MenúMultiplicación de matrices
Por Catalin David
Para multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz.
Algoritmo de multiplicación de matrices
Multiplicamos los elementos en las filas de la primera matriz por los elementos en las columnas de la segunda matriz.
- Multiplicamos los elementos en la primera fila por los elementos en la primera columna.
- Multiplicamos el primer elemento de la primera fila por el primer elemento de la primera columna.
- Multiplicamos el segundo elemento de la primera fila por el segundo elemento de la primera columna.
- Hacemos esto para cada elemento hasta llegar al final tanto de la primera fila de la primera matriz como de la primera columna de la segunda matriz.
- Sumamos cada uno de los resultados.
- El resultado final será el primer elemento de la primera fila de la matriz resultante.
- Multiplicamos los elementos de la primera fila de la primera matriz por los elementos de la segunda columna de la segunda matriz.
- Multiplicamos el primer elemento de la primera fila por el primer elemento de la segunda columna.
- Multiplicamos el segundo elemento de la primera fila por el segundo elemento de la segunda columna.
- Hacemos esto para cada elemento hasta llegar al final de la primera fila de la primera matriz y la segunda columna de la segunda matriz.
- Sumamos cada uno de los resultados.
- El resultado final será el segundo elemento de la primera fila de la matriz resultante.
- Usando el mismo algoritmo, multiplicamos los elementos de la primera fila de la primera matriz por los elementos de las columnas restantes de la segunda matriz. Los resultados completarán la primera fila de la matriz resultante.
- La segunda fila de la matriz resultante se completará de la misma manera, multiplicando los elementos en la segunda fila de la primera matriz por los elementos en cada columna de la segunda matriz y completando los resultados de cada adición.
- Hacemos esto para cada fila de la primera matriz hasta que la matriz resultante esté completa.
Ejemplo 7
$A= \begin{pmatrix}
1 & 2 & 2\\
3 & 1 & 1
\end{pmatrix}$
$B=\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
3 & 1 \\
1 & 5\\
\end{pmatrix}$
Notemos que la matriz A tiene 3 columnas y la matriz B tiene 3 líneas, lo que significa que podemos multiplicarlas.
$A \cdot B=$ $\begin{pmatrix} \color{red}1 &\color{blue}2 & \color{green}2\\ \color{red}3 &\color{blue}1 & \color{green}1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \color{red}4 & \color{red}2 \\ \color{blue}3 & \color{blue}1 \\ \color{green}1 & \color{green}5 \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} \color{red}{1\cdot4}+\color{blue}{2\cdot3}+\color{green}{2\cdot1} & \color{red}{1\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1}+\color{green}{2\cdot5}\\ \color{red}{3\cdot4}+\color{blue}{1\cdot3}+\color{green}{1\cdot1} & \color{red}{3\cdot2}+\color{blue}{1\cdot1}+\color{green}{1\cdot5} \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 12 & 14\\ 16 & 12\\ \end{pmatrix}$$B \cdot A = \begin{pmatrix} \color{red}4 &\color{blue}2 \\ \color{red}3 & \color{blue}1 \\ \color{red}1 & \color{blue}5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \color{red}1 &\color{red}2 & \color{red}2\\ \color{blue}3 &\color{blue}1 & \color{blue}1 \end{pmatrix}=$
$\begin{pmatrix} \color{red}{4\cdot1}+\color{blue}{2\cdot3} & \color{red}{4\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1} & \color{red}{4\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1}\\ \color{red}{3\cdot1}+\color{blue}{1\cdot3} & \color{red}{3\cdot2}+\color{blue}{1\cdot1} & \color{red}{3\cdot2}+\color{blue}{1\cdot1}\\ \color{red}{1\cdot1}+\color{blue}{5\cdot3} & \color{red}{1\cdot2}+\color{blue}{5\cdot1} & \color{red}{1\cdot2}+ \color{blue}{5\cdot1} \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 10 & 10 & 10 \\ 6 & 7 & 7 \\ 16 & 7 & 7 \end{pmatrix}$
Notemos que $A \cdot B \neq B \cdot A$
Ejemplo 8
$A=
\begin{pmatrix}
5 & 2 \\
3 & 1
\end{pmatrix}
B=
\begin{pmatrix}
4 & 6 \\
5 & 2
\end{pmatrix}$
$A \cdot B = \begin{pmatrix} \color{red}5 & \color{blue}2 \\ \color{red}3 & \color{blue}1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}4 & \color{red}6 \\ \color{blue}5 & \color{blue}2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \color{red}{5\cdot4}+\color{blue}{2\cdot5} & \color{red}{5\cdot6}+\color{blue}{2\cdot2} \\ \color{red}{3\cdot4}+\color{blue}{1\cdot5} & \color{red}{3\cdot6}+\color{blue}{1\cdot2} \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 30 & 34\\ 17 & 20 \end{pmatrix}$
$B \cdot A= \begin{pmatrix} \color{red}4 & \color{blue}6 \\ \color{red}5 & \color{blue}2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}5 & \color{red}2 \\ \color{blue}3 & \color{blue}1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \color{red}{4\cdot5}+\color{blue}{6\cdot3} & \color{red}{4\cdot2}+\color{blue}{5\cdot1} \\ \color{red}{5\cdot5}+\color{blue}{2\cdot3} & \color{red}{5\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1} \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 38 & 14\\ 31 & 12 \end{pmatrix}$
Una vez más $A \cdot B \neq B \cdot A$.
Ejemplo 9
$A=
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 3 \\
2 & 1 & 5\\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix}
B=
\begin{pmatrix}
5 & 2 & 1 \\
4 & 3 & 2 \\
2 & 1 & 5
\end{pmatrix}$
$A \cdot B = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{4} & \color{green}{3} \\ \color{red}{2} & \color{blue}{1} & \color{green}{5}\\ \color{red}{3} & \color{blue}{2} & \color{green}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{5} & \color{red}{2} & \color{red}{1} \\ \color{blue}{4} & \color{blue}{3} & \color{blue}{2} \\ \color{green}{2} & \color{green}{1} & \color{green}{5} \end{pmatrix}=$
$\begin{pmatrix}
\color{red}{1\cdot5} + \color{blue}{4\cdot4} + \color{green}{3\cdot2} & \color{red}{1\cdot2} + \color{blue}{4\cdot3} + \color{green}{3\cdot1} & \color{red}{1\cdot1} + \color{blue}{4\cdot2} + \color{green}{3\cdot5} \\
\color{red}{2\cdot5} + \color{blue}{1\cdot4} + \color{green}{5\cdot2} & \color{red}{2\cdot2} + \color{blue}{1\cdot3} + \color{green}{5\cdot1} & \color{red}{2\cdot1} + \color{blue}{1\cdot2} + \color{green}{5\cdot5}\\
\color{red}{3\cdot5} + \color{blue}{2\cdot4} + \color{green}{1\cdot2} &
\color{red}{3\cdot2} + \color{blue}{2\cdot3} + \color{green}{1\cdot1} &
\color{red}{3\cdot1} + \color{blue}{2\cdot2} + \color{green}{1\cdot5}
\end{pmatrix}=$
$=\begin{pmatrix}
27 & 17 & 24\\
24 & 12 & 29\\
25 & 13 & 12
\end{pmatrix}$
$B \cdot A =
\begin{pmatrix}
\color{red}{5} & \color{blue}{2} & \color{green}{1}\\
\color{red}{4} & \color{blue}{3} & \color{green}{2}\\
\color{red}{2} & \color{blue}{1} & \color{green}{5}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\color{red}{1} & \color{red}{4} & \color{red}{3} \\
\color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{5} \\
\color{green}{3} & \color{green}{2} & \color{green}{1}
\end{pmatrix}=$
$\begin{pmatrix}
\color{red}{5\cdot1} + \color{blue}{2\cdot2} + \color{green}{1\cdot3} & \color{red}{5\cdot4} + \color{blue}{2\cdot1} + \color{green}{1\cdot2} & \color{red}{5\cdot3} + \color{blue}{2\cdot5} + \color{green}{1\cdot1} \\
\color{red}{4\cdot1} + \color{blue}{3\cdot2} + \color{green}{2\cdot3} & \color{red}{4\cdot4} + \color{blue}{3\cdot1} + \color{green}{2\cdot2} & \color{red}{4\cdot3} + \color{blue}{3\cdot5} + \color{green}{2\cdot1}\\
\color{red}{2\cdot1} + \color{blue}{1\cdot2} + \color{green}{5\cdot3} &
\color{red}{2\cdot4} + \color{blue}{1\cdot1} + \color{green}{5\cdot2} &
\color{red}{2\cdot3} + \color{blue}{1\cdot5} + \color{green}{5\cdot1}
\end{pmatrix}=$
$=\begin{pmatrix}
12 & 24 & 26\\
16 & 23 & 29\\
19 & 19 & 16
\end{pmatrix}$
Una vez más $A \cdot B \neq B \cdot A$.
Ejemplo 10
$A= \begin{pmatrix}
5 & 2\\
3 & 1\\
\end{pmatrix}
I_{2}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}$
$A \cdot B = \begin{pmatrix} \color{red}{5} & \color{blue}{2}\\ \color{red}{3} & \color{blue}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{0} \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{1} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \color{red}{5\cdot1}+\color{blue}{2\cdot0} & \color{red}{5\cdot0}+\color{blue}{2\cdot1} \\ \color{red}{3\cdot1}+\color{blue}{1\cdot0} & \color{red}{3\cdot0}+\color{blue}{1\cdot1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2\\ 3 & 1 \end{pmatrix}$
$B \cdot A = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{0} \\ \color{red}{0} & \color{blue}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{5} & \color{red}{2} \\ \color{blue}{3} & \color{blue}{1} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \color{red}{1\cdot5}+\color{blue}{0\cdot3} & \color{red}{1\cdot2}+\color{blue}{0\cdot1} \\ \color{red}{0\cdot5}+\color{blue}{1\cdot3} & \color{red}{0\cdot2}+\color{blue}{1\cdot1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2\\ 3 & 1 \end{pmatrix}$
Note que $A \cdot I_{2} = I_{2} \cdot A=A$.
Ejemplo 11
$A=\begin{pmatrix}
1 & 4 & 3 \\
2 & 1 & 5\\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix}
I_{3}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$
$A \cdot B = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{4} & \color{green}{3} \\ \color{red}{2} & \color{blue}{1} & \color{green}{5}\\ \color{red}{3} & \color{blue}{2} & \color{green}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{0} & \color{red}{0} \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{1} & \color{blue}{0} \\ \color{green}{0} & \color{green}{0} & \color{green}{1} \end{pmatrix}=$
$\begin{pmatrix}
\color{red}{1\cdot1} + \color{blue}{4\cdot0} + \color{green}{3\cdot0} & \color{red}{1\cdot0} + \color{blue}{4\cdot1} + \color{green}{3\cdot0} & \color{red}{1\cdot0} + \color{blue}{4\cdot0} + \color{green}{3\cdot1} \\
\color{red}{2\cdot1} + \color{blue}{1\cdot0} + \color{green}{5\cdot0} & \color{red}{2\cdot0} + \color{blue}{1\cdot1} + \color{green}{5\cdot0} & \color{red}{2\cdot0} + \color{blue}{1\cdot0} + \color{green}{5\cdot1}\\
\color{red}{3\cdot1} + \color{blue}{2\cdot0} + \color{green}{1\cdot0} &
\color{red}{3\cdot0} + \color{blue}{2\cdot1} + \color{green}{1\cdot0} &
\color{red}{3\cdot0} + \color{blue}{2\cdot0} + \color{green}{1\cdot1}
\end{pmatrix}=$
$=\begin{pmatrix}
1 & 4 & 3\\
2 & 1 & 5\\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix}$
$B \cdot A = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{0} & \color{green}{0} \\ \color{red}{0} & \color{blue}{1} & \color{green}{0}\\ \color{red}{0} & \color{blue}{0} & \color{green}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{4} & \color{red}{3} \\ \color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{5} \\ \color{green}{3} & \color{green}{2} & \color{green}{1} \end{pmatrix}=$
$\begin{pmatrix}
\color{red}{1\cdot1} + \color{blue}{0\cdot2} + \color{green}{0\cdot2} & \color{red}{1\cdot4} + \color{blue}{0\cdot1} + \color{green}{0\cdot2} & \color{red}{1\cdot3} + \color{blue}{0\cdot5} + \color{green}{0\cdot1} \\
\color{red}{0\cdot1} + \color{blue}{1\cdot2} + \color{green}{0\cdot3} & \color{red}{0\cdot4} + \color{blue}{1\cdot1} + \color{green}{0\cdot2} & \color{red}{0\cdot3} + \color{blue}{1\cdot5} + \color{green}{0\cdot1}\\
\color{red}{0\cdot1} + \color{blue}{0\cdot2} + \color{green}{1\cdot3} &
\color{red}{0\cdot4} + \color{blue}{0\cdot1} + \color{green}{1\cdot2} &
\color{red}{0\cdot3} + \color{blue}{0\cdot5} + \color{green}{1\cdot1}
\end{pmatrix}
=$
$=\begin{pmatrix}
1 & 4 & 3\\
2 & 1 & 5\\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix}$
De nuevo $A \cdot I_{3} = I_{3} \cdot A = A$.
Para concluir:
- Generalmente, la multiplicación de matrices no es conmutativa.
- $A\cdot I_{n} = I_{n} \cdot A = A$ para cualquier matriz A con n columnas.
