Dominio y rango

Autor: Sepehr Hassannejad

Parte 2

Definición:
El conjunto de primeros componentes de pares de elementos de $f$ se denomina dominio y el conjunto de los segundos componentes se llama rango. El dominio y rango de una función se denota como $D_f$ y $R_f$ respectivamente.
Hablando en términos matemáticos

$D_f=\lbrace x |(x,y) \in f \rbrace$
$R_f= \lbrace y | (x,y) \in f \rbrace $

Ejemplo:
Sea $f=\lbrace (1,-1),(3,3),(7,-1),(5,3) \rbrace$. Determine $D_f$ y $R_f$.
Solución:

$D_f=\lbrace 1,3,5,7 \rbrace$
$R_f= \lbrace -1,3 \rbrace$

Ejemplo:
Si $D_f=R_f=\lbrace 1,2,3 \rbrace$, entonces ¿cuántas funciones diferentes se pueden formar con este dominio y el rango?
Solución:

$f=\lbrace (1, \bigcirc ),(2 , \bigcirc),(3,\bigcirc) \rbrace$

La primera posición se puede llenar con 1 o 2 o 3, por lo tanto, hay tres formas diferentes de llenar la primera. La segunda y la tercera posición también pueden llenarse de tres maneras diferentes. Por lo tanto hay $ 3 \times 3 \times 3=27$ formas en total. Esto significa que se pueden formar 27 funciones diferentes con ese $D_f$ y $R_f$. Algunos de ellos están escritos a continuación. También se puede probar obteniendo todas las soluciones posibles.

$f_1 = \lbrace (1,1),(2,2),(3,3) \rbrace$
$f_2 = \lbrace (1,1),(2,1),(3,1) \rbrace$
$f_3 = \lbrace (1,1),(2,3),(3,2) \rbrace$

Métodos prácticos para encontrar el dominio y rango de funciones reales

Si $f$ se define con un conjunto de pares ordenados o un cuadro (tabla), entonces el dominio y el rango están claramente determinados.

Ejemplo:
Determinar el dominio y rango de $f=\lbrace (1,4),(2,5),(3,6) \rbrace$.
Solución:

$D_f=\lbrace 1,2,3 \rbrace \,\,,\,\, R_f= \lbrace 4,5,6 \rbrace$

Matemáticamente

$D_f= \lbrace x | x \in \mathbb{N} , 1 \leq x \leq 3 \rbrace$

$R_f= \lbrace x | x \in \mathbb{N} , 4 \leq x \leq 6 \rbrace$

Ejemplo:
Determinar el dominio y rango de
$f=\lbrace (1,1),(2,3),(3,5),(4,7),(5,9),(6,11),(7,1),(8,7),(9,8),(10,9),(11,10) \rbrace$.
Luego defina la función.
Solución:

$D_f=\lbrace 1,2,3 , \cdots ,11 \rbrace = \lbrace x| x \in \mathbb{N} , x \leq 11 \rbrace$

$R_f= \lbrace 1,3,5,7,8,9,10,11 \rbrace$

$f(x)= \begin{cases} 2x-1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x \leq 6 \,\,\,\, x \in \mathbb{N}\\ 1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x=7\\ x-1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 1 \leq x \leq 8 \,\,\,\, x \in \mathbb{N} \end{cases}$

Ejemplo:
Determine el dominio y el rango de la siguiente función por intervalos. Luego trate de definirlos con conjuntos de pares y finalmente haga un bosquejo de la gráfica.

$f(x)= \begin{cases} 1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x>0\\ 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x=0\\ -1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x<0 \end{cases}$

Solución:
Es obvio que

$D_f= \mathbb{R} \,\,,\,\, R_f= \lbrace -1,0,1 \rbrace $

$f(x)=f_1 \cup f_2 \cup f_3= \begin{cases} f_1 = \lbrace (x,y) | x \in \mathbb{R^+} \,\,,\,\, y=1 \rbrace \\ f_2 = \lbrace (0,0) \rbrace \\ f_3 = \lbrace (x,y) | x \in \mathbb{R^-} \,\,,\,\, y=-1 \rbrace \end{cases}$

Tip:
Esta función también se llama función signo y se denota por $\textit{Sgn(x)}$.

$Sgn(x)= \begin{cases} 1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x>0 \\ 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x=0 \\ -1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x<0 \end{cases}$

Ejercicios

Determinar el dominio y rango de las funciones.
1) $f(x)= \begin{cases} 3 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x>1 \\ 1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x=1 \\ -3 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x<1 \end{cases}$

2) $g(x)= \begin{cases} -1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x<0 \\ 1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x>0 \end{cases} $

3) $h(x)= \begin{cases} -2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-2 < x \leq 2 \\ \sqrt{2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x=5 \\ -3 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x>4 \end{cases} $

4)$k(x)= \begin{cases} 1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x\geq 2 \\ 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x < 0 \end{cases}$

Función polinómica

Definición:
$f$ se llama función polinómica si y solo si por cada valor real $x$ ($x \in \mathbb{R}$)

$f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{x-1}+\cdots+a_1 x+a_0 \,\,\,\,\,\,\,\, n \in \mathbb{N} \cup \lbrace 0 \rbrace$

Los valores reales $a_0,a_1,\cdots,a_n$ se denominan coeficientes del polinomio y el valor entero no negativo $n$ siempre que $a_n \neq 0$ se denomina grado del polinomio.
El dominio de una función polinómica es $\mathbb{R}$. Para determinar el rango de una función polinómica, primero se debe resolver la ecuación en términos de $y$, lo cual significa que $x$ debe estar en un lado de la ecuación y los números constantes y $y$ deben estar del otro lado. Entonces es fácil encontrar el rango de la función usando algunas reglas.

Tip:
En la mayoría de los casos si $ n \geq 5$, entonces no es fácil encontrar el rango de una función polinómica

Ejemplo:
Determinar el dominio y rango de $f(x)=x^2+1$.
Solución:
Está claro que $D_f=\mathbb{R}$. Por otra parte

$y=x^2+1 \Rightarrow y-1=x^2 \geq 0 \Rightarrow y-1 \geq 0 \Rightarrow y \geq 1 \Rightarrow R_f=[1,+\infty)$

Además la gráfica de la función es

Ejemplo:
Determinar el dominio y rango de $f(x)=-x^2+1$.
Solución:
Está claro que $D_f=\mathbb{R}$. También observe que

$y=-x^2+1 \Rightarrow x^2=1-y \Rightarrow x=\pm \sqrt{1-y} \Rightarrow 1-y \geq 0 \Rightarrow y \leq 1 \Rightarrow$

$R_f=(-\infty,1]$

Además la gráfica de la función es

Ejemplo:
Determinar el dominio y rango de $f(x)=x^4-2x^2+4$.
Solución:
Tal como se dijo $D_f=\mathbb{R}$

$y=x^4-2x^2+4 \Rightarrow x^4-2x^2+4-y=0 \\ \Rightarrow x^2= \dfrac{2 \pm \sqrt{4-4(4-y)}}{2}=1 \pm \sqrt{1-(4-y)} \Rightarrow x=\pm \sqrt{1 \pm \sqrt{y-3}}$

Considere que

$\begin{cases} y-3 \geq 0 \Rightarrow 3 \leq y \Rightarrow R_1=[-3,\infty) \\ 1-\sqrt{y-3} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{y-3} \leq 1 \Rightarrow 0 \leq y-3 \leq 1 \Rightarrow 3 \leq y \leq 4 \Rightarrow R_2=[3,4] \end{cases}$

Por lo tanto

$R_f=R_1 \cup R_2=[3,+\infty)$

Además la gráfica de la función es

Ejercicios

Determinar el dominio y rango de las funciones.

1)$y=-x^2+2$
2)$y=x^2+6x+1$
3)$y=x^3+6x^2+3x+1$
4)$y=-x^4+2x^2+1$
5)$y=x^5-5x+1$
6)$y=x^{10}+10x+2$
7)$y=x^{100}-100x+99$
8)$y=x^{101}+7x+4$

Función fraccionaria

Definición:
Una función fraccionaria cuyo denominador y numerador son polinomios se llama función racional.
El dominio de una función fraccionaria son todos los números reales excepto las raíces del denominador de la fracción.
La forma general de una función fraccionaria es

$f(x)=\dfrac{a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0}{b_nx^n+\cdots+b_1x+b_0}=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$

$D_f=\mathbb{R} - \lbrace x| Q(x)=0 \rbrace$

Ejemplo:
Determinar el dominio y rango de $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}$.
Solución:
Primero se deben encontrar las raíces del denominador.

$x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm 1$

Por lo tanto el dominio de la función es

$D_f=\mathbb{R}- \lbrace \pm 1 \rbrace$

Por otro lado

$y(x^2-1)=x^2+1 \Rightarrow yx^2-x^2=y+1 \Rightarrow x^2=\dfrac{y+1}{y-1} \\ \Rightarrow x= \pm \sqrt{\dfrac{y+1}{y-1}} \Rightarrow \dfrac{y+1}{y-1} \geq 0 \\ \Rightarrow y \leq -1 \,\, o \,\, y > 1 \Rightarrow R_f=(-\infty,-1] \cup (1,+\infty).$

Esta es la gráfica de $f$

Ejemplo:
Determinar el dominio y rango de $y=\dfrac{x^2+3x-4}{x^2-2x+1}$.
Solución:

$x^2-2x+1=0 \Rightarrow (x-1)^2=0 \Rightarrow x=1 \Rightarrow D_f=\mathbb{R}-\lbrace 1 \rbrace$

Por otra parte

$y=\dfrac{x^2+3x-4}{(x-1)^2}=\dfrac{x+4}{x-1} \Rightarrow xy-y=x+4 \Rightarrow x=\dfrac{y+4}{y-1} \Rightarrow R_f=\mathbb{R}- \lbrace 1 \rbrace$

Además la gráfica de la función es

Ejemplo:
Determinar el dominio y rango de $f(x)=\dfrac{x^3+3x^2+2x}{x(x+1)(x^2-4)}$
Solución:
Las raíces del denominador son

$x(x+1)(x^2-4)=0 \Rightarrow x=0 \,\,,\,\, x=-1 \,\,,\,\, x= \pm 2 \Rightarrow D_f=\mathbb{R}-\lbrace 0,-1 , \pm 2 \rbrace$

Después de simplificar la función, sería

$f(x)=\dfrac{1}{x-2}$

Por otro lado para definir el rango de $f$, se debe determinar el valor de la función en cada punto $x=0\,\,,\,\,x=-1 \,\,,\,\, x=-2$.

$f(0)=-\dfrac{1}{2} \,\,,\,\, f(-1)=-\dfrac{1}{3} \,\,,\,\, f(-2)=-\dfrac{1}{4}$

Nótese también que

$y=\dfrac{1}{x-2} \Rightarrow x=\dfrac{1}{y}+2$

Por lo tanto

$R_f=\mathbb{R}-\lbrace -\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{4},0 \rbrace$

Aquí está la gráfica de $f$

Ejercicios

1) $y=\dfrac{2x+2}{x-1}$
2) $y=\dfrac{x^3+x}{x}$
3) $y=\dfrac{x^2-2x}{x^2+3x}$
4) $y=\dfrac{x^{100}-x}{x-x^{100}}$
5) $y=\dfrac{-2}{x^2+x+1}$
6) $y=\dfrac{-x^2-3}{x^2+4}$
7) $y=\dfrac{x^7-x^6}{x^7+x^6}$
8) $y=\dfrac{x^3-x}{x^3+x}+\dfrac{1-x}{x-1}+\dfrac{x^2-4}{4-x^2}$
9) $y=\dfrac{x^3-3x+2}{x^2+x-2}$
10) $y=\dfrac{1}{x^3+1}$
11) $y=\dfrac{x^{10}+x^8}{x^6+x^4}$

Función irracional

Si en una función $x$ está debajo de un radical, entonces la función se llama función irracional. La forma general de este tipo de función es

$f(x)=\sqrt[n]{P(x)}$

Si $P(x)$ es un polinomio y $n$ es un número impar, entonces el dominio de $f$ son todos los números reales $\,\, \mathbb{R}$. Por otro lado si $n$ es un número par, entonces el dominio de $f$ es el conjunto de todos los números que hacen que la expresión debajo del radical sea no negativa.
Tenga en cuenta que el radical de un número negativo no está definido en el conjunto de los números reales.
Ejemplo:
Determinar el dominio y rango de $f(x)=\sqrt{\dfrac{x^2-3x}{-x^2+2x+3}}$.
Solución:

$D_f=\lbrace x \in \mathbb{R} | \dfrac{x^2-3x}{-x^2+2x+3} \geq 0 \rbrace$

Así que

$\dfrac{x^2-3x}{-x^2+2x+3} \geq 0 \Rightarrow \dfrac{x^2-3x}{-x^2+2x+3}=0 \Rightarrow x=0 \,\,,\,\, x=-1 \,\,,\,\, x=3$

Por lo tanto

$ D_f = (-1,0]$

Por otra parte

$y=\sqrt{\dfrac{x(x-3)}{-(x+1)(x-3)}} \geq 0$

Además

$y=\sqrt{\dfrac{x}{-(x+1)}} \Rightarrow y^2=\dfrac{x}{-(x+1)} \Rightarrow x=\dfrac{-y^2}{1+y^2} \in (-1,0] \Rightarrow $

$-1<\dfrac{-y^2}{1+y^2} \leq 0 \Rightarrow 0<\dfrac{1}{1+y^2} \leq 1 \Rightarrow y^2 \geq 0 \Rightarrow y \in \mathbb{R} \Rightarrow$

$ \mathbb{R} \cap [0,+\infty)=[0,+\infty) \Rightarrow R_f=[0,+\infty)$

Esta es la gráfica de $f$

Tip:
Si $a>0$, entonces $a+\dfrac{1}{a}\geq 2$
Ejemplo:
Determinar el dominio y rango de $f(x)=\dfrac{x^4+2}{\sqrt{x^4+1}}$.
Solución:
Tome en cuenta que

$x^4+1>0 \Rightarrow D_f=\mathbb{R}$

Además para definir el rango

$y=\dfrac{x^4+1+1}{\sqrt{x^4+1}}=\sqrt{x^4+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x^4+1}}$

Según la desigualdad mencionada

$y=\sqrt{x^4+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x^4+1}}\geq 2 \Rightarrow R_f=[2,+\infty)$

La gráfica de $f$ es

Ejercicios

Determinar el dominio y rango de:
1) $f(x)=\sqrt{x^2-4x+5}$
2) $f(x)=\dfrac{\sqrt[8]{2x-2\sqrt{x}}}{\sqrt[6]{4-x^2}}+\dfrac{\sqrt[4]{1+x^2}}{\sqrt{2x-x^2}}$
3) $f(x)=\sqrt{x-1}$
4) $f(x)=\sqrt{\dfrac{1-x}{x+1}}$
5) $f(x)=\sqrt{\dfrac{x^3}{x^4+x^3}}$
6) $f(x)=\sqrt{4-x^2}$
7) $f(x)=\sqrt{\dfrac{x^3-1}{x-1}}$
8) $f(x)= \sqrt[4]{\dfrac{x^3-3x+2}{x^2-2x+1}}$
9) $f(x) =\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}$
10) $f(x)=\sqrt{\dfrac{x-x^2}{x}}$
11) $f(x)=\sqrt{\dfrac{x^2-2x}{x-2}}+\sqrt{\dfrac{x^2-4x}{x-4}}$
12) $f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x^2-x}}$

Función de parte entera

Definición:
La función piso asigna un número real al mayor entero anterior. Más precisamente, $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero no mayor que $x$.
La gráfica de la función piso es

Definición:
La parte fraccionaria, denotada por $\lbrace x \rbrace$ para el real $x$, se define por la fórmula

$\lbrace x \rbrace = x - \lfloor x \rfloor$

Está claro que

$ 0 \leq \lbrace x \rbrace <1$

Propiedades:
1) $ \lfloor x \rfloor = max \lbrace a \in \mathbb{Z} | a \leq x \rbrace$

2) $ \lfloor x \rfloor \leq x \leq \lfloor x \rfloor +1$

3) $x-1 \leq \lfloor x \rfloor \leq x$

4) $\lfloor x-\lfloor x \rfloor \rfloor =0$

5) $\lfloor x+a \rfloor = \lfloor x \rfloor +a \,\,\,\, a \in \mathbb{Z}$

6) $ \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x+y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor +1$

7) $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor=$ $\begin{cases} 0 \,\,\,\,\,\, x \in \mathbb{Z} \\ -1 \,\,\,\, x \in \mathbb{R}-\mathbb{Z} \end{cases}$

8)$\lfloor \lfloor x \rfloor \rfloor=\lfloor x \rfloor$

9) $\lfloor \dfrac{x+m}{n} \rfloor= \lfloor \dfrac{\lfloor x \rfloor+m}{n} \rfloor \,\,\,\, m,n \in \mathbb{Z} \,\,,\,\, n>0 $

10)$\lfloor n \rfloor =\lfloor \dfrac{n}{m} \rfloor + \lfloor \dfrac{n+1}{m} \rfloor \cdots + \lfloor \dfrac{n+m-1}{m} \rfloor \,\,\,\, m,n \in \mathbb{Z} \,\,,\,\, m>0$

11) $\lfloor mx \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor x+\dfrac{1}{m} \rfloor + \cdots + \lfloor x+\dfrac{m-1}{m} \rfloor \,\,\,\, m \in \mathbb{Z} \,\,,\,\, m>0$

12) $ \lfloor \dfrac{\lfloor \dfrac{x}{m} \rfloor}{n} \rfloor = \lfloor \dfrac{x}{mn} \rfloor \,\,\,\, m,n \in \mathbb{N}$

Para encontrar el dominio y el rango de una función piso, se deben usar las propiedades anteriores.
Ejemplo:
Determinar el dominio y rango de $f(x)=\dfrac{x-\lfloor x-\lfloor x \rfloor \rfloor}{x+\lfloor x \rfloor+\lfloor -x \rfloor}$.
Solución:
De acuerdo a las propiedades

$\lfloor x-\lfloor x \rfloor \rfloor =0$

$ \lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = \begin{cases} 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x \in \mathbb{Z} \\ \\ -1 \,\,\,\,\,\,\, x \in \mathbb{R}-\mathbb{Z} \end{cases}$

Así que

$y= \begin{cases} \dfrac{x}{x}=1 \,\,\,\, x \in \mathbb{Z} - \lbrace 0 \rbrace \\ \\ \dfrac{x}{x-1} \,\,\,\,\, x \in \mathbb{R}-\mathbb{Z} \end{cases}$

Por lo tanto

$D_f=\mathbb{R}-\lbrace 0 \rbrace$

También para el rango

$x \in \mathbb{R}-\mathbb{Z}: y=\dfrac{x}{x-1} \Rightarrow x =\dfrac{y}{y-1} \in \mathbb{R} - \mathbb{Z} \Rightarrow y =\neq 1$

$R_f=\mathbb{R}- \lbrace \dfrac{k}{k-1} | k \in \mathbb{Z}- \lbrace 1 \rbrace \rbrace $

Ejemplo:
Determinar el dominio y rango de $f(x)=\dfrac{\lfloor x+1 \rfloor+\lfloor -x \rfloor}{\lfloor 1-x \rfloor+\lfloor x \rfloor}$
Solución:

$f(x)=\dfrac{\lfloor x+1 \rfloor+\lfloor -x \rfloor}{\lfloor 1-x \rfloor+\lfloor x \rfloor}=\dfrac{\lfloor x \rfloor+\lfloor -x \rfloor+1}{\lfloor -x \rfloor+\lfloor x \rfloor+1}= \begin{cases} 1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x \in \mathbb{Z} \\ Undefined \,\,\,\,\,\,\,\, x \in \mathbb{R}-\mathbb{Z} \end{cases}$

Por lo tanto

$D_f=\mathbb{Z} \,\,\,\,,\,\,\,\, R_f=\lbrace 1 \rbrace$

La gráfica de $f$ es

Ejercicios

Determinar el dominio y rango.

1) $f(x)=\dfrac{2x+1}{\lfloor 1-x \rfloor+\lfloor x+1 \rfloor}+\dfrac{\lfloor \lfloor x \rfloor -x \rfloor}{\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor}$
2) $f(x)=\lfloor \dfrac{x^4+2x^2+2}{x^4+4x^2+5} \rfloor + \dfrac{x-\lfloor x \rfloor}{\lfloor x+1 \rfloor + \lfloor 1-x \rfloor}$
3) $y=2\lfloor x \rfloor+2\lfloor -x \rfloor$
4) $y=\dfrac{\lfloor -x \rfloor+\lfloor x+2 \rfloor-2}{\lfloor x-2 \rfloor+\lfloor -x+2 \rfloor}$
5) $y=\dfrac{\lfloor \lfloor x \rfloor -x \rfloor}{\lfloor 1-x \rfloor+\lfloor x-1 \rfloor}$
6) $y=\dfrac{\lfloor 4-x \rfloor+\lfloor -x \rfloor}{\lfloor 3-x \rfloor+\lfloor 1-x \rfloor}$
7) $y=\dfrac{\lfloor -x \rfloor+\lfloor x+2 \rfloor}{\lfloor x+2 \rfloor+\lfloor -x \rfloor -2}$
8) $y=\dfrac{x}{\lfloor 1-x \rfloor+\lfloor x-1 \rfloor}$
9) $y=\dfrac{2\lfloor x \rfloor -2x}{x-\lfloor x \rfloor}$
10) $y=\dfrac{x-\lfloor x \rfloor}{\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor}$
11) $y=\lfloor \dfrac{x^4+x^2+1}{x^4+x^2+2} \rfloor$
12) $y=(-1)^{\lfloor x-5 \rfloor+\lfloor 5-x \rfloor} $

Parte 2