MenúTriángulo esférico
El triángulo esférico ABC está en la superficie de una esfera como se muestra en las figuras.
Los lados a, b, c (que son arcos de grandes círculos) se miden por sus ángulos subtendidos en el centro O de la esfera.
A, B, C son los ángulos opuestos a los lados a, b, c respectivamente.
Área del triángulo esférico $ABC = (A + B + C - \pi)R^2$
donde R es el radio de la esfera.
Relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo esférico
Ley de los Senos
$\frac{\sen a}{\sen A} = \frac{\sen b}{\sen B} = \frac{\sen c}{\sen C}$
Ley de los cosenos
cos a = cos b ⋅ cos c + sen b ⋅ sen c ⋅ cos A
cos A = - cos B ⋅ cos C + sen B ⋅ sen C ⋅ cos a
con resultados similares involucrando otros lados y ángulos.
Ley de las tangentes
$\frac{\tan(\frac{A + B}{2})}{\tan(\frac{A - B}{2})}=\frac{\tan(\frac{a + b}{2})}{\tan(\frac{a - b}{2})}$
con resultados similares involucrando otros lados y ángulos.
$\cos\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{\sen s \ \sen(s - c)}{\sen b \ \sen c}}$
donde $s = \frac{a + b + c}{2}$.
Resultados similares son válidos para otros lados y ángulos.
$\cos\frac{a}{2}=\sqrt{\frac{\cos(S - B) \cos(S - C)}{\sen B \ \sen C}}$
donde $S = \frac{A + B + C}{2}$.
Resultados similares son válidos para otros lados y ángulos.
Reglas de Napier para triángulos esféricos rectángulos
Excepto por el ángulo recto C, hay cinco partes del triángulo esférico ABC tal como se muestra en la Fig. 5-19. Estas serían a, b, A, c, B.
Supongamos que estas partes se disponen en un círculo como en la Fig. 5 - 20, donde adjuntamos el prefijo co (que indica el complemento) a la hipotenusa c y los ángulos A y B.
Cualquiera de las partes de este círculo se denomina parte media, Las dos partes vecinas se llaman partes adyacentes y las dos partes restantes se denominan partes opuestas.
Las reglas de Napier son
El seno de cualquier parte media es igual al producto de las tangentes de las partes adyacentes.
El seno de cualquier parte media es igual al producto de los cosenos de las partes opuestas.
Ejemplo:
Dado que co-A = 90° - A, co-B = 90° - B, tenemos que
sen a = tan b ⋅ tan(co-B) or sen a = tan b ⋅ cot B
sen(co-A) = cos a ⋅ cos(co-B) or cos A = cos a ⋅ sen B.
