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Autor: Sepehr HassannejadEn cada función hay dos variables como $ x $ y $ y $. Una de ellas puede seleccionarse como variable independiente arbitraria (en esta página $x$), entonces la otra es la variable función o variable dependiente. Cuando la variable independiente cambia, la variable dependiente también cambia según la regla de la función.
Definición:
Sean $A$ y $B$ dos conjuntos y $f$ un subconjunto del producto Cartesiano de $A \times B$. $f$ es una función si y solo si $(x,y_1) \in f \,\,,\,\, (x,y_2) \in f \longrightarrow y_1=y_2$. En otras palabras $f$ es un subconjunto de pares ordenados de $A \times B$ tal que no hay dos pares diferentes con los mismos primeros componentes.
Ejemplo:
Sean $A= \lbrace 1,3,7 \rbrace$ y $B=\lbrace -2,0 \rbrace$. El producto Cartesiano de $A\times B$ es igual a
$A \times B = \lbrace (1,-2),(1,0),(3,-2),(3,0),(7,-2),(7,0) \rbrace$
Sea también $f=\lbrace (1,0),(3,-2),(7,-2) \rbrace$.$f$ es un subconjunto de $A \times B$ y también es una función, Porque no hay dos pares diferentes con los mismos primeros componentes.
Ejemplo:
En la siguiente figura $f$ es una función de $A$ en $B$.
Ejemplo:
En la siguiente figura $g$ NO es a function de $A$ en $B$.
Ejemplo:
¿Es $R=\lbrace (\sqrt{2}-1,4),(\dfrac{1}{\sqrt{2}+1},5),(3,6),(\dfrac{1}{2-\sqrt{3}},1),(2+\sqrt{3},1)\rbrace$ una función? Si no se encuentran subconjuntos de $R$ que sean funciones y cada uno consta de tres pares.
Solución:
En primer lugar notemos que
$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1} \times \dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1$
$\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}} \times \dfrac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$
Así que $R$ se puede reescribir como sigue
$R=\lbrace(\sqrt{2}-1,4),(\sqrt{2}-1,5),(3,6),(2+\sqrt{3},1) \rbrace$
lo cual no es una función.
Ahora ponga
$f_1=\lbrace (\sqrt{2}-1,4),(3,6),(2+\sqrt{3},1) \rbrace$
$f_2= \lbrace (\sqrt{2}-1,5),(3,6),(2+\sqrt{3},1) \rbrace$
$f_1$ y $f_2$ son obviamente dos subconjuntos de $ R $ que son funciones.
Ejemplo:
Si $R=\lbrace (3,m-5),(-1,m),(2,m^2),(3,8) \rbrace$ es una función, entonces cual es el valor de $m$?
Solución:
$(3,m-5)=(3,8) \Rightarrow m-5=8 \Rightarrow m=13$
$R=\lbrace (3,8),(-1,13),(2,169) \rbrace$
Ejemplo:
Si $f=\lbrace(a^2-2a,3),(3,3),(-1,4),(a,3) \rbrace$ es una función, entonces cual es el valor de $a$?
Solución:
$(a^2-2a,3)=(3,3) \Rightarrow a^2-2a=3 \Rightarrow a^2-2a-3=0 \Rightarrow a=-1 \,\,,\,\, a=3$
Observe si $a=-1$ entonces $f=\lbrace(3,3),(-1,4),(-1,3) \rbrace$, que no es una función.
Por lo tanto $a=-1$ no es aceptable. Entonces $a=3$ y $f=\lbrace (3,3),(-1,4) \rbrace$
Ejemplo:
Pruebe que $f(x)=x^3-2$ es una función.
Solución:
De acuerdo con la definición de una función, uno debe probar que si $x_1=x_2$, entonces $y_1=y_2$. Por lo tanto
$x_1=x_2 \Rightarrow x_1 ^3=x_2 ^3 \Rightarrow x_1 ^3 -2 =x_2 ^3 -2 \Rightarrow y_1=y_2$
En consecuencia $f$ es una función.
Ejemplo:
Pruebe que $x^2+y^2=4$ NO es una función.
Solución:
$x^2+y^2=4 \Rightarrow y^2=4-x^2$
Ahora
$x_1=x_2 \Rightarrow x_1 ^2= x_2 ^2 \Rightarrow -x_1 ^2=-x_2 ^2 \Rightarrow 4-x_1 ^2=4-x_2 ^2 \Rightarrow y_1 ^2= y_2 ^2 \Rightarrow y_1 = \pm y_2$
En consecuencia no es una función.
Tip:
$(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = R^2$
es la forma estándar de la ecuación de un círculo. Tome en cuenta que $(\alpha,\beta)$ es el centro del círculo y $R$ es su radio.
Ejercicios
1.¿Cuál figura es una función?
3. Si $f=\lbrace (a+b,2),(a^2-2,3),(a^2-2a,3),(3,2) \rbrace$ es una función, entonces cual es el valor de $a+b$?
4. Si $f=\lbrace (7,11),(a^-6a,11),(a,4) \rbrace $ es una función, entonces cual es el valor de $a$?
5. Si $f=\lbrace (3,2),(a-b,2),(2a+b,4),(2b,4),(1,\sqrt{2}),(-2,3) \rbrace$ es una función, entonces cual es el valor de $(f(a))^2+f(b)$?
6. Pruebe que $y=2|x|+3x-4$ es una función.
7. Pruebe que $|y|+|x|=1$ NO es una función.
8. Al agregar una restricción adicional a $(x-3)^2+(y-4)^2=11$, esta sería una funcion. Trate de encontrar la restricción.
Dominio y rango de funciones
