Funciones hiperbólicas - senh, cosh, tanh, coth, sech, csch

Definiciones de las funciones hiperbólicas

Seno hiperbólico de x
$\text{senh}\ x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$

Coseno hiperbólico de x
$\text{cosh}\ x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

Tangente hiperbólica de x
$\text{tanh}\ x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

Cotangente hiperbólica de x
$\text{coth}\ x = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$

Secante hiperbólica de x
$\text{sech}\ x = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$

Cosecante hiperbólica de x
$\text{csch}\ x = \frac{2}{e^x - e^{-x}}$

Relaciones entre funciones hiperbólicas

$\text{tanh}\ x = \frac{\text{senh}\ x}{\text{cosh}\ x}$

$\text{coth}\ x = \frac{1}{\text{tanh}\ x} = \frac{\text{cosh}\ x}{\text{senh}\ x}$

$\text{sech}\ x = \frac{1}{\text{cosh}\ x}$

$\text{csch}\ x = \frac{1}{\text{senh}\ x}$

$\text{cosh}^2x - \text{senh}^2x = 1$

$\text{sech}^2x + \text{tanh}^2x = 1$

$\text{coth}^2x - \text{csch}^2x = 1$

Funciones de argumentos negativos

senh(-x) = -senh x

cosh(-x) = cosh x

tanh(-x) = -tanh x

csch(-x) = -csch x

sech(-x) = sech x

coth(-x) = -coth x

Fórmulas de adición de ángulos

senh (x ± y) = senh x cosh y ± cosh x senh y

cosh (x ± y) = cosh x cosh y ± senh x senh y

tanh(x ± y) = (tanh x ± tanh y)/(1 ± tanh x.tanh y)

coth(x ± y) = (coth x coth y ± l)/(coth y ± coth x)

Fórmulas de ángulo doble

senh 2x = 2 senh x cosh x

cosh 2x = cosh²x + senh²x = 2 cosh²x - 1 = 1 + 2 senh²x

tanh 2x = (2tanh x)/(1 + tanh²x)

Fórmulas del ángulo mitad

$\text{senh} \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{\cosh x - 1}{2}}$ [+ si x > 0, - si x < 0]

$\cosh \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{\cosh x + 1}{2}}$

$\tanh \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{\cosh x - 1}{\cosh x + 1}}$ [+ si x > 0, - si x < 0]

$=\frac{senh(x)}{1 + cosh(x)} = \frac{cosh(x) - 1}{senh(x)}$

Fórmulas de ángulos múltiples

senh 3x = 3 senh x + 4 senh³ x

cosh 3x = 4 cosh³ x - 3 cosh x

tanh 3x = (3 tanh x + tanh³ x)/(1 + 3 tanh²x)

senh 4x = 8 senh³ x cosh x + 4 senh x cosh x

cosh 4x = 8 cosh⁴ x - 8 cosh² x + 1

tanh 4x = (4 tanh x + 4 tanh³ x)/(1 + 6 tanh² x + tanh⁴ x)

Potencias de funciones hiperbólicas

senh² x = ½cosh 2x - ½

cosh² x = ½cosh 2x + ½

senh³ x = ¼senh 3x - ¾senh x

cosh³ x = ¼cosh 3x + ¾cosh x

senh⁴ x = 3/8 - ½cosh 2x + 1/8cosh 4x

cosh⁴ x = 3/8 + ½cosh 2x + 1/8cosh 4x

Suma, diferencia y producto de funciones hiperbólicas

senh x + senh y = 2 senh ½(x + y) cosh ½(x - y)

senh x - senh y = 2 cosh ½(x + y) senh ½(x - y)

cosh x + cosh y = 2 cosh ½(x + y) cosh ½(x - y)

cosh x - cosh y = 2 senh ½(x + y) senh ½(x - y)

senh x senh y = ½(cosh (x + y) - cosh (x - y))

cosh x cosh y = ½(cosh (x + y) + cosh (x - y))

senh x cosh y = ½(senh (x + y) + senh (x - y))

Expresión de las funciones hiperbólicas en términos de otras funciones

Si x < 0

~	$senh x = u$	$cosh x = u$	$tanh x = u$	$coth x = u$	$sech x = u$	$csch x = u$
$senh x$	$u$	$\sqrt{u^2 - 1}$	$\frac{u}{\sqrt{1 - u^2}}$	$\frac{1}{\sqrt{u^2 - 1}}$	$\frac{\sqrt{1 - u^2}}{u}$	$\frac{1}{u}$
$cosh x$	$\sqrt{1 + u^2}$	$u$	$\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$	$\frac{u}{\sqrt{u^2 - 1}}$	$\frac{1}{u}$	$\frac{\sqrt{1 + u^2}}{u}$
$tanh x$	$\frac{u}{\sqrt{1 + u^2}}$	$\frac{\sqrt{u^2 - 1}}{u}$	$u$	$\frac{1}{u}$	$\sqrt{1 - u^2}$	$\frac{1}{\sqrt{1 + u^2}}$
$coth x$	$\frac{\sqrt{1 + u^2}}{u}$	$\frac{u}{\sqrt{u^2 - 1}}$	$\frac{1}{u}$	$u$	$\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$	$\sqrt{1 + u^2}$
$sech x$	$\frac{1}{\sqrt{1 + u^2}}$	$\frac{1}{u}$	$\sqrt{1 - u^2}$	$\frac{\sqrt{u^2 - 1}}{u}$	$u$	$\frac{u}{\sqrt{1 + u^2}}$
$csch x$	$\frac{1}{u}$	$\frac{1}{\sqrt{u^2 - 1}}$	$\frac{\sqrt{1 - u^2}}{u}$	$\sqrt{u^2 - 1}$	$\frac{u}{\sqrt{1 - u^2}}$	$u$

Gráficas de funciones hiperbólicas

y = senh x

y = cosh x

y = tanh x

y = coth x

y = sech x

y = csch x

Funciones hiperbólicas inversas

Si x = senh y, entonces y = senh^-1 a se denomina el arco seno hiperbólico de x. Del mismo modo definimos las otras funciones hiperbólicas inversas. Las funciones hiperbólicas inversas son de valor múltiple y, tal como en el caso de las funciones trigonométricas inversas, nos limitamos a los valores principales para los que se pueden considerar de valor único.

La siguiente lista muestra los valores principales [a menos que se indique lo contrario] de las funciones hiperbólicas inversas expresadas en términos de funciones logarítmicas que se toman como valores reales.

$\text{senh}^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ $-\infty < x < \infty$

$\cosh^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$ $x \geq l$ [$\cosh^{-1} x > 0$ es un valor principal]

$\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \ln\frac{(1 + x)}{(1 - x)}$ $- 1 < x < 1$

$\coth^{-1} x = \frac{1}{2} \ln\frac{(x + 1)}{(x - 1)}$ $x > 1$ or $x < -1$

$\text{sech}^{-1} x = \ln(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1})$ $0 < x \leq l$ [$\text{sech}^{-1} x > 0$ es un valor principal]

$\text{csch}^{-1} x = \ln(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1})$ $x \neq 0$

Relaciones entre las funciones hiperbólicas inversas

csch^-1 x = senh^-1 (1/x)

sech^-1 x = cosh^-1 (1/x)

coth^-1 x = tanh^-1 (1/x)

senh^-1(-x) = -senh^-1x

tanh^-1(-x) = -tanh^-1x

coth^-1 (-x) = -coth^-1x

csch^-1 (-x) = -csch^-1x

Gráficas de las funciones hiperbólicas inversas

y = senh^-1x

y = cosh^-1x

y = tanh^-1x

y = coth^-1x

y = sech^-1x

y = csch^-1x

Relaciones entre las funciones hiperbólicas y las funciones trigonométricas

sen(ix) = i senh x	cos(ix) = cosh x	tan(ix) = i tanh x
csc(ix) = -i csch x	sec(ix) = sech x	cot(ix) = -i coth x
senh(ix) = i sen x	cosh(ix) = cos x	tanh(ix) = i tan x
csch(ix) = -i csc x	sech(ix) = sec x	coth(ix) = -i cot x

Periodicidad de las funciones hiperbólicas

En las siguientes expresiones k es un número entero cualquiera.

senh (x + 2kπi) = senh x csch (x + 2kπi) = csch x

cosh (x + 2kπi) = cosh x sech (x + 2kπi) = sech x

tanh (x + kπi) = tanh x coth (x + kπi) = coth x

Relación entre las funciones hiperbólicas inversas y las funciones trigonométricas inversas

sen^-1 (ix) = isenh^-1x	senh^-1(ix) = i sen^-1x
cos^-1 x = ±i cosh^-1 x	cosh^-1x = ±i cos^-1x
tan^-1(ix) = i tanh^-1x	tanh^-1(ix) = i tan^-1x
cot^-1(ix) = -i coth^-1x	coth^-1 (ix) = -i cot^-1x
sec^-1 x = ±i sech^-1x	sech^-1 x = ±i sec^-1x
csc^-1(ix) = -i csch^-1x	csch^-1(ix) = -i csc^-1x