La regla de Horner

Por lo general, un polinomio se escribe como

$f(x)=\sum_{k=0}^{n} a_k x^k$

o, término a término, como

$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n,$

donde los números reales $a_0, a_1, \dots, a_n$ son los coeficientes del polinomio y $x$ es la variable.

Si ${a_n\ne 0},$ se dice que el polinomio es de grado $n,$ es decir, ${\deg f(x)=n},$ donde $n$ es el mayor exponente de la variable.

Cómo funciona la regla de Horner

La regla de Horner (también llamada método de Horner) es un algoritmo que simplifica la evaluación de un polinomio $f(x)$ en un cierto valor ${x=x_0}.$ El polinomio se reescribe como una cadena de expresiones de primer grado anidadas. Cada una de ellas requiere como máximo una multiplicación y una suma, y el resultado de cada paso se usa en el siguiente. El mismo procedimiento divide el polinomio entre ${x-x_0},$ por lo que también se conoce como división sintética.

Para explicarlo, escribamos el valor del polinomio en $x_0$ en su forma desarrollada:

$f(x_0)=a_0+a_1x_0+a_2x_0^2+\dots+a_nx_0^n$

Sacando $x_0$ como factor común una y otra vez, también podemos escribirlo como

$f(x_0)=a_0+x_0(a_1+x_0(a_2+x_0(a_3+\dots+{x_0(a_{n-1}+a_nx_0)\dots)))}$

El algoritmo evalúa las expresiones entre paréntesis una por una, empezando por el paréntesis más interno y avanzando hacia afuera.

Se ejecuta siguiendo estos pasos:

1. Haga ${k=n}.$
2. Haga ${b_k=a_k}.$
3. Haga ${b_{k-1}=a_{k-1}+x_0b_k}.$
4. Disminuya $k$ en $1.$
5. Si ${k\ge 1},$ vuelva al paso 3; si no, finalice.

El último número obtenido es el valor del polinomio: ${b_0=f(x_0)}.$

Por ejemplo, tomemos un polinomio de quinto grado:

$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5$

Se evalúa en ${x=x_0}$ reescribiéndolo como

$f(x_0)=a_0+x_0(a_1+x_0(a_2+x_0(a_3+{x_0(a_4+a_5x_0))))}$

Los pasos del algoritmo se pueden escribir en una tabla:

$k$	$b_k$
$5$	${b_5=a_5}$
$4$	${b_4=a_4+x_0b_5}$
$3$	${b_3=a_3+x_0b_4}$
$2$	${b_2=a_2+x_0b_3}$
$1$	${b_1=a_1+x_0b_2}$
$0$	${b_0=a_0+x_0b_1}$

Ejemplo. Evalúe el polinomio ${f(x)=x^4+3x^3+5x^2+7x+9}$ en ${x=2}.$

Solución. Como el polinomio es de cuarto grado, ${n=4}.$ Aquí ${x_0=2},$ y los coeficientes son ${a_4=1},$ ${a_3=3},$ ${a_2=5},$ ${a_1=7}$ y ${a_0=9}.$

$k$	Paso	Resultado
$4$	${b_4=1}$	$1$
$3$	${b_3=3+2\cdot 1}$	$5$
$2$	${b_2=5+2\cdot 5}$	$15$
$1$	${b_1=7+2\cdot 15}$	$37$
$0$	${b_0=9+2\cdot 37}$	$83$

Por lo tanto, ${f(2)=83}.$

El esquema de Horner

En la práctica solo se escriben los números, en una tabla de tres filas llamada esquema de Horner. En la primera fila van los coeficientes del polinomio, a la izquierda se coloca el número $x_0,$ y la tercera fila se completa de izquierda a derecha:

$\begin{array}{c|cccc|c} & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ x_0 & & x_0b_n & \cdots & x_0b_2 & x_0b_1 \\ \hline & b_n & b_{n-1} & \cdots & b_1 & b_0\end{array}$

1. Escriba los coeficientes en la primera fila, en orden decreciente de las potencias de $x.$ Si falta alguna potencia, escriba $0$ en su lugar.
2. Copie el primer coeficiente en la tercera fila: ${b_n=a_n}.$
3. Multiplique por $x_0$ el número que acaba de escribir y coloque el producto en la segunda fila de la columna siguiente.
4. Sume los dos números de esa columna y escriba la suma debajo de ellos, en la tercera fila.
5. Repita los pasos 3 y 4 hasta completar la última columna.

Para el polinomio ${x^4+3x^3+5x^2+7x+9}$ y ${x_0=2}$ del ejemplo anterior, el esquema queda así:

$\begin{array}{r|rrrr|r} & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 2 & & 2 & 10 & 30 & 74 \\ \hline & 1 & 5 & 15 & 37 & 83\end{array}$

El último número de la tercera fila es el valor del polinomio: ${f(2)=83}.$

División entre un binomio de primer grado (división sintética)

La tercera fila del esquema da algo más que el valor $f(x_0).$

Para comprobarlo, desarrolle el producto del lado derecho. El coeficiente de $x^n$ es ${b_n=a_n},$ y el coeficiente de cada potencia menor $x^k$ es ${b_k-x_0b_{k+1}},$ que es igual a $a_k$ porque ${b_k=a_k+x_0b_{k+1}}.$

Al sustituir ${x=x_0}$ en la igualdad se obtiene de nuevo ${f(x_0)=b_0}.$ Este es el teorema del residuo (o teorema del resto): el residuo de la división de un polinomio $f(x)$ entre ${x-x_0}$ es igual a $f(x_0).$

En el ejemplo anterior la tercera fila es $1;$ $5;$ $15;$ $37$ y $83,$ así que el cociente es ${x^3+5x^2+15x+37}$ y el residuo es $83$:

${x^4+3x^3+5x^2+7x+9}={(x-2)(x^3+5x^2+15x+37)}+83$

Ejemplo. Divida ${f(x)=2x^4-3x^2+5x-7}$ entre ${x+2}.$

Solución. Como ${x+2=x-(-2)},$ tenemos ${x_0=-2}.$ El polinomio no tiene término con $x^3,$ así que el coeficiente de $x^3$ es $0,$ y la primera fila es $2;$ $0;$ $-3;$ $5;$ $-7.$

$\begin{array}{r|rrrr|r} & 2 & 0 & -3 & 5 & -7 \\ -2 & & -4 & 8 & -10 & 10 \\ \hline & 2 & -4 & 5 & -5 & 3\end{array}$

El cociente es ${2x^3-4x^2+5x-5}$ y el residuo es $3$:

${2x^4-3x^2+5x-7}={(x+2)(2x^3-4x^2+5x-5)}+3$

Comprobación con el teorema del residuo: ${f(-2)}={2\cdot 16-3\cdot 4+5\cdot(-2)-7}={32-12-10-7}={3}.$

Raíces y factorización

Si el residuo $b_0$ es $0,$ entonces ${f(x_0)=0}.$ El número $x_0$ es una raíz del polinomio, y el polinomio es divisible entre ${x-x_0}$:

$f(x)=(x-x_0)\,q(x)$

Por eso el esquema de Horner es una herramienta práctica para factorizar. Si un polinomio con coeficientes enteros tiene una raíz entera, esa raíz es un divisor del término independiente $a_0.$ Así que probamos los divisores de $a_0$ uno tras otro, y cada vez el esquema de Horner muestra si el número es una raíz y da de inmediato el cociente. Si el último número de la tercera fila no es $0,$ el número no es una raíz y probamos el siguiente divisor.

Ejemplo. Factorice el polinomio ${x^3-6x^2+11x-6}.$

Solución. Los divisores del término independiente son $\pm 1;$ $\pm 2;$ $\pm 3$ y $\pm 6.$ Empezamos con ${x_0=1}$:

$\begin{array}{r|rrr|r} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 1 & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0\end{array}$

El residuo es $0,$ así que $1$ es una raíz y ${x^3-6x^2+11x-6}={(x-1)(x^2-5x+6)}.$ Continuamos con el cociente ${x^2-5x+6}$ y ${x_0=2}$:

$\begin{array}{r|rr|r} & 1 & -5 & 6 \\ 2 & & 2 & -6 \\ \hline & 1 & -3 & 0\end{array}$

El residuo es $0$ otra vez, así que ${x^2-5x+6}={(x-2)(x-3)}.$ Por lo tanto,

${x^3-6x^2+11x-6}={(x-1)(x-2)(x-3)}$

Las raíces racionales se buscan de la misma manera: si una fracción irreducible $\frac{p}{q}$ es raíz de un polinomio con coeficientes enteros, entonces $p$ divide a $a_0$ y $q$ divide al coeficiente principal $a_n.$

Divisores de la forma mx + n

El esquema de Horner también sirve para dividir entre cualquier polinomio de primer grado ${mx+n}.$ Su raíz es ${x_0=-\frac{n}{m}},$ y ${mx+n=m(x-x_0)},$ así que

$f(x)={(x-x_0)\,q(x)+b_0}={(mx+n)\cdot\frac{q(x)}{m}+b_0}$

Completamos el esquema para $x_0$ y luego dividimos los coeficientes del cociente entre $m.$ El residuo no cambia.

Ejemplo. Divida ${3x^3-5x^2+2x+3}$ entre ${2x-1}.$

Solución. La raíz del divisor es ${x_0=\frac12}.$

$\def\arraystretch{2.3}\begin{array}{r|rrr|r} & 3 & -5 & 2 & 3 \\ \dfrac12 & & \dfrac32 & -\dfrac74 & \dfrac18 \\ \hline & 3 & -\dfrac72 & \dfrac14 & \dfrac{25}{8}\end{array}$

La división entre ${x-\frac12}$ da como cociente ${3x^2-\frac72x+\frac14}$ y como residuo $\frac{25}{8}.$ Dividimos los coeficientes del cociente entre $2$:

${3x^3-5x^2+2x+3}={(2x-1)\left(\frac32x^2-\frac74x+\frac18\right)}+\frac{25}{8}$

Cuando el divisor es de segundo grado o superior, use la división larga de polinomios.

¿Por qué usar la regla de Horner?

Normalmente, cuando evaluamos un polinomio en un cierto valor, sustituimos ese valor en el polinomio y hacemos los cálculos. También podemos usar o escribir un programa de computadora para hacerlo, lo cual se vuelve una necesidad cuando se trata de polinomios complicados de grado alto.

La forma en que la computadora resuelve un problema depende principalmente de cómo usted, como programador, se lo describa. Puede diseñar su programa para que evalúe el polinomio mediante sustitución directa o mediante la división sintética según la regla de Horner. La única diferencia entre los dos enfoques es la velocidad con la que la computadora obtiene la respuesta.

La ventaja de la regla de Horner es que reduce el número de multiplicaciones. Con la sustitución directa, si cada potencia se calcula desde cero, el término $a_kx^k$ requiere $k$ multiplicaciones, así que un polinomio de grado $n$ necesita ${1+2+\dots+n}={\frac{n(n+1)}{2}}$ multiplicaciones. La regla de Horner solo necesita $n$ multiplicaciones y $n$ sumas. Para un polinomio de décimo grado son $10$ multiplicaciones en lugar de $55.$ Ambos métodos usan $n$ sumas, así que todo el ahorro está en las multiplicaciones, y para polinomios de grado alto un programa que usa la regla de Horner funciona notablemente más rápido.

Ejercicios

Resuelva los ejercicios con el esquema de Horner y después abra las respuestas. También puede comprobar cada paso con la calculadora de arriba.

1. Halle $f(3)$ para el polinomio ${f(x)=2x^3-5x^2+x-7}.$

$\begin{array}{r|rrr|r} & 2 & -5 & 1 & -7 \\ 3 & & 6 & 3 & 12 \\ \hline & 2 & 1 & 4 & 5\end{array}$

${f(3)=5}.$

2. Divida ${x^4-2x^3+4x-5}$ entre ${x-1}.$

No hay término con $x^2,$ así que la primera fila es $1;$ $-2;$ $0;$ $4;$ $-5.$

$\begin{array}{r|rrrr|r} & 1 & -2 & 0 & 4 & -5 \\ 1 & & 1 & -1 & -1 & 3 \\ \hline & 1 & -1 & -1 & 3 & -2\end{array}$

El cociente es ${x^3-x^2-x+3}$ y el residuo es $-2.$

3. Halle el residuo de la división de ${f(x)=x^5-3x^2+2}$ entre ${x+1}.$

Aquí ${x_0=-1},$ y la primera fila es $1;$ $0;$ $0;$ $-3;$ $0;$ $2.$

$\begin{array}{r|rrrrr|r} & 1 & 0 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ -1 & & -1 & 1 & -1 & 4 & -4 \\ \hline & 1 & -1 & 1 & -4 & 4 & -2\end{array}$

El residuo es $-2.$ Comprobación: ${f(-1)}={-1-3+2}={-2}.$

4. Demuestre que $-2$ es una raíz de ${3x^3+7x^2-4}$ y factorice el polinomio.

No hay término con $x,$ así que la primera fila es $3;$ $7;$ $0;$ $-4.$

$\begin{array}{r|rrr|r} & 3 & 7 & 0 & -4 \\ -2 & & -6 & -2 & 4 \\ \hline & 3 & 1 & -2 & 0\end{array}$

El residuo es $0,$ así que $-2$ es una raíz y ${3x^3+7x^2-4}={(x+2)(3x^2+x-2)}.$ Las raíces de ${3x^2+x-2}$ son $-1$ y $\frac23,$ así que ${3x^3+7x^2-4}={(x+2)(x+1)(3x-2)}.$

5. Divida ${4x^3-3x+5}$ entre ${2x+1}.$

Aquí ${x_0=-\frac12},$ y la primera fila es $4;$ $0;$ $-3;$ $5.$

$\def\arraystretch{2.3}\begin{array}{r|rrr|r} & 4 & 0 & -3 & 5 \\ -\dfrac12 & & -2 & 1 & 1 \\ \hline & 4 & -2 & -2 & 6\end{array}$

La división entre ${x+\frac12}$ da como cociente ${4x^2-2x-2}$ y como residuo $6.$ Al dividir los coeficientes del cociente entre $2,$ se obtiene ${4x^3-3x+5}={(2x+1)(2x^2-x-1)}+6.$