Números complejos

Número complejo es un par de dos números reales (x, y).
Podemos pensar en números complejos como puntos en el sistema de coordenadas.
Sea z un número complejo.
z = (x, y)
x es la parte real de z, e y es la parte imaginaria de z.

Los números complejos forman C - el conjunto de los números complejos.
El conjunto de los números reales es su subconjunto. Los números reales escritos como complejos son $(x, 0), \ \ x \in \mathbb{R}$

Si tenemos dos números complejos z₁ = (x₁, y₁) y z₂ = (x₂, y₂) entonces:

$z_1 = z_2 \Leftrightarrow x_1 = x_2$ y $y_1 = y_2$
$z_1 \pm z_2 = (x_1, y_1) \pm (x_2, y_2) = (x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2)$
$z_1z_2 = (x_1, y_1)\times (x_2, y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2, x_1y_2 + y_1x_2)$
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{(x_1, y_1)}{(x_2, y_2)}=\big(\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}, \frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\big)$

Número complejo
Otra forma de escribir z es: z = a + bi,
a es la parte real de z,
b es la parte imaginaria, e
i es la unidad imaginaria i² = -1, i = √-1.

Cada número complejo z = a + bi tiene su conjugado complejo z = a - bi.

z + z = 2a - número real;
z - z = 2bi - número imaginario;
z.z = a² + b² = |z|² - número real

Cada número complejo (x, y) tiene un punto relevante en el sistema de coordenadas. No podemos decir punto A > B, por eso para dos números complejos no podemos decir (x₁, y₁) > (x₂, y₂). Significa que el número complejo no tiene orden.

Suma, multiplicación y división de números complejos.

Suma de números complejos:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Resta de números complejos:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Multiplicación de números complejos:

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

División de números complejos:

$\frac{a + bi}{c + di}=\frac{(ac + bd)+(bc - ad)i}{c^2+d^2}$

Regla	Equivalente	Exponente
$i^1 = i$	$i^{4n + 1} = i$	Múltiplo de 4 + 1 ${4n + 1, \ n \in \mathbb{Z}} = {1; 5; 9...}$
$i^2 = -1$	$i^{4n + 2} = -1$	Múltiplo de 4 + 2 ${4n + 2, \ n \in \mathbb{Z}} = {2; 6; 10...}$
$i^3 = -i$	$i^{4n + 3} = -i$	Múltiplo de 4 + 3 ${4n + 3, \ n \in \mathbb{Z}} = {3; 7; 11...}$
$i^4 = 1$	$i^{4n} = 1$	Múltiplo de 4 ${4n, \ n \in \mathbb{Z}} = {4; 8; 12...}$

Forma polar

La forma polar de un número complejo es:

z = |z|(cos(θ) + i⋅sen(θ)) = |z|e^iθ or
z = r(cos(θ) + isen(θ)) = re^iθ

Here, |z|(o r) se conoce como el módulo complejo, θ es conocido como argumento complejo o fase. El círculo discontinuo de arriba representa el módulo complejo |z| de z y el ángulo θ Representa su argumento complejo.

Tengamos dos números complejos z₁ y z₂ en forma polar:
z₁ = r₁(cos(θ₁) + i.sen(θ₁))
z₂ = r₂(cos(θ₂) + i.sen(θ₂))

entonces

z₁⋅z₂ = r₁⋅r₂[cos(θ₁ + θ₂) + i⋅sen(θ₁ + θ₂)]

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[cos(\theta_1-\theta_2)+i\cdot sen(\theta_1-\theta_2)]$

La formula de Moivre

Las potencias de un número complejo:
zⁿ = rⁿ(cos(nθ) + i⋅sen(nθ))

Obtención de la raíz de un número complejo:
$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(cos(\frac{\theta+2k\pi}{n})+i\cdot sen(\frac{\theta+2k\pi}{n}))$
k = 0, 1, 2,..., n-1