Rango de una matriz

Por Catalin David

El rango de una matriz con m filas y n columnas es un número r con las siguientes propiedades:

• r es menor o igual que el número más pequeño de m y n.
• r es igual al orden del menor mayor de la matriz que no es 0.

Determinación del rango de una matriz

• Escogemos un elemento de la matriz que no sea 0.
• Calculamos los menores de orden 2 que contengan ese elemento hasta que encontremos un menor que no sea 0.
• Si todos los menores de orden 2 son 0, entonces el rango de la matriz es 1.
• Si existe algún menor de orden 2 que no sea 0, calculamos los menores de orden 3 que contengan el menor anterior hasta que encontremos alguno que no sea 0.
• Si todos los menores de orden 3 son 0, entonces el rango de la matriz es 2.
• Si existe algún menor de orden 3 que no sea 0, calculamos los menores de orden 4 hasta que encontremos alguno que no sea 0.
• Continuamos haciendo esto hasta que obtengamos menores de un orden igual a el número más pequeño de entre el número de filas y el número de columnas.

Example 42
$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\ 3 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

La matriz tiene 2 filas y 3 columnas, por lo que el mayor valor posible de su rango es 2. Escogemos cualquier elemento que no sea 0.

$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & 2 & 4\\ 3 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

Formamos un menor de orden 2 que contenga a 1.
$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2} & 4\\ \color{red}{3} & \color{red}{6} & 5 \end{pmatrix}$

Calculamos este menor.
$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2}\\ \color{red}{3} & \color{red}{6} \end{vmatrix}=6 - 6 = 0$

Formamos otro menor de orden 3 que contenga a 1. $A=\begin{pmatrix} \color{blue}{1} & 2 & \color{blue}{4}\\ \color{blue}{3} & 6 & \color{blue}{5} \end{pmatrix}$

Calculamos este menor.
$\begin{vmatrix} \color{blue}{1} & \color{blue}{4}\\ \color{blue}{3} & \color{blue}{5} \end{vmatrix}= 5 - 12 = -7 \neq 0.$

El rango es 2.

Ejemplo 43
$B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ \end{pmatrix}$

Escogemos un elemento que no sea 0.
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & \color{red}{1} & 1 \end{pmatrix}$

Calculamos los menores de orden 2 que contengan este elemento. $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ \color{red}{1} & \color{red}{1} & 1\\ \color{red}{1} & \color{red}{1} & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{1} \\ \color{red}{1} & \color{red}{1} \end{vmatrix}=0 $ (porque tiene 2 filas iguales)

Todos los menores de orden 2 son 0 porque son iguales a los otros. En este caso, el rango de la matriz es 1.

Ejemplo 44
$B=\begin{pmatrix} 3 & 8 & 2\\ 2 & 1 & 1\\ 5 & 3 & 4\\ 7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

La matriz tiene 4 filas y 3 columnas, por lo que el mayor valor posible de su rango es 3.

Escogemos un elemento que no sea 0.
$\begin{pmatrix} 3 & 8 & 2\\ 2 & 1 & 1\\ 5 & 3 & \color{red}{4}\\ 7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

Calculamos un menor de orden 2 que contenga a 4.
$ \begin{pmatrix} 3 & 8 & 2\\ 2 & \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ 5 & \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ 7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ \end{vmatrix} = 4 - 3 = 1$

Formamos un menor de orden 3 que contenga el menor anterior. $\begin{pmatrix} 3 & 8 & 2\\ \color{red}{2} & \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ \color{red}{5} & \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ \color{red}{7} & \color{red}{4} & \color{red}{5} \end{pmatrix}$

Calculamos este menor.
$\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ \color{red}{5} & \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ \color{red}{7} & \color{red}{4} & \color{red}{5} \end{pmatrix}=0 $ because $ R_{1}+R_{2}=R_{3}$

Calculamos otro menor de orden 3 que contenga el menor anterior.
$\begin{pmatrix} \color{blue}{3} & \color{blue}{8} & \color{blue}{2}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{1}\\ \color{blue}{5} & \color{blue}{3} & \color{blue}{4}\\ 7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} \color{blue}{3} & \color{blue}{8} & \color{blue}{2}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{1}\\ \color{blue}{5} & \color{blue}{3} & \color{blue}{4} \end{vmatrix} =$ $12 + 12 +40 -10 -9 -64 =-19 \neq 0 $
El rango de la matriz es 3.

Ejemplo 45
$D=\begin{pmatrix} 1 & 5 & 1 & 6\\ 2 & 3 & 2 & 5\\ 6 & 1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

D es una matriz con 3 filas y 4 columnas, por lo que el mayor valor posible del rango es 3.

Escogemos un elemento que no sea 0.
$\begin{pmatrix} 1 & \color{red}{5} & 1 & 6\\ 2 & 3 & 2 & 5\\ 6 & 1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

Formamos un menor de orden 2 que contenga a 5.
$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{5} & 1 & 6\\ \color{red}{2} & \color{red}{3} & 2 & 5\\ 6 & 1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 2 & 3 \end{vmatrix}= 3 - 10 = -7 \neq 0$

Formamos un menor de orden 3 que contenga el menor anterior.
$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{5} & \color{red}{1} & 6\\ \color{red}{2} & \color{red}{3} & \color{red}{2} & 5\\ \color{red}{6} & \color{red}{1} & \color{red}{6} & 7 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{5} & \color{red}{1}\\ \color{red}{2} & \color{red}{3} & \color{red}{2}\\ \color{red}{6} & \color{red}{1} & \color{red}{6} \end{vmatrix} = 0 $ (porque tiene 2 columnas iguales)

En este caso, formamos otro menor de orden 3 que contenga el menor de orden 2 que no es 0.
$\begin{pmatrix} \color{blue}{1} & \color{blue}{5} & 1 & \color{blue}{6}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{3} & 2 & \color{blue}{5}\\ \color{blue}{6} & \color{blue}{1} & 6 & \color{blue}{7} \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \color{blue}{1} & \color{blue}{5} & \color{blue}{6}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{3} & \color{blue}{5}\\ \color{blue}{6} & \color{blue}{1} & \color{blue}{7} \end{pmatrix} = 0 $ because $ C_{1} + C_{2}=C_{3}$

Como todos los menores de orden 3 son 0, el rango de la matriz D es 2.