MenúFórmulas de geometría analítica de sólidos
$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$
Cosenos directores de la línea que une los puntos $P_1(x_1,y_1,z_1)$ y $P_2(x_2,y_2,z_2)$
$l=\cos\alpha=\frac{x_2-x_1}{d}$, $m=\cos\beta=\frac{y_2-y_1}{d}$, $n=\cos\gamma=\frac{z_2-z_1}{d}$
donde $\alpha,\beta,\gamma$ son los ángulos que la línea $P_1P_2$ forma con los ejes $x,y,z$ respectivamente, y $d$ está dado por la figura anterior.
Relación entre cosenos directores
$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$ or $l^2+m^2+n^2=1$
Números directores
Los números $L,M,N$ los cuales son proporcionales a los cosenos directores. $l,m,n$ se denominan números directores. La relación entre ellos está dada por
$l=\frac{L}{\sqrt{L^2+M^2+N^2}}$, $m=\frac{M}{\sqrt{L^2+M^2+N^2}}$, $n=\frac{N}{\sqrt{L^2+M^2+N^2}}$
Ecuaciones de la recta que une $P_1(x_1,y_1,z_1)$ y $P_2(x_2,y_2,z_2)$ en forma estándar
$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ or $\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}$
Estas también son válidas si $l,m,n$ son reemplazados por $L,M,N$ respectivamente.
Ecuaciones de la recta que une $P_1(x_1,y_1,z_1)$ y $P_2(x_2,y_2,z_2)$ en forma paramétrica
$x=x_1+lt, y=y_1+mt, z=z_1+nt$
Estas también son válidas si $l,m,n$ son reemplazados por $L,M,N$ respectivamente.
Ángulo $\phi$ entre dos líneas con cosenos directores $l_1, m_1, n_1$ y $l_2, m_2, n_2$
$\cos\phi=l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2$
Ecuación general de un plano
$Ax+By+Cz+D=0$ [$A,B,C,D$ son constantes]
Ecuación de un plano que pasa por los puntos $(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2),(x_3,y_3,z_3)$
$\begin{vmatrix}x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1\\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1\end{vmatrix}=0$
o
$\begin{vmatrix} y_2-y_1 & z_2-z_1\\ y_3-y_1 & z_3-z_1\end{vmatrix}(x-x_1)$
$+\begin{vmatrix} z_2-z_1 & x_2-x_1\\ z_3-z_1 & x_3-x_1\end{vmatrix}(y-y_1)$
$+\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1\\ x_3-x_1 & y_3-y_1\end{vmatrix}(z-z_1)=0$
Ecuación de un plano en forma de intercepto
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
donde $a,b,c$ son los inteceptos con los ejes $x,y,z$ respectivamente.
Ecuación de la recta que pasa por $(x_0,y_0,z_0)$ y es perpendicular al plano $Ax+By+Cz+D=0$
$\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C}$ or $x=x_0+At, y=y_0+Bt, z=z_0+Ct$
Considere que los números directores para una recta penpendicular al plano $Ax+By+Cz+D=0$ son $A,B,C$
Distancia del punto $(x_0,y_0,z_0)$ al plano $Ax+By+Cz+D=0$.
$\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
donde el signo será escogido de tal manera que la distancia no sea negativa.
Forma normal de la ecuación de un plano
$x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma=p$
donde $p=$ es la distance perpendicular del origen $O$ al plano en el punto P $P$ y $\alpha, \beta, \gamma$ son los ángulos entre $OP$ y los ejes positivos $x,y,z$.
Transformación de coordenadas que involucra translación pura
$\left\{\begin{array}{lr}x=x'+x_0\\ y=y'+y_0\\ z=z'+z_0\end{array}\right.$ o $\left\{\begin{array}{lr}x'=x-x_0\\ y'=y-y_0\\ z'=z-z_0\end{array}\right.$
donde $(x, y, z)$ son las coordenadas antiguas [p.ej. las coordenadas relativas al sistema $xyz$],$(x', y', z')$ son las nuevas coordenadas [relativas al sistema $x'y'z'$] y $(x_0,y_0,z_0)$ son las coordenadas del nuevo origen $O'$ relativas al antiguo sistema de coordenadas $xyz$.
Transformación de coordenadas que involucra rotación pura
$\left\{\begin{array}{lr}x=l_1x'+l_2y'+l_3z'\\ y=m_1x'+m_2y'+m_3z'\\ z=n_1x'+n_2y'+n_3z'\end{array}\right.$
o
$\left\{\begin{array}{lr}x'=l_1x+m_1y+n_1z\\ y'=l_2x+m_2y+n_2z\\ z'=l_3x+m_3y+n_3z\end{array}\right.$
donde los orígenes de los sistemas $xyz$ y $x'y'z'$ son los midmos y $l_1,m_1,n_1; l_2,m_2,n_2; l_3,m_3,n_3$ son los cosenos directores de los ejes $x', y', z'$ relativos a los ejes $x, y, z$ respectivamente.
Transformación de coordenadas que involucra rotación y traslación
$\left\{\begin{array}{lr}x=l_1x'+l_2y'+l_3z'+x_0\\ y=m_1x'+m_2y'+m_3z'+y_0\\ z=n_1x'+n_2y'+n_3z'+z_0\end{array}\right.$
o
$\left\{\begin{array}{lr}x'=l_1(x-x_0)+m_1(y-y_0)+n_1(z-z_0)\\ y'=l_2(x-x_0)+m_2(y-y_0)+n_2(z-z_0)\\ z'=l_3(x-x_0)+m_3(y-y_0)+n_3(z-z_0)\end{array}\right.$
donde el origen $O'$ del sistema $x'y'z'$ tiene coordenadas $(x_0,y_0,z_0)$ relativas a los sistemas $xyz$ y $l_1,m_1,n_1; l_2,m_2,n_2; l_3,m_3,n_3$ son los cosenos directores de los ejes $x' , y', z'$ relativos a los ejes $x, y, z$ respectivamente.
Coordenadas cilíndricas $(r, \theta, z)$
Un punto $P$ puede ser ubicado por sus coordenadas cilíndricas $(r, \theta, z)$ así como por sus coordenadas rectangulares $(x, y, z)$.
La transformación entre esas coordenadas es
$\left\{\begin{array}{lr}x=r\cos\theta\\ y=r\sen\theta\\ z=z\end{array}\right.$ o $\left\{\begin{array}{lr}r=\sqrt{x^2+y^2}\\ \theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}\\ z=z\end{array}\right.$ 
Coordenadas esféricas $(r, \theta, \phi)$
Un punto $P$ puede ser ubicado por sus coordenadas esféricas $(r, \theta, \phi)$así como por sus coordenadas rectangulares $(x, y, z)$.
La transformación entre esas coordenadas es
$\left\{\begin{array}{lr}x=r\sen\theta\cos\phi\\ y=r\sen\theta\sen\phi\\ z=r\cos\theta\end{array}\right.$
o
$\left\{\begin{array}{lr}r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \phi=\tan^{-1}\frac{y}{x}\\ \theta=\cos^{-1}\left(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)\end{array}\right.$ 
Ecuación de una esfera en coordenadas rectangulares
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$
donde la esfera tiene centro $(x_0,y_0,z_0)$ y radio $R$.
Ecuación de una esfera en coordenadas cilíndricas
$r^2-2r_0r(\theta-\theta_0)+r_0^2+(z-z_0)^2=R^2$
donde la esfera tiene centro $(r_0,\theta_0,z_0)$ en coordenadas cilíndricas y radio $R$.
Si el centro está en el origen la ecuación es
$r^2+z^2=R^2$
Ecuación de una esfera en coordenadas esféricas
$r^2+r_0^2-2r_0 r\sen\theta\sen\theta_0\cos(\phi-\phi_0)=R^2$
donde la esfera tiene centro $(r_0,\theta_0,\phi_0)$ en coordenadas esféricas y radio $R$.
Si el centro está en el origen la ecuación es
$r = R$.
Ecuación de un elipsoide con centro $(x_0,y_0,z_0)$ y semiejes $a, b, c$
$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}+\frac{(z-z_0)^2}{c^2}=1$
Cilindro elíptico con eje z como eje de simetría
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
donde $a, b$ son semiejes de la sección transversal elíptica.
Si $b = a$ se convierte en un cilindro circular de radio $a$.
Cono elíptico con eje z como eje de simetría
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}$
Hiperboloide de un manto
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$.
Hiperboloide - animado (la línea roja es recta)
Hiperboloide de dos mantos
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$.
Paraboloide elíptico
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z}{c}$
Paraboloide hiperbólico
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\frac{z}{c}$
Note la orientación de los ejes en la figura.
