Operaciones con funciones

Los números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Con las funciones podemos hacer lo mismo, y el resultado es una nueva función. Además, hay una operación que los números no tienen: podemos poner una función dentro de otra. Esta operación se llama composición. Así, las funciones se pueden

• sumar: ${f+g};$
• restar: ${f-g};$
• multiplicar: ${f\cdot g};$
• dividir: $\frac fg;$
• componer: ${f\circ g}.$

Para cada operación mostramos cómo hallar la fórmula de la nueva función y, lo que es igual de importante, su dominio. Si necesitas repasar qué es una función y qué es su dominio, consulta la lección «Funciones y límites».

En esta página: Suma, resta, producto, cociente · Dominio de la nueva función · Gráfica de una suma · Potencias de una función · Composición · Dominio de una composición · Descomposición de una función · Problemas resueltos · Errores frecuentes · Ejercicios

Suma, resta, producto y cociente de funciones

Tomemos dos funciones, ${f(x)=x^2}$ y ${g(x)=x}.$ Para cada $x$ podemos sumar sus valores:

$$f(x)+g(x)=x^2+x$$

Así obtenemos una nueva función. Se llama suma de $f$ y $g$ y se escribe ${f+g}.$ Los paréntesis en ${(f+g)(x)}$ indican que ${f+g}$ es el nombre de una sola función, y ${(f+g)(x)}$ es su valor en $x.$ Del mismo modo se definen la resta (o diferencia), el producto y el cociente:

Ejemplo 1. Para ${f(x)=x^2}$ y ${g(x)=x}\text{:}$

${(f+g)(x)=x^2+x}$

${(f-g)(x)=x^2-x}$

${(f\cdot g)(x)=x^2\cdot x=x^3}$

${\left(\frac fg\right)(x)}={\frac{x^2}{x}}={x,\quad x}\ne{0}$

La condición ${x\ne 0}$ de la última línea no es un simple detalle: ${g(0)=0},$ y no se puede dividir entre 0. Volveremos a esto en el siguiente apartado.

Ejemplo 2. Sean ${f(x)=2x+1}$ y ${g(x)=x^2-3}.$ Para obtener un valor de la nueva función, primero se calculan los valores de $f$ y de $g,$ y después se combinan:

${(f+g)(2)}={f(2)+g(2)}={5+1}={6}$

${(f-g)(-1)}={f(-1)-g(-1)}={-1-(-2)}={1}$

${(f\cdot g)(0)}={f(0)\cdot g(0)}={1\cdot(-3)}={-3}$

${\left(\frac fg\right)(3)=\frac{f(3)}{g(3)}=\frac76}$

Producto por un número. Si $c$ es un número, ${(cf)(x)=c\cdot f(x)}.$ Por ejemplo, si ${f(x)=x^2},$ entonces ${(3f)(x)=3x^2}.$ Se trata del producto de $f$ por la función constante ${g(x)=c}.$

Dominio de la nueva función

Para calcular ${f(x)+g(x)}$ necesitamos los dos valores, $f(x)$ y $g(x).$ Por tanto, $x$ debe estar a la vez en el dominio de $f$ y en el dominio de $g.$ En el cociente hay una condición más: el denominador $g(x)$ no puede valer 0. Denotemos por $D(f)$ el dominio de $f$ y por $D(g)$ el dominio de $g.$

Ejemplo 3. Sean ${f(x)=1+\sqrt{x-2}}$ y ${g(x)=x-1}.$ Su suma es

${(f+g)(x)}={f(x)+g(x)}={\left(1+\sqrt{x-2}\right)+(x-1)}={x+\sqrt{x-2}}$

Ahora comparamos los dominios de $f,$ de $g$ y de su suma:

Función	Dominio
${f(x)=1+\sqrt{x-2}}$	${[2,\,+\infty)}$
${g(x)=x-1}$	${(-\infty,\,+\infty)}$
${(f+g)(x)=x+\sqrt{x-2}}$	${[2,\,+\infty)\cap(-\infty,\,+\infty)}$ ${{}=[2,\,+\infty)}$

Ejemplo 4. Sean ${f(x)=\sqrt{x+1}}$ y ${g(x)=x-3}.$ Entonces ${D(f)=[-1,\,+\infty)}$ y $D(g)$ son todos los números reales, así que la intersección es ${[-1,\,+\infty)}.$

• ${\left(\frac fg\right)(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-3}}\text{:}$ además quitamos ${x=3},$ donde ${g(x)=0}.$ El dominio es ${[-1,\,3)\cup(3,\,+\infty)}.$
• ${\left(\frac gf\right)(x)=\frac{x-3}{\sqrt{x+1}}}\text{:}$ ahora el denominador es $f(x),$ y ${f(x)=0}$ para ${x=-1}.$ El dominio es ${(-1,\,+\infty)}.$

Ejemplo 5. Sean ${f(x)=3\sqrt x}$ y ${g(x)=\sqrt x}.$ Su producto es

${(f\cdot g)(x)}={f(x)\cdot g(x)}={3\sqrt x\cdot\sqrt x}={3x}$

La fórmula $3x$ tiene sentido para todo $x$ real: el dominio natural de $3x$ es ${(-\infty,\,+\infty)}.$ Pero el producto ${f\cdot g}$ solo existe donde existen tanto $f$ como $g\text{:}$

Función	Dominio
${f(x)=3\sqrt x}$	${[0,\,+\infty)}$
${g(x)=\sqrt x}$	${[0,\,+\infty)}$
${(f\cdot g)(x)=3x},$ ${x\ge 0}$	${[0,\,+\infty)\cap[0,\,+\infty)}$ ${{}=[0,\,+\infty)}$

La gráfica de ${f\cdot g}$ es solo la semirrecta ${y=3x},$ ${x\ge 0},$ y no toda la recta.

Primero halla el dominio a partir de $f$ y $g,$ y después simplifica la fórmula. La fórmula simplificada puede ocultar las condiciones que $f$ y $g$ imponen a $x.$

La gráfica de una suma

Para cada $x,$ el valor de ${f+g}$ es ${f(x)+g(x)}.$ En las gráficas esto significa que la altura de la gráfica de ${f+g}$ es la suma de las alturas de las gráficas de $f$ y $g.$ Estas son las gráficas de ${f(x)=x^2},$ ${g(x)=x}$ y de su suma ${(f+g)(x)=x^2+x}\text{:}$

Para ${x=2}\text{:}$ ${f(2)+g(2)=4+2=6}.$ Para ${x=-2}\text{:}$ ${f(-2)+g(-2)}={4+(-2)}={2.}$ Los segmentos verdes representan $g(x)\text{:}$ en ${x=2}$ sumamos 2 (hacia arriba), y en ${x=-2}$ sumamos ${-2}$ (hacia abajo).

Donde $g(x)$ es positivo, la gráfica de ${f+g}$ queda por encima de la gráfica de $f;$ donde $g(x)$ es negativo, queda por debajo. La gráfica de ${f-g}$ se dibuja del mismo modo, restando las alturas.

Potencias de una función

El producto de una función por sí misma se escribe como una potencia:

$$f^2(x)=f(x)\cdot f(x)=\bigl(f(x)\bigr)^2$$

En general, si $n$ es un número entero positivo, entonces

$$f^n(x)=\underbrace{f(x)\cdot f(x)\cdot\ldots\cdot f(x)}_{n\text{ factores}}$$

Por ejemplo, ${\operatorname{sen}x\cdot\operatorname{sen}x}={(\operatorname{sen}x)^2,}$ que se escribe $\operatorname{sen}^2x.$ Si ${f(x)=x+1},$ entonces ${f^3(x)=(x+1)^3}.$

${\operatorname{sen}^2x=(\operatorname{sen}x)^2}$ no es lo mismo que $\operatorname{sen}(x^2).$ Para ${f(x)=x+1}\text{:}$ ${f^2(x)=(x+1)^2},$ pero ${f(x^2)=x^2+1}.$
El exponente ${-1}$ es una excepción: ${f^{-1}}$ suele indicar la función inversa (consulta la calculadora de función inversa), y no $\frac1f.$

Composición de funciones

Tomemos dos funciones

$$f(x)=x^3\quad\text{y}\quad g(x)=x+4$$

Si escribimos $g(x)$ en lugar de $x$ en la fórmula de $f,$ obtenemos una nueva función:

$$f(g(x))=\bigl(g(x)\bigr)^3=(x+4)^3$$

Imagina dos máquinas, una detrás de otra: el número $x$ entra en $g,$ y lo que sale, $g(x),$ entra en $f.$

Con ${f(x)=x^3}$ y ${g(x)=x+4}\text{:}$

${(f\circ g)(1)}={f(g(1))}={f(5)}={5^3}={125}$

La fórmula da lo mismo: ${(1+4)^3=125}.$ Calcula de dentro hacia fuera: primero $g(1),$ y después $f$ de ese número.

El orden importa

Con las mismas dos funciones, la composición en el otro orden es

${(g\circ f)(x)}={g(f(x))}={f(x)+4}={x^3+4}$

Es una función distinta: ${(f\circ g)(1)=125},$ pero ${(g\circ f)(1)=1^3+4=5}.$

Para algunos pares de funciones, los dos órdenes dan la misma función. Por ejemplo, si ${f(x)=2x}$ y ${g(x)=3x},$ entonces ${f(g(x))=2\cdot 3x=6x}$ y ${g(f(x))=3\cdot 2x=6x}.$ Pero esto es una excepción, así que comprueba siempre cuál es la función interior.

Composición de una función consigo misma. Si ${f(x)=2x+1},$ entonces

${(f\circ f)(x)}={f(f(x))}={2(2x+1)+1}={4x+3}$

No confundas $f(f(x))$ con ${f^2(x)}={\bigl(f(x)\bigr)^2}={(2x+1)^2.}$

El dominio de una composición

Para calcular $f(g(x)),$ primero calculamos $g(x),$ así que $x$ debe estar en el dominio de $g.$ Después calculamos el valor de $f$ en el número $g(x),$ así que $g(x)$ debe estar en el dominio de $f.$

Ejemplo 6. Sean ${f(x)=x^2+3}$ y ${g(x)=\sqrt x}.$ Entonces

${(f\circ g)(x)}={f(g(x))}={\bigl(g(x)\bigr)^2+3}={\left(\sqrt x\right)^2+3}={x+3}$

Comparamos los dominios de $f,$ de $g$ y de su composición:

Función	Dominio
${f(x)=x^2+3}$	${(-\infty,\,+\infty)}$
${g(x)=\sqrt x}$	${[0,\,+\infty)}$
${(f\circ g)(x)=x+3},$ ${x\ge 0}$	todos los $x$ de ${[0,\,+\infty)}$ tales que $g(x)$ está en ${(-\infty,\,+\infty)},$ es decir, ${[0,\,+\infty)}$

La fórmula ${x+3}$ por sí sola permitiría cualquier $x,$ pero ${f\circ g}$ empieza con $\sqrt x,$ que exige ${x\ge 0}.$ Por tanto, ${(f\circ g)(x)=x+3}$ solo para ${x\ge 0}.$

Ejemplo 7. Sean ${f(x)=\frac1{x-2}}$ y ${g(x)=\sqrt x}.$

• ${(f\circ g)(x)=\frac1{\sqrt x-2}}.$ Necesitamos ${x\ge 0}$ (por $g$) y ${g(x)\ne 2}$ (por $f$), es decir, ${\sqrt x\ne 2},$ así que ${x\ne 4}.$ El dominio es ${[0,\,4)\cup(4,\,+\infty)}.$
• ${(g\circ f)(x)=\sqrt{\frac1{x-2}}}.$ Necesitamos ${x\ne 2}$ (por $f$) y ${f(x)\ge 0}$ (por $g$), es decir, ${\frac1{x-2}\ge 0},$ así que ${x-2\gt 0}.$ El dominio es ${(2,\,+\infty)}.$

Observa que el dominio de ${f\circ g}$ no es simplemente ${D(f)\cap D(g)}\text{:}$ aquí ${D(f)\cap D(g)}={[0,\,2)\cup(2,\,+\infty),}$ pero ${x=2}$ sí está permitido en ${f\circ g}$ (el denominador ${\sqrt2-2}$ no es 0), y ${x=4}$ no lo está.

Descomposición de una función

A menudo necesitamos lo contrario: escribir una función dada como composición de funciones más sencillas. Pregúntate qué se le hace primero a $x$ (esa es la función interior) y qué se hace al final (esa es la función exterior).

Ejemplo 8. Consideremos la función

$$h(x)=(x+1)^2$$

Primero sumamos 1 a $x,$ y después elevamos el resultado al cuadrado. Por tanto, podemos descomponer $h$ como sigue:

${g(x)}={x+1,\quad f(x)}={x^2,\quad h(x)}={f(g(x))}$

Ejemplo 9. ${\sqrt{3x-5}=f(g(x))},$ donde ${g(x)=3x-5}$ y ${f(x)=\sqrt x}.$ Del mismo modo, ${\frac1{x^2+1}=f(g(x))},$ donde ${g(x)=x^2+1}$ y ${f(x)=\frac1x}.$

La descomposición no es única. Lo más natural es escribir ${(x^2+1)^{10}}$ como $f(g(x))$ con ${g(x)=x^2+1}$ y ${f(x)=x^{10}}.$ Pero también podemos escribir

${(x^2+1)^{10}}={\Bigl[(x^2+1)^2\Bigr]^5}={f(g(x)),\quad g(x)}={(x^2+1)^2,\quad f(x)}={x^5}$

o incluso

${(x^2+1)^{10}}={\Bigl[(x^2+1)^3\Bigr]^{10/3}}={f(g(x)),\quad g(x)}={(x^2+1)^3,\quad f(x)}={x^{10/3}}$

(Una potencia con exponente fraccionario, como $x^{10/3},$ solo se usa para ${x\ge 0}.$ Aquí no hay ningún problema, porque ${g(x)=(x^2+1)^3\ge 1}.$)

Hallar la función interior y la exterior es el primer paso de la regla de la cadena para calcular derivadas.

Problemas resueltos

Problema 1. Sean ${f(x)=x^2-4}$ y ${g(x)=x+2}.$ Halla ${f+g},$ ${f-g},$ ${f\cdot g}$ y $\frac fg,$ así como sus dominios.

Solución: Tanto $f$ como $g$ están definidas para todos los números reales.

${(f+g)(x)}={x^2-4+x+2}={x^2+x-2}$

${(f-g)(x)}={x^2-4-(x+2)}={x^2-x-6}$

${(f\cdot g)(x)}={(x^2-4)(x+2)}={x^3+2x^2-4x-8}$

El dominio de estas tres funciones es el conjunto de todos los números reales. En el cociente quitamos ${x=-2},$ donde ${g(x)=0}\text{:}$

${\left(\frac fg\right)(x)}={\frac{x^2-4}{x+2}}={\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}}={x-2,\quad x}\ne{-2}$

Su dominio es ${(-\infty,\,-2)\cup(-2,\,+\infty)}.$

Problema 2. Sean ${f(x)=\sqrt{x-1}}$ y ${g(x)=\sqrt{5-x}}.$ Halla los dominios de ${f+g}$ y $\frac fg.$

Solución: ${D(f)=[1,\,+\infty)}$ y ${D(g)=(-\infty,\,5]}.$ Su intersección es $[1,\,5],$ y este es el dominio de ${f+g}.$ En $\frac fg$ quitamos además el cero de $g\text{:}$ ${\sqrt{5-x}=0}$ para ${x=5}.$ El dominio de $\frac fg$ es $[1,\,5).$

Problema 3. Sean ${f(x)=x^2+1}$ y ${g(x)=2x-3}.$ Halla ${(f\circ g)(x)},$ ${(g\circ f)(x)},$ ${(f\circ g)(2)}$ y ${(g\circ f)(2)}.$

Solución:

${(f\circ g)(x)}={f(2x-3)}={(2x-3)^2+1}={4x^2-12x+10}$

${(g\circ f)(x)}={g(x^2+1)}={2(x^2+1)-3}={2x^2-1}$

${(f\circ g)(2)}={f(g(2))}={f(1)}={2}$ y ${(g\circ f)(2)}={g(f(2))}={g(5)}={7.}$ Las fórmulas dan lo mismo: ${4\cdot 2^2-12\cdot 2+10=2}$ y ${2\cdot 2^2-1=7}.$

Problema 4. Sea ${f(x)=2x-3}.$ Halla $f(f(x))$ y $f(f(f(x))).$

Solución:

${f(f(x))}={2(2x-3)-3}={4x-9}$

${f(f(f(x)))}={2(4x-9)-3}={8x-21}$

Problema 5. Sean ${f(x)=\sqrt x}$ y ${g(x)=4-x^2}.$ Halla ${f\circ g}$ y ${g\circ f}$ junto con sus dominios.

Solución: ${(f\circ g)(x)=\sqrt{4-x^2}}.$ Necesitamos ${4-x^2\ge 0},$ es decir, ${x^2\le 4},$ así que el dominio es ${[-2,\,2]}.$
${(g\circ f)(x)}={4-\left(\sqrt x\right)^2}={4-x.}$ La fórmula ${4-x}$ está definida para cualquier número real, pero primero calculamos $\sqrt x,$ así que el dominio es ${[0,\,+\infty)}.$

Problema 6. Las funciones $f$ y $g$ están dadas por una tabla. Halla $f(g(1)),$ $g(f(1)),$ $f(f(2))$ y ${(f+g)(3)}.$

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$3$	$1$	$4$	$2$
$g(x)$	$2$	$4$	$1$	$3$

Solución: Calculamos de dentro hacia fuera. ${f(g(1))=f(2)=1};$   ${g(f(1))=g(3)=1};$   ${f(f(2))=f(1)=3};$   ${(f+g)(3)}={f(3)+g(3)}={4+1}={5.}$

Problema 7. Escribe en la forma $f(g(x))\text{:}$ a) ${h(x)=\sqrt{x^2+9}};$   b) ${k(x)=\frac1{(x+5)^2}}.$

Solución: a) Primero ${x^2+9},$ y después la raíz cuadrada: ${g(x)=x^2+9},$ ${f(x)=\sqrt x}.$
b) Primero ${x+5},$ y después $\frac1{(\ldots)^2}\text{:}$ ${g(x)=x+5},$ ${f(x)=\frac1{x^2}}.$

Problema 8. Sea ${f(x)=x+3}.$ Halla una función $g$ tal que ${(f\circ g)(x)=x^2+1}.$

Solución: ${(f\circ g)(x)}={f(g(x))}={g(x)+3.}$ Por tanto, ${g(x)+3=x^2+1},$ de donde ${g(x)=x^2-2}.$

Problema 9. Sean ${f(x)=x^2}$ y ${g(x)=\operatorname{sen}x}.$ Halla ${(f\circ g)(x)}$ y ${(g\circ f)(x)}.$

Solución: ${(f\circ g)(x)}={f(\operatorname{sen}x)}={(\operatorname{sen}x)^2}={\operatorname{sen}^2x,}$ y ${(g\circ f)(x)}={g(x^2)}={\operatorname{sen}(x^2).}$ Son dos funciones distintas.

Problema 10. Sean ${f(x)=x^2-2x}$ y ${g(x)=x+1}.$ Resuelve la ecuación ${f(g(x))=0}.$

Solución:

${f(g(x))}={(x+1)^2-2(x+1)}={x^2+2x+1-2x-2}={x^2-1}$

De ${x^2-1=0}$ obtenemos ${x=1}$ o ${x=-1}.$

Errores frecuentes

Error	Incorrecto	Correcto
Confundir el producto ${f\cdot g}$ con la composición	${f(x)=x+1},$ ${g(x)=x^2}\text{:}$ ${(f\cdot g)(x)=x^2+1}$	${(f\cdot g)(x)}={(x+1)x^2}={x^3+x^2}$
Invertir el orden de la composición	${f(x)=x^3},$ ${g(x)=x+4}\text{:}$ ${(f\circ g)(x)=x^3+4}$	${(f\circ g)(x)}={f(g(x))}={(x+4)^3}$
Olvidar los paréntesis al restar	${f(x)=x^2},$ ${g(x)=x-3}\text{:}$ ${(f-g)(x)=x^2-x-3}$	${(f-g)(x)}={x^2-(x-3)}={x^2-x+3}$
Dejar los ceros de $g$ en el dominio de $\frac fg$	${f(x)=x},$ ${g(x)=x-2}\text{:}$ el dominio de $\frac fg$ son todos los números reales	Todos los números reales excepto 2
Hallar el dominio a partir de la fórmula simplificada	${3\sqrt x\cdot\sqrt x=3x},$ así que el dominio son todos los números reales	El dominio es ${[0,\,+\infty)}$
Hallar el dominio de ${f\circ g}$ a partir de la fórmula final	${f(x)=x^2+3},$ ${g(x)=\sqrt x}\text{:}$ ${f(g(x))=x+3},$ dominio: todos los números reales	El dominio es ${[0,\,+\infty)}$
Confundir $\operatorname{sen}^2x$ con $\operatorname{sen}(x^2)$	${\operatorname{sen}^2x=\operatorname{sen}(x^2)}$	${\operatorname{sen}^2x=(\operatorname{sen}x)^2}$

Ejercicios

Inténtalo primero y después abre la respuesta.

1. Sean ${f(x)=3x+2}$ y ${g(x)=x^2}.$ Halla ${(f+g)(x)},$ ${(f-g)(x)}$ y ${(f\cdot g)(x)}.$

${(f+g)(x)=x^2+3x+2},$ ${(f-g)(x)}={-x^2+3x+2,}$ ${(f\cdot g)(x)=3x^3+2x^2}.$

2. Sean ${f(x)=x+5}$ y ${g(x)=x-1}.$ Halla ${(f+g)(2)},$ ${(f\cdot g)(-1)}$ y $\left(\frac fg\right)(3).$

${(f+g)(2)=7+1=8},$ ${(f\cdot g)(-1)}={4\cdot(-2)}={-8,}$ ${\left(\frac fg\right)(3)=\frac82=4}.$

3. Halla el dominio de $\frac fg$ para ${f(x)=x+1}$ y ${g(x)=x^2-4}.$

${g(x)=0}$ para ${x=2}$ y para ${x=-2}.$ El dominio es ${(-\infty,\,-2)\cup(-2,\,2)\cup}$ ${(2,\,+\infty)}.$

4. Halla el dominio de ${f+g}$ para ${f(x)=\sqrt x}$ y ${g(x)=\frac1{x-3}}.$

${D(f)=[0,\,+\infty)},$ y $D(g)$ son todos los números reales excepto 3. El dominio es ${[0,\,3)\cup(3,\,+\infty)}.$

5. Sean ${f(x)=x^2}$ y ${g(x)=x-5}.$ Halla ${(f\circ g)(x)}$ y ${(g\circ f)(x)}.$

${(f\circ g)(x)}={(x-5)^2}={x^2-10x+25,}$ ${(g\circ f)(x)=x^2-5}.$

6. Sean ${f(x)=2x-1}$ y ${g(x)=x^2+3}.$ Halla ${(f\circ g)(1)}$ y ${(g\circ f)(1)}.$

${(f\circ g)(1)=f(4)=7},$ ${(g\circ f)(1)=g(1)=4}.$

7. Sean ${f(x)=x+2}$ y ${g(x)=x-5}.$ ¿Es cierto que ${f\circ g=g\circ f}?$

Sí: ${f(g(x))}={(x-5)+2}={x-3}$ y ${g(f(x))}={(x+2)-5}={x-3.}$

8. Sea ${f(x)=3x-2}.$ Halla ${(f\circ f)(x)}.$

${(f\circ f)(x)}={3(3x-2)-2}={9x-8.}$

9. Halla el dominio de ${f\circ g}$ para ${f(x)=\sqrt x}$ y ${g(x)=x-7}.$

${(f\circ g)(x)=\sqrt{x-7}},$ así que necesitamos ${x-7\ge 0}.$ El dominio es ${[7,\,+\infty)}.$

10. Halla el dominio de ${f\circ g}$ para ${f(x)=\frac1x}$ y ${g(x)=x^2-9}.$

${(f\circ g)(x)=\frac1{x^2-9}},$ así que necesitamos ${g(x)\ne 0},$ es decir, ${x\ne 3}$ y ${x\ne -3}.$ El dominio es ${(-\infty,\,-3)\cup(-3,\,3)\cup}$ ${(3,\,+\infty)}.$

11. Escribe ${h(x)=(5x+2)^4}$ y ${k(x)=\frac1{x^2+4}}$ en la forma $f(g(x)).$

$h\text{:}$ ${g(x)=5x+2},$ ${f(x)=x^4}.$   $k\text{:}$ ${g(x)=x^2+4},$ ${f(x)=\frac1x}.$

12. Sea ${f(x)=2x+3}.$ Halla $g$ si ${(f\circ g)(x)=6x-1}.$

${2g(x)+3=6x-1},$ de donde ${g(x)=3x-2}.$

Lección anterior: Funciones y límites.