Solución de sistemas de ecuaciones lineales

Por Catalin David

La forma general es:

$ \begin{cases} a_{1,1}\cdot x_{1} + a_{1,2}\cdot x_{2} + a_{1,3}\cdot x_{3} + \cdots a_{1,n} \cdot x_{n} =b_{1} \\ a_{2,1}\cdot x_{1} + a_{2,2}\cdot x_{2}+ a_{2,3}\cdot x_{3} + \cdots + a_{2,n}\cdot x_{n} = b_{2} \\ a_{3,1}\cdot x_{1} + a_{3,2}\cdot x_{2}+a_{3,3}\cdot x_{3}+ \cdots + a_{3,n}\cdot x_{n}=b_{3} \\ \cdots\\ a_{m,1}\cdot x_{1}+ a_{m,2}\cdot x_{2}+a_{m,3}\cdot x_{3}+\cdots + a_{m,n}\cdot x_{n} =b_{n} \end{cases}$

$ A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n} \\ \cdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & . & . & a_{m,n} \end{pmatrix}$ es la matriz asociada al sistema y $b_{1}, b_{2},b_{3} \cdots b_{n}$ son los términos independientes del sistema.

Si los términos independientes son iguales a 0, el sistema es homogéneo.

La matriz asociada es cuadrada (m=n)

Calculamos el determinante de la matriz asociada.

$\Delta = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n} \\ \cdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n} \end{vmatrix}$

El determinante de la matriz asociada no es 0

El sistema se llama sistema consistente con una sola solución. Para determinar la solución del sistema usamos la regla de Cramer.

Calculamos $ \Delta_{x_{1}}$, el determinante obtenido al reemplazar la columna que contiene los coeficientes de la variable respectiva. $x_{1}$ con la columna de términos independientes.
$\Delta_{x_{1}}= \begin{vmatrix} b_{1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n} \\ b_{2} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n} \\ b_{3} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n} \\ \cdots \\ b_{n} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n} \end{vmatrix}$

Obtenemos $ x_{1} = \dfrac{\Delta_{x_{1}}}{\Delta}$

Calculamos $ \Delta_{x_{2}}$, el determinante obtenido al reemplazar la columna que contiene los coeficientes de la variable respectiva $x_{2}$ con la columna de términos independientes.
$\Delta_{x_{2}}= \begin{vmatrix} a_{1,1} & b_{1} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n} \\ a_{2,1} & b_{2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n} \\ a_{3,1} & b_{3} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n} \\ \cdots \\ a_{n,1} & b_{n} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n} \end{vmatrix}$

Obtenemos $ x_{2} = \dfrac{\Delta_{x_{2}}}{\Delta}$

Calculamos $ \Delta_{x_{3}}$, el determinante obtenido al reemplazar la columna que contiene los coeficientes de la variable respectiva $x_{3}$ con la columna de los términos independientes.
$\Delta_{x_{3}}= \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & b_{1} & . & . & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & b_{2} & . & . & a_{2,n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & b_{3} & . & . & a_{3,n} \\ \cdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n} & . & . & a_{n,n} \end{vmatrix}$

Obtenemos $ x_{3} = \dfrac{\Delta_{x_{3}}}{\Delta}$

Seguimos haciendo esto para las otras variables hasta la última y luego anotamos la solución del sistema.
$x_{n}=\dfrac{\Delta_{x_{n}}}{\Delta}$

Ejemplo 53
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y -5\cdot z = \color{red}{-7}\\ -3 \cdot x + 2\cdot y + z = \color{red}{-9}\\ 4\cdot x - y + 2\cdot z = \color{red}{17} \end{cases}$

La matriz asociada al sistema es
$ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -5\\ -3 & 2 & 1\\ 4 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

Calculamos el determinante de la matriz y obtenemos. $\Delta = 8 -15 + 12 +40 +2 + 18 = 65$
Calculamos $ \Delta_{x}= \begin{vmatrix} \color{red}{-7} & 3 & -5\\ \color{red}{-9} & 2 & 1\\ \color{red}{17} & -1 & 2 \end{vmatrix}= -28 - 45 + 51 + 170 - 7 +54 = 195$

Calculamos $ \Delta_{y}= \begin{vmatrix} 2 & \color{red}{-7} & -5\\ -3 & \color{red}{-9} & 1\\ 4 & \color{red}{17} & 2 \end{vmatrix}=-36 + 255 -28 -180 -34 -42 = -65$

Calculamos $ \Delta_{z}= \begin{vmatrix} 2 & 3 &\color{red}{-7}\\ -3 & 2 & \color{red}{-9}\\ 4 & -1 & \color{red}{17} \end{vmatrix}= 68 -21 -108 + 56 -18 + 153 =130$

La solución del sistema es
$x = \dfrac{\Delta_{x}}{\Delta} =\dfrac{195}{65} = 3$
$y = \dfrac{\Delta_{y}}{\Delta} = -\dfrac{65}{65}= -1$
$z = \dfrac{\Delta_{z}}{\Delta} =\dfrac{130}{65}= 2$
$S=\{3;-1;2\}$

Ejemplo 54
$\begin{cases} 4\cdot x + 5\cdot y -2\cdot z = \color{red}{3}\\ -2 \cdot x + 3\cdot y - z = \color{red}{-3}\\ -1\cdot x - 2\cdot y + 3\cdot z = \color{red}{-5} \end{cases}$

La matriz asociada al sistema es $ \begin{pmatrix} 4 & 5 & -2\\ -2 & 3 & -1\\ -1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

Calculamos el determinante de la matriz y obtenemos $\Delta = 36 -8 + 5 -6 -8 + 30 = 49$

Calculamos $ \Delta_{x}= \begin{vmatrix} \color{red}{3} & 5 & -2\\ \color{red}{-3} & 3 &-1\\ \color{red}{-5} & -2 & 3 \end{vmatrix}= 27 - 12 + 25 - 30 - 6 + 45 = 49$

Calculamos $ \Delta_{y}= \begin{vmatrix} 4 & \color{red}{3} & -2\\ -2 & \color{red}{-3} & -1\\ -1 & \color{red}{-5} & 3 \end{vmatrix}=-36 -20+ 3 +6 -20 + 18 = -49$

Calculamos $ \Delta_{z}= \begin{vmatrix} 4 & 5 & \color{red}{3}\\ -2 & 3 & \color{red}{-3}\\ -1& -2 & \color{red}{-5} \end{vmatrix}= -60 + 12 + 15 + 9 - 24 -50 = - 98$

La solución del sistema es
$x = \dfrac{\Delta_{x}}{\Delta} =\dfrac{49}{49} = 1$
$y = \dfrac{\Delta_{y}}{\Delta} = -\dfrac{-49}{49}= -1$
$z = \dfrac{\Delta_{z}}{\Delta} =\dfrac{-98}{4}= -2$
$S=\{1;-1;-2\}$

Si el sistema es homogéneo, su solución es {0;0;0} porque en los determinantes $\Delta_{x}$,$\Delta_{y}$ y $\Delta_{z}$ hay columnas de 0, por lo que también son iguales a 0.

Ejemplo 55
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y -5\cdot z = \color{red}{0}\\ -3 \cdot x + 2\cdot y + z = \color{red}{0}\\ 4\cdot x - y + 2\cdot z = \color{red}{0} \end{cases}$

La matriz asociada al sistema es
$ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -5\\ -3 & 2 & 1\\ 4 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

Calculamos el determinante de la matriz y obtenemos $\Delta = 8 -15 + 12 +40 +2 + 18 = 65 $

$\Delta_{x}= \begin{vmatrix} \color{red}{0} & 3 & -5\\ \color{red}{0} & 2 & 1\\ \color{red}{0} & -1 & 2 \end{vmatrix}= 0 $

$\Delta_{y}= \begin{vmatrix} 2 & \color{red}{0} & -5\\ -3 & \color{red}{0} & 1\\ 4 & \color{red}{0} & 2 \end{vmatrix}= 0$

$\Delta_{z}= \begin{vmatrix} 2 & 3 &\color{red}{0}\\ -3 & 2 & \color{red}{0}\\ 4 & -1 & \color{red}{0} \end{vmatrix}= 0$

La solución del sistema es:
$x = \dfrac{\Delta_{x}}{\Delta} =\dfrac{0}{65} = 0$
$y = \dfrac{\Delta_{y}}{\Delta} = -\dfrac{0}{65}= 0$
$z = \dfrac{\Delta_{z}}{\Delta} =\dfrac{0}{65}= 0$
$S = \{0;0;0\}$

El determinante de la matriz asociada es 0.

Calculamos el rango de la matriz asociada al sistema y el rango de la matriz aumentada (la matriz inicial a la que agregamos la columna de términos independientes).

Tenemos las siguientes situaciones:

• Si los rangos de las dos matrices son diferentes, entonces el sistema no tiene solución. Es un sistema inconsistente.
• Si los rangos son iguales, entonces el sistema es consistente con infinitas soluciones.
  
  Para resolver el sistema, seguimos estos pasos:
  
  • El menor correspondiente al rango se convierte en el menor primario.
  • Las variables que tienen coeficientes en el menor primario se convierten en las variables principales. Las otras variables se convierten en secundarias, se anotan usando otras letras y se mueven al otro lado de la ecuación.
  • Las ecuaciones que contienen el menor primario se convierten en ecuaciones primarias.
  • Resolvemos el sistema formado solo por las ecuaciones primarias y determinamos la solución del sistema en función de las variables secundarias.
  • Anotamos la solución.

Ejemplo 56
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot z = \color{red}{5}\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot z = \color{red}{-1}\\ 4\cdot x - y + 4\cdot z = \color{red}{3} \end{cases}$

La matriz asociada al sistema es:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end{pmatrix}$

Determinamos el rango de la matriz.
$ 2\neq 0$

$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end{vmatrix}=0 $ (porque tiene dos columnas iguales; en consecuencia, el rango es 2.)

La matriz aumentada es:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 & \color{red}{5}\\ -3 & 2 & -3 & \color{red}{-1}\\ 4 & -1 & 4 & \color{red}{3} \end{pmatrix}$

Determinamos el rango de la matriz aumentada.
$ 2\neq 0$

$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end{vmatrix}=0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3 & \color{red}{5}\\ -3 & 2 & \color{red}{-1}\\ 4 & -1 & \color{red}{3} \end{vmatrix}=0 $ (porque tiene dos columnas iguales; el rango es 2 también)

Como los rangos son iguales, el sistema es consistente con infinitas soluciones. El menor correspondiente al rango se convierte en el menor primario.
$ \Delta_{p} = \begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}$

Las variables x e y que tienen coeficientes en el menor primario se convierten en variables primarias y z se convierte en una variable secundaria. Sea $z=\alpha$. Las dos primeras ecuaciones en las que encontramos el menor primario se convierten en ecuaciones primarias. Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones primarias.
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot \alpha = 5\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot\alpha = -1\\ \end{cases}=$ $\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y = 5 - 2\cdot \alpha\\ -3 \cdot x + 2\cdot y = -1 + 3\cdot\alpha\\ \end{cases}$

Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2.
$\begin{cases} 6\cdot x + 9\cdot y = 15 - 6\cdot \alpha\\ -6 \cdot x + 4\cdot y = -2 + 6 \cdot \alpha \\ \end{cases}$

Sumamos las dos ecuaciones y obtenemos:
$ 13\cdot y = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13}{13} = 1$

Multiplicamos la primera ecuación por -2 y la segunda por 3.
$ \begin{cases} -4\cdot x - 6\cdot y = -10 + 4\cdot \alpha\\ -9 \cdot x + 6\cdot y = -3 + 9 \cdot \alpha \\ \end{cases}$

Sumamos las dos ecuaciones y obtenemos:
$ -13\cdot x = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13\cdot\alpha -13}{13} = \alpha -1$
La solución del sistema es $\{\alpha-1;1;\alpha \}$

Ejemplo 57
$\begin{cases} 2\cdot x + y +5\cdot z = \color{red}{3}\\ 3 \cdot x + 2\cdot y +2 \cdot z = \color{red}{1}\\ 7\cdot x +y + 12\cdot z = \color{red}{2} \end{cases}$

La matriz asociada al sistema es:
$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 2\\ 7 & 4 & 12 \end{pmatrix}$

Determinamos el rango de la matriz.
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{vmatrix}= 4 - 3 =1 \neq0$

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 2\\ 7 & 4 & 12 \end{vmatrix}= 48 + 60 + 14 - 70 -16 -36 =0 $ (en consecuencia, el rango es 2)

La matriz aumentada es:
$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & \color{red}{3}\\ 3 & 2 & 2 & \color{red}{1}\\ 7 & 4 & 12 & \color{red}{2} \end{pmatrix}$

Determinamos el rango de la matriz aumentada.
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{vmatrix}= 4 -3 =1 \neq0$

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 2\\ 7 & 4 & 12 \end{vmatrix}=0$

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & \color{red}{3}\\ 3 & 2 & \color{red}{1}\\ 7 & 4 & \color{red}{2} \end{vmatrix}= 8 + 36 + 7 - 42 -8 -6 = -5\neq 0 $

El rango de la matriz aumentada es 3.

Como los rangos de las dos matrices son diferentes, el sistema no tiene soluciones. Es un sistema inconsistente. Un sistema homogéneo siempre será consistente con infinitas soluciones, ya que la matriz aumentada que contiene una columna de ceros tendrá el mismo rango que la matriz asociada al sistema.

Ejemplo 58
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot z = \color{red}{0}\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot z = \color{red}{0}\\ 4\cdot x - y + 4\cdot z = \color{red}{0} \end{cases}$

La matriz asociada al sistema es:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end{pmatrix}$

Determinamos el rango de la matriz.
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 = 13 \neq0$

$ \begin{vmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end{vmatrix}=0 $ (porque tiene dos columnas iguales. Por lo tanto, el rango es 2)

La matriz aumentada es:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 & \color{red}{0}\\ -3 & 2 & -3 & \color{red}{0}\\ 4 & -1 & 4 & \color{red}{0} \end{pmatrix}$

Determinamos el rango de la matriz aumentada.
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end{vmatrix}=0$

$ \begin{vmatrix} 2 & 3 & \color{red}{0}\\ -3 & 2 & \color{red}{0}\\ 4 & -1 & \color{red}{0} \end{vmatrix}=0 $ (porque tiene una columna de ceros; en consecuencia, el rango también es 2)

Como los rangos son iguales, el sistema es consistente con infinitas soluciones. El menor correspondiente al rango se convierte en el menor primario.
$\Delta_{p} = \begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}$

Las variables x e y que tienen coeficientes en el menor primario se convierten en variables primarias y z se convierte en una variable secundaria. Sea $z=\alpha$. Las dos primeras ecuaciones en las que encontramos el menor primario se convierten en ecuaciones primarias. Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones primarias.
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot \alpha = 0\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot\alpha = 0\\ \end{cases}=$ $\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y = - 2\cdot \alpha\\ -3 \cdot x + 2\cdot y = 3\cdot\alpha\\ \end{cases}$

Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2.
$\begin{cases} 6\cdot x + 9\cdot y = -6\cdot \alpha\\ -6 \cdot x + 4\cdot y = 6 \cdot \alpha \\ \end{cases}$

Sumamos las dos ecuaciones y obtenemos:
$13\cdot y = 0 \Rightarrow y = \dfrac{0}{13} = 0$
Hacemos lo mismo para encontrar x. Multiplicamos la primera ecuación por -2 y la segunda por 3.
$ \begin{cases} -4\cdot x - 6\cdot y = 4\cdot \alpha\\ -9 \cdot x + 6\cdot y =9 \cdot \alpha \\ \end{cases}$

Sumamos las dos ecuaciones y obtenemos:
$ -13\cdot x = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13\cdot\alpha}{-13} = -\alpha$
La solución del sistema es $ \{-\alpha;0;\alpha \}$

La matriz asociada no es cuadrada $(m\neq n)$

Calculamos el rango de la matriz asociada al sistema y el rango de la matriz aumentada (la matriz inicial a la que agregamos la columna de términos independientes).

Tenemos las siguientes situaciones:

• Si los rangos de las dos matrices son diferentes, entonces el sistema no tiene solución. Es un sistema inconsistente.
• Si los rangos son iguales, entonces el sistema es consistente con infinitas soluciones.
  Para resolver el sistema, seguimos estos pasos:
  
  • El menor correspondiente al rango se convierte en el menor primario.
  • Las variables que tienen coeficientes en el menor primario se convierten en las variables principales. Las otras variables se convierten en secundarias, se anotan usando otras letras y se mueven al otro lado de la ecuación.
  • Las ecuaciones que contienen el menor primario se convierten en ecuaciones primarias.
  • Resolvemos el sistema formado solo por las ecuaciones primarias y determinamos la solución del sistema en función de las variables secundarias.
  • Anotamos la solución.

Ejemplo 59
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot z = \color{red}{5}\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot z = \color{red}{-1}\\ \end{cases}$

La matriz asociada al sistema es:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ \end{pmatrix}$

Determinamos el rango de la matriz.
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$ (el rango es 2)

La matriz aumentada es:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 & \color{red}{5}\\ -3 & 2 & -3 & \color{red}{-1}\\ \end{pmatrix}$

Determinamos el rango de la matriz aumentada.
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$ (el rango es 2 también)

Como los rangos son iguales, el sistema es consistente con infinitas soluciones. El menor correspondiente al rango se convierte en el menor primario.

$ \Delta_{p} = \begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}$

Las variables x e y que tienen coeficientes en el menor primario se convierten en variables primarias y z se convierte en una variable secundaria. Sea $z=\alpha$. Las dos primeras ecuaciones en las que encontramos el menor primario se convierten en ecuaciones primarias. Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones primarias.

$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot \alpha = 5\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot\alpha = -1\\ \end{cases}=$ $\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y = 5 - 2\cdot \alpha\\ -3 \cdot x + 2\cdot y = -1 + 3\cdot\alpha\\ \end{cases}$

Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2.
$\begin{cases} 6\cdot x + 9\cdot y = 15 - 6\cdot \alpha\\ -6 \cdot x + 4\cdot y = -2 + 6 \cdot \alpha \\ \end{cases}$

Sumamos las dos ecuaciones y obtenemos:
$ 13\cdot y = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13}{13} = 1$
Hacemos lo mismo para encontrar x. Multiplicamos la primera ecuación por -2 y la segunda por 3.
$ \begin{cases} -4\cdot x - 6\cdot y = -10 + 4\cdot \alpha\\ -9 \cdot x + 6\cdot y = -3 + 9 \cdot \alpha \\ \end{cases}$

Sumamos las dos ecuaciones y obtenemos:
$-13\cdot x = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13\cdot\alpha -13}{13} = \alpha -1$
La solución del sistema es $\{\alpha-1;1;\alpha \}$

Ejemplo 60
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y = \color{red}{5}\\ -3 \cdot x + 2\cdot y = \color{red}{-1}\\ 4\cdot x - y = \color{red}{3} \end{cases}$

La matriz asociada al sistema es:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -3 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$

Determinamos el rango de la matriz.
$2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$ (el rango es 2)

La matriz aumentada es:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & \color{red}{5}\\ -3 & 2 & \color{red}{-1}\\ 4 & -1 & \color{red}{3} \end{pmatrix}$

Determinamos el rango de la matriz aumentada..
$2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3 & \color{red}{5}\\ -3 & 2 & \color{red}{-1}\\ 4 & -1 & \color{red}{3} \end{vmatrix}=0 $ (porque tiene dos columnas iguales; en consecuencia, el rango es 2)

Como los rangos son iguales, el sistema es consistente con infinitas soluciones. El menor correspondiente al rango se convierte en el menor primario.
$\Delta_{p} = \begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}$

Las variables x e y que tienen coeficientes en el menor primario se convierten en variables primarias y z se convierte en una variable secundaria. No hay variables secundarias. Las dos primeras ecuaciones en las que encontramos el menor primario se convierten en ecuaciones primarias. Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones primarias.
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y = 5\\ -3 \cdot x + 2\cdot y = -1\\ \end{cases}$

Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2.
$\begin{cases} 6\cdot x + 9\cdot y = 15\\ -6 \cdot x + 4\cdot y = -2 \\ \end{cases}$

Sumamos las dos ecuaciones y obtenemos:
$13\cdot y = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13}{13} = 1$
Hacemos lo mismo para encontrar x. Multiplicamos la primera ecuación por -2 y la segunda por 3.
$ \begin{cases} -4\cdot x - 6\cdot y = -10\\ -9 \cdot x + 6\cdot y = -3\\ \end{cases}$

Sumamos las dos ecuaciones y obtenemos:
$ -13\cdot x = -13 \Rightarrow y = \dfrac{-13}{-13} = 1$
Verificamos si los resultados son soluciones válidas de la ecuación secundaria.
$4\cdot1 -1\cdot1 = 3$
La solución del sistema es $\{1;1 \}$