Elipse, parábola, hipérbola

Elipse con centro $C(x_0 \textrm{ , } y_0)$ y eje mayor paralelo al eje $x$

Longitud del eje mayor $A'A = 2a$
Longitud del eje menor $B'B = 2b$
Distancia del centro $C$ al foco $F$ o $F'$ is
$c = \sqrt{a^2 - b^2}$
Excentricidad = $\epsilon = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$
Ecuación en coordenadas rectangulares:
$\frac{(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$
Ecuación en coordenadas polares si $C$ está en $O$:
$r^2 = \frac{a^2b^2}{a^2 \textrm{ sin }^2 \theta + b^2 \textrm{ cos }^2 \theta}$
Ecuación en coordenadas polares si $C$ está sobre el eje $x$ y $F'$ está en $O$:
$r = \frac{a(1 - c^2)}{1 - c \textrm{ cos } \theta}$
Si $P$ es algún punto en la elipse, $PF + PF' = 2a$
Si el eje mayor es paralelo al eje $y$, intercambiar $x$ e $y$ en la anterior o reemplace $\theta$ por $\frac{1}{2}\pi - \theta$ [o $90^\circ - \theta$]

Parábola con eje paralelo al eje $x$

Si el vértice está en $A(x_0 \textrm{ , } y_0)$ y la distancia de $A$ al foco $f$ es $a > 0$, la ecuación de la parábola es:

Si la parábola se abre hacia la derecha.

$(y - y_0)^2 = 4a(x - x_0)$

Si la parábola se abre hacia la izquierda.

$(y - y_0)^2 = -4a(x - x_0)$

Si el foco está en el origen, la ecuación en coordenadas polares es
$r = \frac{2a}{1 - \textrm{ cos } \theta}$



En caso de que el eje sea paralelo al eje $y$, intercambie $x$ e $y$ o reemplace $\theta$ por $\frac{1}{2}\pi - \theta$ [o $90^\circ - \theta$].

Cómo crear una parábola

Hipérbola con centro $C(x_0 \textrm{ , } y_0)$ y eje mayor paralelo al eje $x$

Longitud del eje mayor $A'A = 2a$
Longitud del eje menor $B'B = 2b$
Distancia del centro $C$ al foco $F$ o $F'$ es
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$
Excentricidad = $\epsilon = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}$
Ecuación en coordenadas rectangulares:
$\frac{(x - x_0)^2}{a^2} - \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$
Pendientes de asíntotas $G'H$ y $GH' = \pm \frac{b}{a}$
Ecuación en coordenadas polares si $C$ está en $O$:
$r^2 = \frac{a^2b^2}{b^2 \textrm{ cos }^2 \theta - a^2 \textrm{ sin }^2 \theta}$
Ecuación en coordenadas polares si $C$ está sobre el eje $X$ y $F'$ está en $O$:
$r = \frac{a(c^2 - 1)}{1 - \epsilon \textrm{ cos } \theta}$
Si $P$ es algún punto sobre la hipérbola, $PF - PF' = \pm 2a$ [dependiendo de la rama]
Si el eje mayor es paralelo al eje $y$, intercambiar $x$ e $y$ en la anterior o reemplace $\theta$ por $\frac{1}{2}\pi - \theta$ [o $90^\circ - \theta$].

Cómo crear una hipérbola