Conjunto

Un conjunto es un concepto fundamental en las matemáticas modernas, lo que significa que el término en sí no está definido.
Sin embargo, el conjunto se puede imaginar como una colección de diferentes elementos. Toda la matemática moderna se basa en este concepto, por lo que es importante conocer y comprender la teoría de conjuntos.
Los conjuntos usualmente se denotan con letras latinas mayúsculas $A, B, C...$. Los elementos del conjunto están escritos dentro de llaves $\lbrace$ y $\rbrace$.

Los conjuntos pueden ser especificados por:
1. Sus elementos $A=\lbrace 1,2,3,4,5 \rbrace$
2. Las reglas satisfechas por los elementos del conjunto $A=\lbrace x\in \mathbb{N} \vert x<6\rbrace$

El conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacío y se denota $ \ emptyset $ o $ \ lbrace \ rbrace $.

Relaciones entre conjuntos

Conjuntos iguales

Dos conjuntos $A$ y $B$ son iguales si y solo si contienen los mismos elementos; si los elementos del primer conjunto son los mismos que los del segundo, y viceversa.

$A=B \overset{def}{\Leftrightarrow} (\forall x)(x\in A \Leftrightarrow x\in B)$

Dado que la relación de conjuntos iguales es transitiva, reflexiva y simétrica, se le refiere como una relación de equivalencia.

Subconjunto

Dígase que $A$ es un subconjunto de $B$ si y solo si cada elemento del conjunto $A$ también es un elemento del conjunto $B$.

$A \subseteq B \overset{def}{\Leftrightarrow} (\forall x)(x \in A \Rightarrow x \in B)$

Dígase que $B$ es un superconjunto del conjunto $A$, denotado por $B \supseteq A$.
Si el conjunto $A$ es un subconjunto del conjunto $B$ y si el conjunto $B$ contiene al menos un elemento que no pertenece al conjunto $A$, entonces decimos que el conjunto $A$ es un subconjunto propio del conjunto $B$, denotado por $A \subset B$, o que el conjunto $B$ es un superconjunto propio del conjunto $A$, denotado por $B \supset A$.

La relación $\subset$ es transitiva: $(A \subset B) \wedge (B \subset C) \Rightarrow A \subset C$.

El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto.

Operaciones entre conjuntos

Unión de dos conjuntos

La unión de dos conjuntos, $A$ y $B$, es un conjunto de todos los elementos que pertenecen a al menos un conjunto $A$ o $B$.

$A \cup B \overset{def}{=} \lbrace x \vert x \in A \vee x \in B \rbrace$

La operación de unión de conjuntos es:
1. idempotente: $A\cup A=A$
2. conmutativa: $A \cup B = B \cup A$
3. asociativa: $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

Intersección de conjuntos

La intersección de dos conjuntos, $A$ y $B$, es un conjunto que contiene todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos $A$ y $B$.

$A \cap B\overset{def}{=}\lbrace x \vert x\in A \wedge x\in B \rbrace$

La operación de intersección de conjuntos es:
1. idempotente: $A\cap A=A$
2. conmutativa: $A \cap B = B \cap A$
3. asociativa: $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

Diferencia de dos conjuntos

La diferencia de dos conjuntos, $A$ y $B$, es un conjunto que contiene todos los elementos del conjunto $A$ que no están contenidas en el conjunto $B$.

$A \setminus B \overset{def}{=} \lbrace x \vert x \in A \wedge x \notin B \rbrace$

Diferencia simétrica

La diferencia simétrica de dos conjuntos, $A$ y $B$, es un conjunto que contiene todos los elementos que pertenecen solo a uno de los conjuntos $A$ y $B$.

$A \bigtriangleup B \overset{def}{=} (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$

Es obvio que la operación $\bigtriangleup$ es conmutativa.

Complemento de un conjunto

Asumamos $A \subset B$. El complemento de el conjunto $A$ relativo al conjunto $B$ es un conjunto que contiene todos los elementos del conjunto $B$ que no pertenecen al conjunto $A$.

$C_B(A)\overset{def}{=}\lbrace x\vert x\in B \wedge x\notin A\rbrace$

Conjunto potencia

El conjunto potencia del conjunto $A$ es un conjunto de todos los subconjuntos de $A$, incluyendo el conjunto vacío y el propio conjunto $A$.

$P(A) \overset{def}{=} \lbrace B \vert B \subset A \rbrace$

Ejemplo: El conjunto potencia del conjunto $A=\lbrace 1,2,3 \rbrace $ es un conjunto $P(A)=\lbrace \emptyset ,\lbrace 1 \rbrace , \lbrace 2\rbrace, \lbrace 3 \rbrace , \lbrace 1,2 \rbrace , \lbrace 1,3 \rbrace , \lbrace 2,3 \rbrace , \lbrace 1,2,3 \rbrace \rbrace $

Producto cartesiano

El producto cartesiano de dos conjuntos $A$ y $B$ es un conjunto que contiene todos los pares ordenados $(x,y)$ donde $x$ es un elemento del conjunto $A$, y $y$ es un elemento del conjunto $B$.

$A \times B \overset{def}{=} \lbrace(x,y) \vert x \in A \wedge y \in B \rbrace $

Propiedades de las operaciones de conjuntos

Ley distributiva
$A \cup (B \cap C)=(A \cup B)\cap (A \cup B)$
$A \cap (B \cup C)=(A \cap B)\cup (A \cap B)$

Ley de absorción
$A\cup(A\cap B)=A$
$A\cap(A\cup B)=A$

Leyes de Morgan
$C_U(A\cup B)=C_U(A)\cap C_U(B)$
$C_U(A\cap B)=C_U(A)\cup C_U(B)$

Relaciones y funciones

Relaciones

Si $A$ y $B$ son dos conjuntos no vacíos, entonces cada subconjunto $\rho$ de $A\times B$ se llama relación binaria sobre un conjunto $A\times B$.
Si $(a,b)\in \rho$, decimos que $a$ y $b$ están en relación, y se denotan por $a\rho b$.

Funciones

Una relación binaria $f\subset X\times Y$ se llama función si y solo si para cada elemento $x\in X$ existe exactamente un $y\in Y$ para el cual $(x,y)\in f$ es válida, p.ej.. $(\forall x\in X)(\exists !y\in Y)(x,y)\in f$

Denotado en símbolos: $f:X\longmapsto Y$ o $X\overset{f}{\longmapsto} Y$
Si $(x,y)\in f$, escribimos $f(x)=y$. Un elemento $x$ es llamado un original, y $y$ una imagen.
El conjunto $X$ se llama dominio, y el conjunto $Y$ codominio de la función $f$.
Tres tipos especiales de funciones son de particular importancia en matemáticas: sobreyección, inyección y bijección.

Inyección

Una función $f:X\longmapsto Y$ es inyectiva o función "1-1" si y solo si para cada elemento $x\in X$ existe exactamente un elemento $y\in Y$ para el cual $f(x)=y$ es válida.

$f:X\overset{1-1}{\longmapsto}Y\overset{def}{=}(\forall x_1,x_2\in X)(x_1\neq x_2\Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2))$

Sobreyección

Una función $f:X\longmapsto Y$ es sobreyectiva o función "onto" si y solo si para cada elemento $y\in Y$ existe un elemento $x\in X$ para el cual $f(x)=y$ es cierta.

$f:X\overset{onto}{\longmapsto}Y\overset{def}{=}(\forall y\in Y)(\exists x\in X)(f(x)=y)$

Biyección

Una función $f:X\longmapsto Y$ es biyectiva si es tanto inyectiva como sobreyectiva.