Determinante de una matriz

Por Catalin David

Definición

El determinante de una matriz cuadrada A es el número entero (escalar) obtenido a través de una variedad de métodos que utilizan los elementos de la matriz.

Notación

Sea $ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$det(A) = \left|A\right| = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

Propiedades de determinantes

1. Si una matriz tiene una fila o una columna con todos los elementos iguales a 0 entonces su determinante es 0.
   
   Ejemplo 12
   $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ or $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 0\\ 4 & 2 & 0\\ 3 & 9 & 0 \end{vmatrix}=0$
2. Si una matriz tiene dos filas iguales o dos columnas iguales entonces su determinante es 0.
   
   Ejemplo 13
   $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 1 & 4 & 2\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ or $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 1\\ 4 & 2 & 4\\ 3 & 9 & 3 \end{vmatrix}=0$
3. Si una matriz tiene dos filas proporcionales o dos columnas proporcionales entonces su determinante es 0.
   
   Ejemplo 14
   $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 2 & 8 & 4\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ (las dos primeras lineas son proporcionales)
   o
   $\begin{vmatrix} 8 & 4 & 7\\ 4 & 2 & 3\\ 18 & 9 & 8 \end{vmatrix}=0$ (las dos primeras columnas son proporcionales)
4. Si una fila o una columna es la suma o la diferencia de otras filas, respectivamente entonces el determinante es 0.
   
   Ejemplo 15
   $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 7 & 2 & 3\\ 8 & 6 & 5 \end{vmatrix}= 0$     $R_{1} +R_{2} =R_{3}$ or
   
   $ \begin{vmatrix} 9 & 12 & 3\\ 1 & 8 & 7\\ 5 & 7 & 2 \end{vmatrix}=0$     $C_{1}+C_{3}=C_{2}$
5. En una determinante, podemos factorizar individualmente enteros de líneas y columnas.
   
   Ejemplo 16
   En el determinante $\begin{vmatrix} 3 & 9 & 12\\ 5 & 1 & 8 \\ 7 & 4 & 2 \end{vmatrix}$, factorizamos 3 de la fila 1 $(R_{1})$ y obtenemos:
   $3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4\\ 5 & 1 & 8\\ 7 & 4 & 2 \end{vmatrix}$, entonces factorizamos 2 de la columna 3 $(C_{3})$:
   $6\cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2\\ 5 & 1 & 4\\ 7 & 4 & 1 \end{vmatrix}$
6. En una determinante podemos sumar o restar filas o columnas a otras filas, respectivamente, y el valor del determinante sigue siendo el mismo.
   
   Ejemplo 17
   $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{R_{1}+R_{2}} \begin{vmatrix} 4 & 13\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$
   Ejemplo 18
   $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{C_{1}+C_{2}} \begin{vmatrix} 6 & 5\\ 11 & 8 \end{vmatrix}$
7. En una determinante podemos sumar o restar múltiplos de filas o columnas.
   
   Ejemplo 19
   $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{2R_{1}+3R_{2}} \begin{vmatrix} 11 & 34\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$
   
   Ejemplo 20
   $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{5C_{1}-C_{2}} \begin{vmatrix} 0 & 5\\ 7 & 8 \end{vmatrix}$
8. El determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta.
9. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de las matrices dadas.

Menor de una matriz

El determinante obtenido mediante la eliminación de algunas filas y columnas en una matriz cuadrada se denomina menor de esa matriz.

Ejemplo 21
$A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Uno de los menores de la matriz A es $\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 5 & 3 \end{vmatrix}$ (obtenido a través de la eliminación de la fila 3 y la columna 3 de la matriz A)

Otro menor es $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 1 \end{vmatrix}$ (obtenido a través de la eliminación de la fila 2 y la columna 2 de la matriz A)

Ejemplo 22
$B=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 & 3\\ 4 & 1 & 7 & 9\\ 6 & 8 & 3 & 2\\ 7 & 8 & 1 & 4 \end{pmatrix} $

Uno de los menores de la matriz B es $ \begin{vmatrix} 1 & 7 & 9\\ 8 & 3 & 2\\ 8 & 1 & 4 \end{vmatrix}$ (obtenido a través de la eliminación de la fila 1 y la columna 1 de la matriz B)

Otro menor es $\begin{vmatrix} 1 & 7 \\ 8 & 3 \end{vmatrix}$ (obtenido mediante la eliminación de las filas 1 y 4 y las columnas 1 y 4 de la matriz B)

Sea $A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n}\\ . & . & . & . & .& .\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n} \end{pmatrix}$

Podemos asociar al menor $\Delta_{i,j}$ (obtenido a través de la eliminación de la fila i y la columna j) con cualquier elemento $a_{i,j}$ de la matriz A.

Ejemplo 23
$ A = \begin{pmatrix} 4 & 7\\ 2 & 9 \end{pmatrix}$

Tenemos que determinar el menor asociado a 2. Dado que este elemento se encuentra en la fila 2, columna 1, entonces 2 es $a_{2,1}$.

Tenemos que eliminar la fila 2 y la columna 1 de la matriz A, lo que resulta en

El menor de 2 es $\Delta_{2,1} = 7$.

Ejemplo 24
$B=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Tenemos que determinar el menor asociado a 7. Dado que este elemento se encuentra en la fila 2, columna 3, entonces 7 es $a_{2,3}$.

Tenemos que eliminar la fila 2 y la columna 3 de la matriz B, lo que resulta en

El menor de 7 es $\Delta_{2,3}= \begin{vmatrix} 1 & 4\\ 6 & 2 \end{vmatrix}$

Ejemplo 25
$C=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 & 3\\ 4 & 1 & 7 & 9\\ 6 & 8 & 3 & 2\\ 7 & 8 & 1 & 4 \end{pmatrix}$

Tenemos que determinar el menor asociado a 5. Dado que este elemento se encuentra en la fila 1, columna 2, entonces 5 es $a_{1,2}$.

Tenemos que eliminar la fila 1 y la columna 2 de la matriz C, lo que resulta en

El menor de 5 es $\Delta_{1,2}= \begin{vmatrix} 4 & 7 & 9\\ 6 & 3 & 2\\ 7 & 1 & 4\\ \end{vmatrix}$

Cofactor de un elemento de una matriz

Sea $A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n}\\ . & . & . & . & .& .\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n}\\ \end{pmatrix}$

El cofactor $(-1)^{i+j}\cdot\Delta_{i,j}$ corresponde a cualquier elemento $a_{i,j}$ en la matriz A. Por ejemplo, el cofactor $(-1)^{2+5}\cdot\Delta_{2,5}=(-1)^{7}\cdot\Delta_{2,5}= -\Delta_{2,5} $ corresponde al elemento $ a_{2.5}$

Orden de un determinante

El orden de un determinante es igual a su número de filas y columnas.

Ejemplo 26
$\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 6 & 2\\ \end{vmatrix}$ (Tiene 2 líneas y 2 columnas, por lo que su orden es de 2)

Ejemplo 27
$\begin{vmatrix} 4 & 7 & 9\\ 6 & 3 & 2\\ 7 & 1 & 4\\ \end{vmatrix}$ (Tiene 3 líneas y 3 columnas, por lo que su orden es de 3)

Cálculo del determinante de una matriz

El determinante de una matriz es igual a la suma de los productos de los elementos de cualquier fila o columna y sus cofactores.

$\left| A\right| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n}\\ . & . & . & . & .& .\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n}\\ \end{vmatrix}$

Podemos calcular el determinante usando, por ejemplo, la fila i:

$\left| A\right| =a_{i,1}\cdot(-1)^{i+1}\cdot\Delta_{i,1}$ $+a_{i,2}\cdot(-1)^{i+2}\cdot\Delta_{i,2}+a_{i,3}\cdot(-1)^{i+3}\cdot\Delta_{i,3}+...$ $+a_{i,n}\cdot(-1)^{i+n}\cdot\Delta_{i,n}$

Alternativamente, podemos calcular el determinante usando la fila j:

$\left| A\right| =a_{1,j}\cdot(-1)^{1+j}\cdot\Delta_{1,j}$ $+a_{2,j}\cdot(-1)^{2+j}\cdot\Delta_{2,j}+a_{3,j}\cdot(-1)^{3+j}\cdot\Delta_{3,j}+...$ $+a_{n,j}\cdot(-1)^{n+j}\cdot\Delta_{n,j}$

Cálculo de un determinante 2x2

Usemos la fila 1 para calcular el determinante.

$\left| A\right| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2}\\ \end{vmatrix} = a_{1,1}\cdot(-1)^{1+1}\cdot\Delta_{1,1}+a_{1.2}\cdot(-1)^{1+2}\cdot\Delta_{1,2}=$

$a_{1,1}\cdot(-1)^{2}\cdot\Delta_{1,1}+a_{1.2}\cdot(-1)^{3}\cdot\Delta_{1,2}=a_{1,1}\cdot\Delta_{1,1}-a_{1.2}\cdot\Delta_{1,2}$

Sin embargo, $ \Delta_{1,1}= a_{2,2} $ and $ \Delta_{1,2}=a_{2,1}$

$ \left| A\right| =a_{1.1} \cdot a_{2,2}- a_{1.2} \cdot a_{2,1}$

$\color{red}{ \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} =a \cdot d - b \cdot c}$

Ejemplo 28
$\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix} =2 \cdot 8 - 3 \cdot 5 = 16 -15 =1$

Ejemplo 29
$\begin{vmatrix} -4 & 7\\ -2 & 9 \end{vmatrix} =-4 \cdot 9 - 7 \cdot (-2) = -36 -(-14) =-36 + 14 = - 22$

Cálculo de un determinante 3x3

Usemos la fila 1 para calcular el determinante.

$ \left| A\right| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} =$ $a_{1,1}\cdot(-1)^{1+1}\cdot\Delta_{1,1}+a_{1.2}\cdot(-1)^{1+2}\cdot\Delta_{1,2}$ $+a_{1.3}\cdot(-1)^{1+3}\cdot\Delta_{1,3}=$ $=a_{1,1}\cdot(-1)^{2}\cdot\Delta_{1,1}+a_{1.2}\cdot(-1)^{3}\cdot\Delta_{1,2}$ $+a_{1.3}\cdot(-1)^{4}\cdot\Delta_{1,3}=$ $a_{1,1}\cdot\Delta_{1,1}-a_{1.2}\cdot\Delta_{1,2}+a_{1.3}\cdot\Delta_{1,3}$

$\Delta_{1,1}= \begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} = a_{2,2}\cdot a_{3,3}-a_{2,3}\cdot a_{3,2}$

$\Delta_{1,2}= \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,3} \end{vmatrix} = a_{2,1}\cdot a_{3,3}-a_{2,3}\cdot a_{3,1}$

$\Delta_{1,3}= \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,2}\\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{vmatrix} = a_{2,1}\cdot a_{3,2}-a_{2,2}\cdot a_{3,1}$

$\left| A\right| =a_{1,1}\cdot( a_{2,2}\cdot a_{3,3}-a_{2,3}\cdot a_{3,2})-a_{1,2}\cdot(a_{2,1}\cdot a_{3,3}-a_{2,3}\cdot a_{3,1})+$ $a_{1,3}\cdot(a_{2,1}\cdot a_{3,2}-a_{2,2}\cdot a_{3,1})=$ $a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}-a_{1,1}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,2}-a_{1,2}\cdot a_{2.1}\cdot a_{3,3}+a_{1,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,1}+$ $a_{1,3}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,2}-a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}=$ $\color{red}{a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}+a_{1,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,1}+a_{1,3}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,2}-}$ $\color{red}{(a_{1,1}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,2}+a_{1,2}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,3}+a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1})}$

Para llegar más rápido a la última relación podemos usar el siguiente método.

Primero, reescribimos las dos primeras filas debajo del determinante, de la siguiente manera.

Multiplicamos los elementos en cada una de las tres diagonales rojas (la diagonal principal y las que están debajo) y sumamos los resultados:
$\color{red}{a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}+ a_{2,1}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,3}+a_{3,1}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,3}}$

Multiplicamos los elementos en cada una de las tres diagonales azules (la diagonal secundaria y las que están debajo) y sumamos los resultados:

$\color{blue}{a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}+ a_{2,3}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,1}+a_{3,3}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,1}}$

Si restamos las dos relaciones obtenemos la fórmula del determinante:

$\color{red}{a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}+ a_{2,1}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,3}+a_{3,1}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,3}-}$ $\color{red}{(a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}+ a_{2,3}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,1}+a_{3,3}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,1})}$

Ejemplo 30
$A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1\\ \end{pmatrix}$

Ejemplo 31
$A=\begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 1 & 4 & 2\\ 7 & 1 & 9\\ \end{pmatrix}$

$= 3\cdot4\cdot9 + 1\cdot1\cdot1 + 7\cdot5\cdot2 -(1\cdot4\cdot7 + 2\cdot1\cdot3 + 9\cdot5\cdot1) =$ $ 108 + 1 + 70 -(28 + 6 + 45)=79-79=100$

Hay determinantes cuyos elementos son letras. Se pueden calcular más fácilmente utilizando las propiedades de los determinantes. Por ejemplo, calculamos el determinante de una matriz en la que hay los mismos elementos en cualquier fila o columna, pero reordenados.

$\begin{vmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{vmatrix}$ $ \xlongequal{C_{1}+C_{2}+C_{3}} \begin{vmatrix} a + b + c & b & c\\ c + a + b & a & b\\ b + c + a & c & a \end{vmatrix} = (a + b + c) \cdot \begin{vmatrix} 1 & b & c\\ 1 & a & b\\ 1 & c & a \end{vmatrix}$

Calculemos el último determinante: