Funciones y límites

Las funciones están por todas partes en matemáticas: el área de un cuadrado depende de su lado, el precio de un viaje en taxi depende de la distancia, la altura de una pelota lanzada depende del tiempo. En esta lección respondemos a cuatro preguntas: qué es una función, cómo se escriben las funciones, qué números podemos introducir en una función (su dominio) y qué valores salen de ella (su rango). Al final hacemos un primer acercamiento a los límites: qué le ocurre a una función cerca de un punto, incluso de un punto en el que no está definida.

En esta página: Qué es una función · Notación de funciones · Dominio · Rango · Funciones definidas por partes · Primer acercamiento a los límites · Problemas resueltos · Errores frecuentes · Ejercicios

¿Qué es una función?

La variable $x$ se llama variable independiente (o argumento): su valor lo elegimos nosotros. La variable $y$ es la variable dependiente: su valor depende del valor elegido para $x.$ Puedes imaginar una función como una máquina: introduces un número $x,$ y la máquina te devuelve un solo número $y.$

Ejemplo. La ecuación ${y=4x+1}$ define $y$ como función de $x\text{:}$ para cada $x$ multiplicamos por 4 y sumamos 1, y siempre obtenemos exactamente un número.

$x$	${y=4x+1}$
$2$	$9$
$1$	$5$
$0$	$1$
${-\frac14}$	$0$
$\sqrt3$	${4\sqrt3+1}$

Una relación que no es una función. En la ecuación ${y=\pm\sqrt x}$ la magnitud $y$ no es función de $x,$ porque cada $x$ positivo da dos valores de $y.$ Para ${x=4}$ obtenemos ${y=\pm\sqrt4},$ es decir, ${y=2}$ e ${y=-2}.$ La misma relación se puede escribir como ${y^2=x}.$

Si nos quedamos solo con la raíz no negativa, ${y=\sqrt x},$ volvemos a tener una función: para ${x=4}$ da solo ${y=2}.$

La prueba de la recta vertical

La gráfica de una función es el conjunto de todos los puntos $(x,\,y)$ del plano cartesiano en los que $x$ está en el dominio e $y$ es el valor de la función en $x.$ Como a cada valor de $x$ le corresponde un solo valor de $y,$ una recta vertical puede cortar la gráfica de una función como máximo una vez:

La recta ${x=4}$ corta la gráfica de ${y=\sqrt x}$ una vez, pero corta la curva ${y^2=x}$ dos veces.

Observa que la definición no prohíbe que dos valores distintos de $x$ den el mismo valor de $y.$ Para ${y=x^2},$ tanto ${x=2}$ como ${x=-2}$ dan ${y=4},$ y aun así ${y=x^2}$ es una función: a cada valor de $x$ le corresponde un solo valor de $y.$ (Una recta horizontal sí puede cortar una gráfica muchas veces.)

Notación de funciones

Las funciones se nombran con letras. Si usamos la letra $f$ para una función, escribimos

$$y=f(x)$$

y lo leemos «$y$ igual a $f$ de $x$». La expresión $f(x)$ es el valor de la función $f$ en $x$. Así, en lugar de ${y=x^2}$ podemos escribir ${f(x)=x^2},$ y las dos expresiones representan la misma función.

La letra más usada es $f,$ pero cualquier letra o símbolo puede nombrar una función: ${y=F(x)},$ ${y=g(x)},$ ${y=h(x)},$ ${y=\varphi(x)}.$ Usar letras distintas es útil cuando trabajamos con varias funciones a la vez.

La notación $f(x)$ no significa «$f$ por $x$». Es el número que da la función $f$ para la entrada $x.$

Cómo evaluar una función

Para hallar $f(a),$ sustituye cada $x$ de la fórmula por $a,$ escrito entre paréntesis, y simplifica.

Ejemplo 1. Sea ${\varphi(x)=\frac{1}{x^3-1}}.$ Entonces

${\varphi\left(\sqrt[3]{7}\right)}={\frac{1}{\left(\sqrt[3]{7}\right)^3-1}}={\frac{1}{7-1}}={\frac16}$

pero $\varphi(1)$ no existe: al sustituir obtenemos ${\frac{1}{1^3-1}},$ y el denominador es 0. No se puede dividir entre 0, así que la función $\varphi$ no está definida en ${x=1}.$

Ejemplo 2. Sea ${F(x)=2x^2-1}.$ Dentro del paréntesis podemos poner un número, otra letra o una expresión completa:

${F(3)=2\cdot 3^2-1=17}$

${F(d)=2d^2-1}$

${F(t-1)}={2(t-1)^2-1}={2(t^2-2t+1)-1}={2t^2-4t+1}$

Ejemplo 3. La letra de la variable no importa. Las fórmulas

${g(c)=c^2-4c}$   y   ${g(x)=x^2-4x}$

definen la misma función: «elevar el número al cuadrado y restarle 4 veces el número». Por ejemplo, las dos dan ${g(5)=25-20=5}.$

Dominio de una función

Dominio natural

A veces el dominio se da junto con la fórmula, por ejemplo ${f(x)=x^2},$ ${0\le x\le 5}.$ Si una función está dada por una fórmula y no se indica el dominio, entonces el dominio son todos los números reales para los que la fórmula tiene sentido y da un valor real. Este conjunto se llama dominio natural de la función. En la práctica, quitamos de los números reales:

• los números que hacen que un denominador sea 0;
• los números que hacen negativa la expresión dentro de una raíz cuadrada (o de cualquier raíz de índice par).

Más adelante verás otras condiciones de este tipo; por ejemplo, el argumento de un logaritmo debe ser positivo. Los dominios se escriben con intervalos: «todos los números reales excepto 1» es ${(-\infty,\,1)\cup(1,\,+\infty)}.$

Ejemplo 4. ${y=\frac{x+1}{x-1}}.$ El denominador es 0 en ${x=1},$ así que el dominio natural son todos los números reales excepto 1: ${(-\infty,\,1)\cup(1,\,+\infty)}.$

Ejemplo 5. ${y=\sqrt{x-2}}.$ Necesitamos ${x-2\ge 0},$ es decir, ${x\ge 2}.$ El dominio es ${[2,\,+\infty)}.$ El número 2 pertenece al dominio, porque ${\sqrt0=0}.$

Ejemplo 6. Una fracción dentro de otra fracción:

${h(x)=\dfrac{1}{\dfrac{x-1}{x-3}}}$

La fracción interior necesita ${x\ne 3}.$ La fracción exterior necesita que su denominador sea distinto de 0: ${\frac{x-1}{x-3}\ne 0},$ es decir, ${x\ne 1}.$ Por tanto, el dominio es

$$(-\infty,\,1)\cup(1,\,3)\cup(3,\,+\infty)$$

Para estos valores de $x$ podemos simplificar: ${h(x)=\frac{x-3}{x-1}}.$ Pero la fórmula simplificada da 0 en ${x=3},$ mientras que $h(3)$ no existe. Primero halla el dominio y después simplifica.

Ejemplo 7. ${h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}.$ El dominio son todos los números reales excepto 2. Para ${x\ne 2}$ podemos simplificar la fracción:

${h(x)}={\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}}={x+2,\quad x}\ne{2}$

Por tanto, la gráfica de $h$ es la recta ${y=x+2}$ sin el punto $(2,\,4).$ Volveremos a esta función en el apartado «Primer acercamiento a los límites».

Rango de una función

En una gráfica, el dominio es la «sombra» de la gráfica sobre el eje $x,$ y el rango es su sombra sobre el eje $y.$ Por ejemplo, ${y=\sqrt{4-x^2}}$ es la mitad superior de la circunferencia con centro en el origen y radio 2. Su dominio es ${[-2,\,2]}$ y su rango es $[0,\,2].$

Para hallar el rango a partir de una fórmula, pregúntate: ¿para qué valores de $y$ la ecuación ${f(x)=y}$ tiene una solución $x$ en el dominio?

Ejemplo 8. ${f(x)=x^2}.$ Un cuadrado nunca es negativo, y todo número ${y\ge 0}$ es un cuadrado: ${y=\left(\sqrt y\right)^2}.$ Por tanto, el rango es ${[0,\,+\infty)}.$

Ejemplo 9. ${y=4x+1}.$ Para todo número $y$ la ecuación ${4x+1=y}$ tiene la solución ${x=\frac{y-1}{4}}.$ El rango son todos los números reales.

Ejemplo 10. ${y=\frac{x+1}{x-1}}.$ Despejamos $x\text{:}$

${y(x-1)}={x+1\ \Rightarrow\ yx-y}={x+1\ \Rightarrow\ x(y-1)}={y+1}$

Si ${y\ne 1},$ entonces ${x=\frac{y+1}{y-1}},$ y este valor de $x$ nunca es igual a 1 (de ${\frac{y+1}{y-1}=1}$ obtendríamos ${y+1=y-1},$ lo cual es imposible). Si ${y=1},$ la ecuación queda ${0=2},$ que no tiene solución. Por tanto, el rango son todos los números reales excepto 1: ${(-\infty,\,1)\cup(1,\,+\infty)}.$

Ejemplo 11. La función ${h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}$ del ejemplo 7 es igual a ${x+2}$ para ${x\ne 2}.$ Todo número $y$ se alcanza en ${x=y-2},$ excepto ${y=4},$ que necesita ${x=2},$ y 2 no está en el dominio. Por tanto, el rango son todos los números reales excepto 4: ${(-\infty,\,4)\cup(4,\,+\infty)}.$

Funciones definidas por partes

Una función puede estar dada por fórmulas distintas en distintas partes de su dominio. Una función así se llama función definida por partes (también por tramos o a trozos). El ejemplo más conocido es el valor absoluto:

$$|x|=\begin{cases}x, & x\ge 0\\ -x, & x\lt 0\end{cases}$$

Para ${x\ge 0}$ usamos la primera fórmula: ${|5|=5}.$ Para ${x\lt 0}$ usamos la segunda: ${|{-3}|=-(-3)=3}.$ La gráfica está formada por dos semirrectas que se unen en el origen. El dominio de $|x|$ son todos los números reales y su rango es ${[0,\,+\infty)}.$

Para evaluar una función definida por partes, comprueba primero qué condición cumple el valor de $x$ dado y usa solo la fórmula correspondiente. Más sobre $|x|\text{:}$ valores absolutos.

Primer acercamiento a los límites

Volvamos a la función ${h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}$ del ejemplo 7. El valor $h(2)$ no existe: en ${x=2}$ tanto el numerador como el denominador valen 0. Pero podemos calcular $h(x)$ para números $x$ cercanos a 2:

$x$	$h(x)$
$1{,}9$	$3{,}9$
$1{,}99$	$3{,}99$
$1{,}999$	$3{,}999$
$2$	no está definido
$2{,}001$	$4{,}001$
$2{,}01$	$4{,}01$
$2{,}1$	$4{,}1$

Cuanto más se acerca $x$ a 2, por cualquiera de los dos lados, más se acerca $h(x)$ a 4. Decimos que el límite de $h(x)$ cuando $x$ tiende a 2 es 4, y escribimos

$$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=4$$

En la gráfica: cuando $x$ se acerca a 2 por cualquiera de los dos lados, los puntos de la gráfica se acercan al círculo vacío en $(2,\,4),$ aunque el propio punto $(2,\,4)$ no pertenece a la gráfica. Un límite describe los valores de una función cerca de un punto, no en el punto. Podemos confirmar este límite simplificando: para ${x\ne 2}$ tenemos ${h(x)=x+2},$ y ${x+2}$ se acerca a ${2+2=4}.$

El límite de una sucesión se explica en la lección «Límites de sucesiones».

Problemas resueltos

Problema 1. ¿Cuáles de estas ecuaciones definen $y$ como función de $x?$ a) ${y=3x-5};$   b) ${y^2=x+1};$   c) ${y=x^2-1};$   d) ${x^2+y^2=25}$

Solución: a) Sí: cada $x$ da un solo número ${3x-5}.$ b) No: para ${x=3}$ obtenemos ${y^2=4},$ así que ${y=2}$ o ${y=-2}.$ c) Sí: cada $x$ da un solo número ${x^2-1}.$ Está permitido que ${x=1}$ y ${x=-1}$ den el mismo valor ${y=0}.$ d) No: para ${x=3}$ obtenemos ${y^2=16},$ así que ${y=4}$ o ${y=-4}.$ Es una circunferencia, y una recta vertical puede cortarla dos veces.

Problema 2. Sea ${f(x)=x^2-3x+2}.$ Halla $f(0),$ ${f(-2)}$ y ${f(a+1)}.$

Solución:

${f(0)=0-0+2=2}$

${f(-2)}={(-2)^2-3\cdot(-2)+2}={4+6+2}={12}$

${f(a+1)}={(a+1)^2-3(a+1)+2}={a^2+2a+1-3a-3+2}={a^2-a}$

Problema 3. Halla el dominio de ${f(x)=\frac{2x+1}{x^2-9}}.$

Solución: El denominador no puede ser 0: ${x^2-9=0}$ para ${x=3}$ y ${x=-3}.$ El dominio es

$$(-\infty,\,-3)\cup(-3,\,3)\cup(3,\,+\infty)$$

Problema 4. Halla el dominio de ${g(x)=\sqrt{6-2x}}.$

Solución: Necesitamos ${6-2x\ge 0},$ es decir, ${2x\le 6},$ así que ${x\le 3}.$ El dominio es ${(-\infty,\,3]}.$

Problema 5. Halla el dominio de ${h(x)=\frac{\sqrt{x+4}}{x-1}}.$

Solución: Hay dos condiciones: ${x+4\ge 0}$ (por la raíz cuadrada) y ${x-1\ne 0}$ (por el denominador). Así que ${x\ge -4}$ y ${x\ne 1}.$ El dominio es ${[-4,\,1)\cup(1,\,+\infty)}.$

Problema 6. Halla el rango de a) ${f(x)=x^2+3};$   b) ${g(x)=2-\sqrt x}.$

Solución: a) ${x^2\ge 0},$ así que ${x^2+3\ge 3}.$ Todo ${y\ge 3}$ se alcanza: ${x=\sqrt{y-3}}$ da ${f(x)=y}.$ El rango es ${[3,\,+\infty)}.$
b) El dominio es ${[0,\,+\infty)}.$ La raíz $\sqrt x$ toma todos los valores ${\ge 0},$ así que ${2-\sqrt x}$ toma todos los valores ${\le 2}.$ El rango es ${(-\infty,\,2]}.$

Problema 7. Halla el rango de ${y=\frac{2x-1}{x+3}}.$

Solución: El dominio son todos los números reales excepto ${-3}.$ Despejamos $x\text{:}$

${y(x+3)}={2x-1\ \Rightarrow\ yx+3y}={2x-1\ \Rightarrow\ x(y-2)}={-3y-1}$

Si ${y\ne 2},$ entonces ${x=\frac{3y+1}{2-y}}$ (nunca es ${-3}\text{:}$ ${\frac{3y+1}{2-y}=-3}$ da ${1=-6}$). Si ${y=2},$ obtenemos ${0=-7},$ sin solución. El rango son todos los números reales excepto 2: ${(-\infty,\,2)\cup(2,\,+\infty)}.$

Problema 8. Halla ${f(-3)},$ $f(1)$ y $f(2)$ para la función

$$f(x)=\begin{cases}2x+1, & x\lt 1\\ x^2, & x\ge 1\end{cases}$$

Solución: Como ${-3\lt 1},$ usamos la primera fórmula: ${f(-3)}={2\cdot(-3)+1}={-5.}$ Para ${x=1}$ se cumple la condición ${x\ge 1},$ así que ${f(1)=1^2=1}.$ Por último, ${f(2)=2^2=4}.$

Problema 9. Sea ${f(x)=x^2}.$ Simplifica ${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ para ${h\ne 0}$ (aquí $h$ es un número, no una función).

Solución:

${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac{(x+h)^2-x^2}{h}}={\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}}={\frac{h(2x+h)}{h}}={2x+h}$

Cuando $h$ tiende a 0, esta expresión tiende a $2x.$ Ese límite es la derivada de $x^2.$

Problema 10. Estima ${\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}}$ con una tabla de valores y después compruébalo simplificando.

Solución: Para ${x=2{,}9};$ $2{,}99;$ $3{,}01$ y $3{,}1$ la fracción vale, respectivamente, $5{,}9;$ $5{,}99;$ $6{,}01$ y $6{,}1.$ Parece que el límite es 6. Comprobación: para ${x\ne 3}$

${\frac{x^2-9}{x-3}}={\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}}={x+3,}$   y   ${x+3}$ tiende a ${3+3=6}.$

Errores frecuentes

Error	Incorrecto	Correcto
Sustituir un número negativo sin paréntesis	${f(x)=x^2},$ ${f(-3)=-3^2=-9}$	${f(-3)=(-3)^2=9}$
Confundir ${f(x+1)}$ con ${f(x)+1}$	${f(x)=x^2},$ ${f(x+1)=x^2+1}$	${f(x+1)}={(x+1)^2}={x^2+2x+1}$
Confundir $f(2x)$ con $2f(x)$	${f(x)=x^2},$ ${f(2x)=2x^2}$	${f(2x)=(2x)^2=4x^2}$
Simplificar antes de hallar el dominio	${\frac{x^2-4}{x-2}=x+2},$ así que el dominio son todos los números reales	El dominio son todos los números reales excepto 2
Excluir el valor de $x$ en el que la raíz vale 0	${\sqrt{x-2}}\text{:}$ dominio ${x\gt 2}$	${\sqrt{x-2}}\text{:}$ dominio ${x\ge 2}$
Dos valores de $x$ con el mismo valor de $y$	${y=x^2}$ no es una función, porque ${(-2)^2=2^2}$	${y=x^2}$ es una función: a cada $x$ le corresponde un solo valor de $y$
Confundir el límite con el valor en el punto	$h(2)$ no existe, así que ${\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}}$ no existe	${\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=4}$

Ejercicios

Inténtalo primero y después abre la respuesta.

1. Sea ${f(x)=3x-7}.$ Halla $f(2),$ ${f(-1)}$ y $f(0).$

${f(2)=-1},$ ${f(-1)=-10},$ ${f(0)=-7}.$

2. Sea ${g(x)=x^2+x}.$ Halla ${g(-3)}$ y ${g(t+1)}.$

${g(-3)=9-3=6}$ y ${g(t+1)}={(t+1)^2+(t+1)}={t^2+3t+2.}$

3. ¿Es $y$ función de $x$ si ${x=y^2-1}?$

No. Para ${x=3}$ obtenemos ${y^2=4},$ así que ${y=2}$ o ${y=-2}\text{:}$ un mismo valor de $x$ da dos valores de $y.$

4. Halla el dominio de ${y=\frac{5}{x+4}}.$

Todos los números reales excepto ${-4}\text{:}$ ${(-\infty,\,-4)\cup(-4,\,+\infty)}.$

5. Halla el dominio de ${y=\sqrt{2x+6}}.$

${2x+6\ge 0},$ así que ${x\ge -3}.$ El dominio es ${[-3,\,+\infty)}.$

6. Halla el dominio de ${y=\frac{x}{x^2-5x+6}}.$

${x^2-5x+6}={(x-2)(x-3)}\ne{0,}$ así que el dominio es ${(-\infty,\,2)\cup(2,\,3)\cup(3,\,+\infty).}$

7. Halla el dominio de ${y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}}.$

La raíz necesita ${x-1\ge 0}$ y el denominador necesita ${\sqrt{x-1}\ne 0},$ así que ${x-1\gt 0}.$ El dominio es ${(1,\,+\infty)}.$

8. Halla el rango de ${y=4-x^2}.$

${x^2\ge 0},$ así que ${4-x^2\le 4},$ y todo ${y\le 4}$ se alcanza en ${x=\sqrt{4-y}}.$ El rango es ${(-\infty,\,4]}.$

9. Halla el rango de ${y=\frac{x}{x-2}}.$

${y(x-2)=x}$ da ${x(y-1)=2y}.$ Para ${y\ne 1}\text{:}$ ${x=\frac{2y}{y-1}}$ (nunca es 2, porque ${2y=2y-2}$ es imposible); para ${y=1}\text{:}$ ${0=2},$ sin solución. El rango es ${(-\infty,\,1)\cup(1,\,+\infty)}.$

10. Halla ${f(-2)},$ $f(0)$ y $f(3)$ si $f(x)=\begin{cases}x^2, & x\lt 0\\ x+1, & x\ge 0\end{cases}$

${f(-2)=(-2)^2=4},$ ${f(0)=0+1=1},$ ${f(3)=3+1=4}.$

11. Halla ${\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}}.$

Para ${x\ne 1}\text{:}$ ${\frac{x^2-1}{x-1}}={\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}}={x+1,}$ que tiende a 2. El límite es 2.

12. Sea ${f(x)=2x+3}.$ Simplifica ${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ para ${h\ne 0}.$

${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac{(2(x+h)+3)-(2x+3)}{h}}={\frac{2h}{h}}={2.}$

Siguiente lección: Operaciones con funciones. Más ejemplos de dominio y rango: Dominio y rango.