir a un solo radical. La suma ${3\sqrt b+2\sqrt a}$ se queda como está: no es $5\sqrt a,$ ni $5\sqrt b,$ ni $5\sqrt{a+b}.$ La suma ${\sqrt a+\sqrt[3]{a}}$ tampoco se puede simplificar. En particular, ${\sqrt2+\sqrt3\ne\sqrt5}$: el miembro izquierdo vale aproximadamente ${1{,}414+1{,}732=3{,}146},$ y ${\sqrt5\approx 2{,}236}.$

Multiplicación de radicales

• ${\sqrt3\cdot\sqrt5=\sqrt{15}}$
• ${\sqrt2\cdot\sqrt{18}=\sqrt{36}=6}$
• ${\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{27}=3}$
• ${\sqrt{8xb}\cdot\sqrt{2xb}}={\sqrt{16x^2b^2}}={4xb}$
• ${\sqrt{a+m}\cdot\sqrt{a-m}}={\sqrt{a^2-m^2}}$
• ${5\sqrt5\cdot 3\sqrt8}={15\sqrt{40}}={15\cdot 2\sqrt{10}}={30\sqrt{10}}$
• ${a\sqrt x\cdot b\sqrt x=ab\sqrt{x^2}=abx}$
• ${x\sqrt[3]{3}\cdot y\sqrt[3]{9}}={xy\sqrt[3]{27}}={3xy}$

Como muestran los ejemplos segundo y tercero, el producto de dos números irracionales puede ser un número entero. En particular, ${\sqrt a\cdot\sqrt a=a}$: por ejemplo, ${\sqrt7\cdot\sqrt7=7}.$

Radicales de índices distintos

Primero se reducen los radicales a índice común y después se multiplican los radicandos.

• ${\sqrt x\cdot\sqrt[3]{y}}={\sqrt[6]{x^3}\cdot\sqrt[6]{y^2}}={\sqrt[6]{x^3y^2}}$
• ${2\sqrt3\cdot 3\sqrt[3]{4}}={6\sqrt[6]{3^3}\cdot\sqrt[6]{4^2}}={6\sqrt[6]{27\cdot 16}}={6\sqrt[6]{432}}$
• ${\sqrt d\cdot\sqrt[3]{ab}}={\sqrt[6]{d^3}\cdot\sqrt[6]{a^2b^2}}={\sqrt[6]{a^2b^2d^3}}$

Las raíces de un mismo número se multiplican más fácilmente como potencias: se suman los exponentes.

• ${\sqrt a\cdot\sqrt[3]{a}}={a^{\frac12}\cdot a^{\frac13}}={a^{\frac56}}={\sqrt[6]{a^5}}$
• ${\sqrt2\cdot\sqrt[4]{2}}={2^{\frac12+\frac14}}={2^{\frac34}}={\sqrt[4]{8}}$
• ${x\cdot\sqrt[n]{x}=x^{1+\frac1n}=x^{\frac{n+1}{n}}}$

Sumas con radicales. Expresiones conjugadas

Los paréntesis se eliminan de la manera habitual: cada término de un factor se multiplica por cada término del otro.

${\sqrt2\left(\sqrt6+\sqrt8\right)}={\sqrt{12}+\sqrt{16}}={2\sqrt3+4}$

${\left(2+\sqrt3\right)\left(5-\sqrt3\right)}={10-2\sqrt3+5\sqrt3-3}={7+3\sqrt3}$

También sirven las identidades del cuadrado de una suma y del cuadrado de una diferencia:

${\left(a+\sqrt y\right)^2=a^2+2a\sqrt y+y}$

${\left(a-\sqrt y\right)^2=a^2-2a\sqrt y+y}$

${\left(\sqrt5+\sqrt2\right)^2}={5+2\sqrt{10}+2}={7+2\sqrt{10}}$

La identidad más útil es la diferencia de cuadrados. Las expresiones ${\sqrt a+\sqrt b}$ y ${\sqrt a-\sqrt b}$ se llaman conjugadas, y también lo son ${a+\sqrt b}$ y ${a-\sqrt b}.$ El producto de dos expresiones conjugadas no tiene radicales:

• ${\left(1+\sqrt2\right)\left(1-\sqrt2\right)}={1-2}={-1}$
• ${\left(3-2\sqrt2\right)\left(3+2\sqrt2\right)}={9-8}={1}$
• ${\left(\sqrt7+\sqrt3\right)\left(\sqrt7-\sqrt3\right)}={7-3}={4}$

División de radicales

• ${\frac{\sqrt{50}}{\sqrt2}=\sqrt{25}=5}$
• ${\frac{\sqrt{6a^3x}}{\sqrt{3x}}=\sqrt{2a^3}=a\sqrt{2a}}$
• ${\frac{10\sqrt{27}}{2\sqrt3}=5\sqrt9=15}$
• ${\frac{10\sqrt[3]{108}}{5\sqrt[3]{4}}=2\sqrt[3]{27}=6}$
• ${\frac{8\sqrt{108}}{2\sqrt6}=4\sqrt{18}=12\sqrt2}$
• ${\frac{24x\sqrt{ay}}{6\sqrt a}=4x\sqrt y}$

Los radicales de índices distintos se reducen primero a índice común:

• ${\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt b}=\frac{\sqrt[6]{a^2}}{\sqrt[6]{b^3}}=\sqrt[6]{\frac{a^2}{b^3}}}$
• ${\frac{2\sqrt[3]{bc}}{3\sqrt{ac}}}={\frac23\sqrt[6]{\frac{b^2c^2}{a^3c^3}}}={\frac23\sqrt[6]{\frac{b^2}{a^3c}}}$
• ${\frac{\sqrt[6]{x^3y^2}}{\sqrt[3]{y}}}={\frac{\sqrt[6]{x^3y^2}}{\sqrt[6]{y^2}}}={\sqrt[6]{x^3}}={\sqrt x}$

Las raíces de un mismo número se dividen más fácilmente como potencias: se restan los exponentes.

• ${\frac{\sqrt a}{\sqrt[6]{a}}=a^{\frac12-\frac16}=a^{\frac13}=\sqrt[3]{a}}$
• ${\frac{a^2}{\sqrt[3]{a}}=a^{2-\frac13}=a^{\frac53}=a\sqrt[3]{a^2}}$

Racionalizar el denominador

Es más cómodo trabajar con una fracción cuando no hay radicales en su denominador. Por ejemplo, ${\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}},$ y es mucho más fácil dividir entre 2 un número decimal de infinitas cifras, como la raíz cuadrada de 2, que dividir 1 entre ese número. Eliminar los radicales de un denominador se llama racionalizar el denominador. Multiplicamos el numerador y el denominador por un mismo número, de modo que el valor de la fracción no cambia.

1. El denominador es una raíz cuadrada. Multiplica el numerador y el denominador por esa raíz.

${\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\cdot\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}}$

${\frac{6}{\sqrt2}=\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2}$

${\frac{\sqrt a}{\sqrt x}=\frac{\sqrt a\cdot\sqrt x}{\sqrt x\cdot\sqrt x}=\frac{\sqrt{ax}}{x}}$

${\sqrt{\frac37}}={\frac{\sqrt3}{\sqrt7}}={\frac{\sqrt3\cdot\sqrt7}{\sqrt7\cdot\sqrt7}}={\frac{\sqrt{21}}{7}}$

2. El denominador es una raíz de índice mayor que 2. Multiplica por la raíz que convierte el radicando en una potencia $n$-ésima perfecta, porque ${\sqrt[n]{x}\cdot\sqrt[n]{x^{n-1}}=\sqrt[n]{x^n}=x}.$

${\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2^2}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

${\frac{6}{\sqrt[4]{5}}=\frac{6\sqrt[4]{5^3}}{\sqrt[4]{5}\cdot\sqrt[4]{5^3}}=\frac{6\sqrt[4]{125}}{5}}$

3. El denominador es una suma o una diferencia que contiene raíces cuadradas. Multiplica por la expresión conjugada del denominador. El denominador se convierte en una diferencia de cuadrados y las raíces desaparecen.

${\frac{\sqrt2}{3-\sqrt2}}={\frac{\sqrt2\left(3+\sqrt2\right)}{\left(3-\sqrt2\right)\left(3+\sqrt2\right)}}={\frac{3\sqrt2+2}{9-2}}={\frac{2+3\sqrt2}{7}}$

${\frac{4}{\sqrt7-\sqrt3}}={\frac{4\left(\sqrt7+\sqrt3\right)}{7-3}}={\sqrt7+\sqrt3}$

${\frac{a-\sqrt b}{a+\sqrt b}}={\frac{\left(a-\sqrt b\right)^2}{\left(a+\sqrt b\right)\left(a-\sqrt b\right)}}={\frac{a^2-2a\sqrt b+b}{a^2-b}}$   (para ${a^2\ne b}$)

Un ejemplo más difícil. Un denominador con tres raíces requiere dos pasos. Para la fracción $\frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt2-\sqrt3},$ agrupa primero las dos últimas raíces y multiplica por ${\sqrt{10}+\left(\sqrt2+\sqrt3\right)}$:

${\left(\sqrt{10}-\sqrt2-\sqrt3\right)}\cdot {\left(\sqrt{10}+\sqrt2+\sqrt3\right)}={10-\left(\sqrt2+\sqrt3\right)^2}={5-2\sqrt6}$

Después multiplica por la expresión conjugada ${5+2\sqrt6},$ porque ${\left(5-2\sqrt6\right)\left(5+2\sqrt6\right)}={25-24}={1}.$ Así,

${\frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt2-\sqrt3}}={\left(\sqrt{10}+\sqrt2+\sqrt3\right)\left(5+2\sqrt6\right)}$

A veces se necesita lo contrario, y se racionaliza el numerador de la misma manera: ${\frac{\sqrt a}{\sqrt x}=\frac{\sqrt a\cdot\sqrt a}{\sqrt x\cdot\sqrt a}=\frac{a}{\sqrt{ax}}}.$

Potencias y raíces de radicales

Potencias

• ${\left(\sqrt[3]{2}\right)^2=\sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4}}$
• ${\left(\sqrt3\right)^4=\sqrt{3^4}=3^2=9}$
• ${\left(2\sqrt3\right)^2=2^2\cdot 3=12}$
• ${\left(2\sqrt5\right)^3}={8\sqrt{5^3}}={8\cdot 5\sqrt5}={40\sqrt5}$
• ${\left(\sqrt[3]{b+x}\right)^3=b+x}$
• ${\left(3a\sqrt[3]{y}\right)^3=27a^3y}$
• ${\left(a\sqrt[n]{x}\right)^2=a^2\sqrt[n]{x^2}}$
• ${\left(\sqrt[6]{a}\right)^2=\sqrt[6]{a^2}=\sqrt[3]{a}}$

Raíces

• ${\sqrt{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[6]{a}}$
• ${\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\sqrt[6]{64}=2}$
• ${\sqrt{\sqrt x}=\sqrt[4]{x}}$ y ${\sqrt{\sqrt{\sqrt x}}=\sqrt[8]{x}}$
• ${\sqrt[3]{a\sqrt{xy}}=\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[6]{xy}}$

Cuando hay un coeficiente delante del radical interior, introdúcelo primero en ese radical:

${\sqrt{2\sqrt2}}={\sqrt{\sqrt{2^2\cdot 2}}}={\sqrt{\sqrt8}}={\sqrt[4]{8}}$

Los exponentes fraccionarios hacen el mismo trabajo sin ningún signo radical:

${\sqrt{a\sqrt[3]{a}}}={\left(a\cdot a^{\frac13}\right)^{\frac12}}={\left(a^{\frac43}\right)^{\frac12}}={a^{\frac23}}={\sqrt[3]{a^2}}$

Comparación de radicales

• El mismo índice. ${\sqrt7\lt\sqrt{10}}$ y ${\sqrt[3]{5}\gt\sqrt[3]{4}}.$
• Un número y un radical. ¿Cuál es mayor, 4 o $\sqrt{15}?$ Como ${4=\sqrt{16}},$ resulta ${4\gt\sqrt{15}}.$
• Coeficientes. ¿Cuál es mayor, $3\sqrt2$ o $2\sqrt5?$ Introduce los coeficientes en los radicales: ${3\sqrt2=\sqrt{18}}$ y ${2\sqrt5=\sqrt{20}}.$ Por tanto, ${3\sqrt2\lt 2\sqrt5}.$
• Índices distintos. ¿Cuál es mayor, $\sqrt2$ o $\sqrt[3]{3}?$ Usa el índice común 6: ${\sqrt2=\sqrt[6]{8}}$ y ${\sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{9}}.$ Por tanto, ${\sqrt2\lt\sqrt[3]{3}}.$
• Estimación. ${16\lt 20\lt 25},$ luego ${4\lt\sqrt{20}\lt 5}.$ Del mismo modo, ${27\lt 50\lt 64},$ luego ${3\lt\sqrt[3]{50}\lt 4}.$

Para un número mayor que 1, la raíz es menor que el número, y cuanto mayor es el índice, menor es la raíz: ${\sqrt{64}=8},$ ${\sqrt[3]{64}=4},$ ${\sqrt[6]{64}=2}.$ Para un número entre 0 y 1 ocurre lo contrario, y la raíz es mayor que el número: ${\sqrt{0{,}25}=0{,}5}.$

Gráficas de las funciones radicales

Gráfica de la raíz cuadrada

La función ${y=\sqrt x}$ está definida solo para ${x\ge 0},$ y sus valores no son negativos: ${y\ge 0}.$ La gráfica empieza en el punto ${(0,\ 0)}$ y sube siempre, así que la función es creciente. Pero sube cada vez más despacio: para subir de 0 a 1 necesita 1 unidad de $x;$ para subir de 1 a 2, 3 unidades más, y para subir de 2 a 3, otras 5.

La gráfica de ${y=\sqrt x}$ pasa por ${(0,\ 0)},$ ${(1,\ 1)},$ ${(4,\ 2)}$ y ${(9,\ 3)}.$

La gráfica es la mitad de una parábola de eje horizontal. La función ${y=\sqrt x}$ es la inversa de ${y=x^2}$ para ${x\ge 0}$: si ${y=x^2},$ entonces ${x=\sqrt y}.$ Por eso las dos gráficas son simétricas entre sí respecto de la recta ${y=x}.$

Las gráficas de ${y=x^2}$ para ${x\ge 0}$ y de ${y=\sqrt x}$ son simétricas entre sí respecto de la recta ${y=x}.$

Gráfica de la raíz cúbica

La función ${y=\sqrt[3]{x}}$ está definida para todo número real $x$ y toma todos los valores reales. Es creciente en toda la recta real, y es la inversa de ${y=x^3}.$ Como ${\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}},$ la gráfica es simétrica respecto al origen.

La gráfica de ${y=\sqrt[3]{x}}$ pasa por ${(-8,\ -2)},$ ${(-1,\ -1)},$ ${(0,\ 0)},$ ${(1,\ 1)}$ y ${(8,\ 2)}.$

Las gráficas de todas las raíces de índice par se parecen a la gráfica de $\sqrt x,$ y las de índice impar se parecen a la gráfica de $\sqrt[3]{x}.$ Toda gráfica ${y=\sqrt[n]{x}}$ pasa por los puntos ${(0,\ 0)}$ y ${(1,\ 1)}.$

Errores comunes

Error	Incorrecto	Correcto
La raíz de una suma se toma como la suma de las raíces	${\sqrt{9+16}=\sqrt9+\sqrt{16}=7}$	${\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5}$
Se suman radicales no semejantes	${\sqrt2+\sqrt3=\sqrt5}$	${\sqrt2+\sqrt3}$ no se puede simplificar. Solo se suman los radicales semejantes: ${2\sqrt3+5\sqrt3=7\sqrt3}$
Se dan dos valores para una raíz cuadrada	${\sqrt9=\pm 3}$	${\sqrt9=3}.$ Es la ecuación ${x^2=9}$ la que tiene dos soluciones, ${x=\pm 3}$
Se olvida el valor absoluto	${\sqrt{x^2}=x}$ para todo $x$	${\sqrt{x^2}=|x|}$
Una raíz par de un número negativo	${\sqrt{-16}=-4}$	$\sqrt{-16}$ no es un número real, mientras que ${-\sqrt{16}=-4}$
Se confunde la raíz cuadrada con la mitad del número	${\sqrt{16}=8}$	${\sqrt{16}=4},$ porque ${4^2=16}$
Se introduce un coeficiente en el radical sin elevarlo al cuadrado	${3\sqrt2=\sqrt6}$	${3\sqrt2=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}}$
Se intercambian el índice y la potencia en un exponente fraccionario	${8^{\frac23}=\sqrt{8^3}}$	${8^{\frac23}=\sqrt[3]{8^2}=4}$
Se pierde el término central al elevar una suma al cuadrado	${\left(\sqrt5+\sqrt2\right)^2=5+2=7}$	${\left(\sqrt5+\sqrt2\right)^2=7+2\sqrt{10}}$
Se suman los índices al multiplicar radicales	${\sqrt a\cdot\sqrt[3]{a}=\sqrt[5]{a^2}}$	${\sqrt a\cdot\sqrt[3]{a}=a^{\frac12+\frac13}=\sqrt[6]{a^5}}$

Ejercicios

Intenta resolverlos por tu cuenta y después abre la respuesta. Todas las letras representan números positivos, excepto en el ejercicio 15, donde $x$ es un número real cualquiera.

1. Calcula: a) $\sqrt{121};$ b) $\sqrt[3]{-64};$ c) $\sqrt[4]{81};$ d) $\sqrt[5]{\frac{1}{32}}.$

a) 11, porque ${11^2=121};$ b) $-4,$ porque ${(-4)^3=-64};$ c) 3, porque ${3^4=81};$ d) $\frac12,$ porque ${\left(\frac12\right)^5=\frac{1}{32}}.$

2. Calcula: a) $27^{\frac23};$ b) $16^{-\frac34};$ c) $0{,}04^{0{,}5};$ d) $32^{\frac35}.$

a) ${\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9};$ b) ${\frac{1}{\left(\sqrt[4]{16}\right)^3}=\frac{1}{2^3}=\frac18};$ c) ${\sqrt{0{,}04}=0{,}2};$ d) ${\left(\sqrt[5]{32}\right)^3=2^3=8}.$

3. ¿Entre qué dos números enteros consecutivos está cada raíz? a) $\sqrt{75};$ b) $\sqrt[3]{100}.$

a) ${64\lt 75\lt 81},$ luego ${8\lt\sqrt{75}\lt 9}.$ b) ${64\lt 100\lt 125},$ luego ${4\lt\sqrt[3]{100}\lt 5}.$

4. Escribe con signo radical: a) $a^{\frac35};$ b) $x^{-\frac12}.$ Escribe como potencia: c) $\sqrt[4]{b^3};$ d) $\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}};$ e) $\sqrt[6]{(a+b)^{-3}}.$

a) $\sqrt[5]{a^3};$ b) $\frac{1}{\sqrt x};$ c) $b^{\frac34};$ d) $y^{-\frac23};$ e) ${(a+b)^{-\frac36}=(a+b)^{-\frac12}}.$

5. Simplifica: a) $\sqrt{72};$ b) $\sqrt{300};$ c) $\sqrt[3]{250};$ d) $\sqrt[4]{162}.$

a) ${\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt2};$ b) ${\sqrt{100\cdot 3}=10\sqrt3};$ c) ${\sqrt[3]{125\cdot 2}=5\sqrt[3]{2}};$ d) ${\sqrt[4]{81\cdot 2}=3\sqrt[4]{2}}.$

6. Simplifica: a) $\sqrt{75a^4b^3};$ b) $\sqrt[3]{-125a^3x^6};$ c) $\sqrt{\frac{4a^4}{9x^2y^2}};$ d) $\sqrt[5]{\frac{32a^5x^{10}}{243}}.$

a) ${\sqrt{25a^4b^2\cdot 3b}=5a^2b\sqrt{3b}};$ b) $-5ax^2;$ c) $\frac{2a^2}{3xy};$ d) $\frac{2ax^2}{3}.$

7. Introduce el coeficiente en el radical: a) $5\sqrt3;$ b) $2\sqrt[3]{7};$ c) $-2\sqrt6.$ d) Escribe $ax^2$ como una raíz sexta.

a) ${\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{75}};$ b) ${\sqrt[3]{8\cdot 7}=\sqrt[3]{56}};$ c) ${-\sqrt{4\cdot 6}=-\sqrt{24}};$ d) $\sqrt[6]{a^6x^{12}}.$

8. Suma o resta: a) ${\sqrt{18a}+3\sqrt{2a}};$ b) ${3\sqrt{20}-\sqrt{45}+\sqrt{80}};$ c) ${\sqrt[3]{81}-\sqrt[3]{24}};$ d) ${\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{75}}.$

a) ${3\sqrt{2a}+3\sqrt{2a}=6\sqrt{2a}};$ b) ${6\sqrt5-3\sqrt5+4\sqrt5=7\sqrt5};$ c) ${3\sqrt[3]{3}-2\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{3}};$ d) ${2\sqrt3+3\sqrt3-5\sqrt3=0}.$

9. Multiplica: a) ${\sqrt6\cdot\sqrt{15}};$ b) ${2\sqrt3\cdot 5\sqrt{12}};$ c) ${\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{10}};$ d) ${\sqrt2\cdot\sqrt[3]{4}}.$

a) ${\sqrt{90}=3\sqrt{10}};$ b) ${10\sqrt{36}=60};$ c) ${\sqrt[3]{40}=2\sqrt[3]{5}};$ d) ${\sqrt[6]{2^3}\cdot\sqrt[6]{4^2}=\sqrt[6]{128}=2\sqrt[6]{2}}.$

10. Elimina los paréntesis: a) ${\left(3+\sqrt5\right)\left(3-\sqrt5\right)};$ b) ${\left(\sqrt7-2\right)^2};$ c) ${\left(\sqrt3+\sqrt2\right)\left(2\sqrt3-\sqrt2\right)};$ d) ${\left(a-\sqrt b\right)^3}.$

a) ${9-5=4};$ b) ${7-4\sqrt7+4=11-4\sqrt7};$ c) ${6-\sqrt6+2\sqrt6-2=4+\sqrt6};$ d) ${a^3-3a^2\sqrt b+3ab-b\sqrt b}.$

11. Divide: a) $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt2};$ b) $\frac{12\sqrt{30}}{4\sqrt6};$ c) $\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}};$ d) $\frac{\sqrt[6]{a^2b^2d^3}}{\sqrt d}.$

a) ${\sqrt{49}=7};$ b) $3\sqrt5;$ c) ${\sqrt[3]{27}=3};$ d) ${\frac{\sqrt[6]{a^2b^2d^3}}{\sqrt[6]{d^3}}=\sqrt[6]{a^2b^2}=\sqrt[3]{ab}}.$

12. Racionaliza el denominador: a) $\frac{10}{\sqrt5};$ b) $\frac{3}{\sqrt[3]{9}};$ c) $\frac{1}{\sqrt5+\sqrt3};$ d) $\frac{1+\sqrt2}{1-\sqrt2}.$

a) ${\frac{10\sqrt5}{5}=2\sqrt5};$ b) ${\frac{3\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{9}\cdot\sqrt[3]{3}}=\frac{3\sqrt[3]{3}}{3}=\sqrt[3]{3}};$ c) ${\frac{\sqrt5-\sqrt3}{5-3}=\frac{\sqrt5-\sqrt3}{2}};$ d) ${\frac{\left(1+\sqrt2\right)^2}{1-2}=-3-2\sqrt2}.$

13. Simplifica: a) ${\left(2\sqrt3\right)^4};$ b) $\sqrt{\sqrt[3]{x^{12}}};$ c) $\sqrt[3]{\sqrt{27}};$ d) $\sqrt{x\sqrt x}.$

a) ${16\cdot 9=144};$ b) ${\sqrt[6]{x^{12}}=x^2};$ c) ${\sqrt[6]{3^3}=\sqrt3};$ d) ${\sqrt{\sqrt{x^3}}=\sqrt[4]{x^3}}.$

14. ¿Qué número es mayor? a) $2\sqrt7$ o $3\sqrt3;$ b) $\sqrt[3]{3}$ o $\sqrt2;$ c) 5 o $\sqrt[3]{120}.$

a) ${2\sqrt7=\sqrt{28}}$ y ${3\sqrt3=\sqrt{27}},$ luego $2\sqrt7$ es mayor. b) ${\sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{9}}$ y ${\sqrt2=\sqrt[6]{8}},$ luego $\sqrt[3]{3}$ es mayor. c) ${5=\sqrt[3]{125}},$ luego 5 es mayor.

15. Simplifica: a) $\sqrt{x^2-10x+25};$ b) $\sqrt{11-6\sqrt2}.$

a) ${\sqrt{(x-5)^2}=|x-5|};$ b) ${\sqrt{9-6\sqrt2+2}}={\sqrt{\left(3-\sqrt2\right)^2}}={3-\sqrt2}.$ La diferencia ${3-\sqrt2}$ es positiva, porque ${3\gt\sqrt2}.$

16. Resuelve las ecuaciones: a) ${x^2=48};$ b) ${x^3=-54};$ c) ${x^4=81};$ d) ${x^2=-9}.$

a) ${x=\pm\sqrt{48}=\pm 4\sqrt3};$ b) ${x=\sqrt[3]{-54}=-3\sqrt[3]{2}};$ c) ${x=\pm\sqrt[4]{81}=\pm 3};$ d) no tiene soluciones reales, porque un cuadrado nunca es negativo.

17. Un cuadrado tiene un área de 50 centímetros cuadrados. Un cubo tiene un volumen de 54 centímetros cúbicos. Halla el lado del cuadrado y la arista del cubo.

El lado mide ${\sqrt{50}=5\sqrt2\approx 7{,}07}$ centímetros. La arista mide ${\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2}\approx 3{,}78}$ centímetros.

18. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 2 y 4. Halla la hipotenusa.

Por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa mide ${\sqrt{2^2+4^2}}={\sqrt{20}}={2\sqrt5}\approx{4{,}47}.$

19. Demuestra que ${\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}=2}.$

${4+2\sqrt3=\left(\sqrt3+1\right)^2}$ y ${4-2\sqrt3=\left(\sqrt3-1\right)^2}.$ Tanto ${\sqrt3+1}$ como ${\sqrt3-1}$ son positivos, así que la diferencia es ${\left(\sqrt3+1\right)-\left(\sqrt3-1\right)=2}.$

20. Resuelve las ecuaciones: a) ${\sqrt x=5};$ b) ${\sqrt x=-5};$ c) ${\sqrt[3]{x}=-2}.$

a) ${x=5^2=25};$ b) no tiene soluciones, porque una raíz cuadrada nunca es negativa; c) ${x=(-2)^3=-8}.$

Ver también: Valor absoluto