Plano cartesiano y gráficas

El plano cartesiano convierte la geometría en números: a cada punto le corresponde un par de números, y a cada ecuación con dos variables, un dibujo: su gráfica. En esta página construimos el plano cartesiano, representamos puntos y después trazamos gráficas de ecuaciones y de funciones. Al final trasladamos, reflejamos y estiramos gráficas sin calcular nuevas tablas de valores.

En esta página: Plano cartesiano · Pares ordenados · Representar puntos · Cuadrantes · Gráfica de una ecuación · Intersecciones con los ejes · Simetría · Gráfica de una función · Traslaciones · Reflexiones · Estiramiento · Errores frecuentes · Ejercicios

El sistema de coordenadas rectangulares

Un sistema de coordenadas rectangulares (también llamado sistema de coordenadas cartesianas) está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, llamadas ejes de coordenadas, colocadas de modo que se corten en el cero de ambas. El punto común es el origen de coordenadas $O.$ Normalmente uno de los ejes es horizontal, con los números positivos a la derecha, y el otro es vertical, con los números positivos hacia arriba. Por lo general, los dos ejes usan la misma unidad de longitud.

El eje horizontal suele designarse con la letra $x,$ y el vertical, con la letra $y.$ Entonces los ejes se llaman eje $x$ (o eje de abscisas) y eje $y$ (o eje de ordenadas), y el plano se llama plano $xy.$ Esto es solo una convención: se puede usar cualquier letra. En las aplicaciones, las letras suelen indicar qué se mide, por ejemplo, $t$ para el tiempo y $s$ para la distancia. El plano recibe el nombre de las letras de sus ejes horizontal y vertical: con los ejes $u$ y $v$ es el plano $uv,$ con $t$ y $s,$ el plano $ts,$ y así sucesivamente.

Pares ordenados y coordenadas de un punto

Un par ordenado de números reales está formado por dos números reales escritos en un orden fijo: $(a, b).$ El orden importa: $(4, 3)$ y $(3, 4)$ son pares distintos. Dos pares ordenados son iguales si y solo si tienen el mismo primer número y el mismo segundo número.

A cada punto $P$ del plano cartesiano le corresponde exactamente un par ordenado. Traza por $P$ dos rectas: una perpendicular al eje $x$ y otra perpendicular al eje $y.$ Si la primera recta corta al eje $x$ en el número $a$ y la segunda corta al eje $y$ en el número $b,$ entonces $a$ es la coordenada $x$ de $P$ y $b$ es su coordenada $y,$ y escribimos $P(a, b).$ La coordenada $x$ también se llama abscisa, y la coordenada $y,$ ordenada. Recíprocamente, cada par ordenado $(a, b)$ determina exactamente un punto.

La coordenada $x$ siempre va primero: $P(a, b)$ significa $a$ unidades a lo largo del eje $x$ y $b$ unidades a lo largo del eje $y.$

Representación de puntos

Representar el punto $P(a, b)$ significa ubicarlo en el plano cartesiano. Parte del origen, desplázate $|a|$ unidades a la derecha si ${a\gt0}$ o a la izquierda si ${a\lt0},$ y después $|b|$ unidades hacia arriba si ${b\gt0}$ o hacia abajo si ${b\lt0}.$ Para el punto $P(4, 3)$ avanzamos $4$ unidades a la derecha y $3$ unidades hacia arriba. El punto $Q(3, 4)$ es un punto distinto.

La siguiente figura muestra los puntos $P(2, 5),$ $Q(-4, 3),$ $R(-5, -2)$ y $S(4, -3).$ Las líneas discontinuas indican las coordenadas de cada punto.

Un punto de ordenada $0$ está en el eje $x,$ por ejemplo, $(3, 0),$ y un punto de abscisa $0$ está en el eje $y,$ por ejemplo, $(0, -2).$ El origen es el punto $O(0, 0).$

Cuadrantes

Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes. Se numeran con números romanos en sentido contrario a las agujas del reloj, empezando por el de arriba a la derecha: primer (I), segundo (II), tercer (III) y cuarto (IV) cuadrante. En cada cuadrante, los signos de las coordenadas son siempre los mismos:

Cuadrante	I	II	III	IV
$x$	$+$	$-$	$-$	$+$
$y$	$+$	$+$	$-$	$-$

Por ejemplo, $P(2, 5)$ está en el primer cuadrante, $Q(-4, 3)$ en el segundo, $R(-5, -2)$ en el tercero y $S(4, -3)$ en el cuarto. Un punto situado sobre un eje, como $(3, 0)$ o $(0, -2),$ no pertenece a ningún cuadrante.

La gráfica de una ecuación

Para comprobar si un punto está en una gráfica, sustituye sus coordenadas en la ecuación. El punto $(2, 4)$ está en la gráfica de ${y=x^2},$ porque ${4=2^2}.$ El punto $(3, 6)$ no lo está, porque ${3^2=9\ne6}.$

Trazar una gráfica punto a punto

La forma más sencilla de trazar una gráfica es calcular una tabla de valores, representar los puntos y unirlos con una curva suave.

Ejemplo 1. Traza la gráfica de ${y=x^2}.$

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y=x^2$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Representamos los siete puntos $(-3, 9),$ $(-2, 4),$ $(-1, 1),$ $(0, 0),$ $(1, 1),$ $(2, 4),$ $(3, 9)$ y los unimos con una curva suave. Esta curva se llama parábola. (Para que el punto $(3, 9)$ quepa en la figura, la unidad del eje $y$ es más corta que la del eje $x.$)

Unos pocos puntos solo sugieren la forma de una gráfica: no sabemos con certeza qué ocurre entre ellos. Con más puntos obtenemos una imagen más fiel, y el cálculo diferencial ofrece métodos para hallar la forma exacta, por ejemplo, dónde sube o baja una gráfica y cómo se curva.

Ejemplo 2. Traza la gráfica de ${y=\frac{1}{x}}.$

La división entre cero no está definida, así que ${x\ne0}\text{:}$ la gráfica no tiene ningún punto en el eje $y.$ Tomamos valores de $x$ positivos y negativos, incluidos algunos próximos a $0.$

$x$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$3$
$y=\frac{1}{x}$	$3$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$
$x$	$-\frac{1}{3}$	$-\frac{1}{2}$	$-1$	$-2$	$-3$
$y=\frac{1}{x}$	$-3$	$-2$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{3}$

Los puntos con ${x\gt0}$ están en el primer cuadrante, y los puntos con ${x\lt0},$ en el tercero. La gráfica tiene dos partes separadas (ramas), y no debemos unirlas atravesando el eje $y.$ Cuando $x$ se acerca a $0,$ el valor $\frac{1}{x}$ se hace muy grande en valor absoluto, y cuando $|x|$ crece, $\frac{1}{x}$ se acerca a $0.$ Por eso la gráfica se acerca cada vez más a los ejes, pero nunca los toca. Esta curva se llama hipérbola.

Intersecciones con los ejes

Los puntos en los que una gráfica corta a los ejes de coordenadas son especialmente útiles para trazarla. Una intersección con el eje $x$ de una gráfica es la abscisa de un punto en el que la gráfica corta al eje $x,$ y una intersección con el eje $y$ es la ordenada de un punto en el que la gráfica corta al eje $y.$

Ejemplo 3. Halla todas las intersecciones con los ejes de las gráficas de a) ${3x+2y=6};$ b) ${x=y^2-2y};$ c) ${y=\frac{1}{x}}.$

a) La intersección con el eje $x\text{:}$ hacemos ${y=0}$ y obtenemos ${3x=6},$ de donde ${x=2}.$ La intersección con el eje $y\text{:}$ hacemos ${x=0}$ y obtenemos ${2y=6},$ de donde ${y=3}.$ La gráfica es la recta que pasa por los puntos $(2, 0)$ y $(0, 3).$

b) La intersección con el eje $x\text{:}$ para ${y=0}$ obtenemos ${x=0^2-2\cdot0=0},$ así que la intersección con el eje $x$ es $0.$ Las intersecciones con el eje $y\text{:}$ para ${x=0}$ obtenemos ${y^2-2y=0},$ es decir, ${y(y-2)=0},$ de donde ${y=0}$ o ${y=2}.$ La gráfica corta a los ejes en $(0, 0)$ y $(0, 2).$ Es una parábola que se abre hacia la derecha, con el vértice en $(-1, 1)\text{:}$ podemos escribir ${x=(y-1)^2-1},$ así que $x$ toma su valor mínimo, ${x=-1},$ cuando ${y=1}.$

c) Las intersecciones con el eje $x\text{:}$ para ${y=0}$ obtenemos ${\frac{1}{x}=0}.$ Una fracción de numerador $1$ nunca vale $0,$ así que la ecuación no tiene solución y no hay intersección con el eje $x.$ Las intersecciones con el eje $y\text{:}$ ${x=0}$ no está permitido, porque $\frac{1}{0}$ no está definido, de modo que tampoco hay intersección con el eje $y.$ La gráfica de ${y=\frac{1}{x}}$ no corta a los ejes, como vimos en el ejemplo 2.

Simetría

En la figura de abajo, los puntos $(x, y),$ $(-x, y),$ $(-x, -y)$ y $(x, -y)$ son los vértices de un rectángulo cuyo centro es el origen. El punto $(x, -y)$ es el simétrico de $(x, y)$ respecto del eje $x,$ el punto $(-x, y)$ es su simétrico respecto del eje $y,$ y $(-x, -y)$ es el simétrico de $(x, y)$ respecto del origen.

Una gráfica simétrica es más fácil de dibujar: trazamos una mitad y obtenemos la otra por reflexión. Las definiciones dan criterios sencillos. Una gráfica es simétrica respecto del eje $x$ si al sustituir $y$ por $-y$ se obtiene una ecuación equivalente; es simétrica respecto del eje $y$ si al sustituir $x$ por $-x$ se obtiene una ecuación equivalente, y es simétrica respecto del origen si al sustituir a la vez $x$ por $-x$ e $y$ por $-y$ se obtiene una ecuación equivalente.

Ejemplo 4. Estudia la simetría de las gráficas de ${y=x^2},$ ${y=\frac{1}{x}}$ y ${x=y^2-2y}.$

Para ${y=x^2}\text{:}$ al sustituir $x$ por $-x$ obtenemos ${y=(-x)^2=x^2},$ la misma ecuación. Al sustituir $y$ por $-y$ obtenemos ${-y=x^2},$ es decir, ${y=-x^2},$ que es una ecuación distinta: el punto $(1, 1)$ satisface la primera, pero no la segunda. Al sustituir a la vez $x$ e $y$ obtenemos ${-y=(-x)^2},$ es decir, de nuevo ${y=-x^2},$ así que tampoco hay simetría respecto del origen.

Para ${y=\frac{1}{x}}\text{:}$ al sustituir a la vez $x$ e $y$ obtenemos ${-y=\frac{1}{-x}},$ es decir, otra vez ${y=\frac{1}{x}}.$ Al sustituir solo $x$ (o solo $y$) obtenemos ${y=-\frac{1}{x}},$ una ecuación distinta: el punto $(1, 1)$ satisface ${y=\frac{1}{x}},$ pero no ${y=-\frac{1}{x}}.$

Para ${x=y^2-2y}\text{:}$ el punto $(0, 2)$ está en la gráfica, pero $(0, -2)$ no, porque ${(-2)^2-2\cdot(-2)}={8}\ne{0}.$ El punto $(-1, 1)$ está en la gráfica, pero $(1, 1)$ no, porque ${1^2-2\cdot1=-1\ne1}.$ Por lo tanto, la gráfica no es simétrica respecto del eje $x$ ni respecto del eje $y.$ Tampoco es simétrica respecto del origen: el simétrico de $(0, 2)$ respecto del origen también es $(0, -2),$ que no está en la gráfica. (Sí es simétrica respecto de la recta horizontal ${y=1},$ que pasa por su vértice.)

Gráfica	Simétrica respecto
	del eje $x$	del eje $y$	del origen
${y=x^2}$	no	sí	no
${y=\frac{1}{x}}$	no	no	sí
${x=y^2-2y}$	no	no	no

La gráfica de una función

Así, el punto $(a, b)$ está en la gráfica de $f$ si y solo si $a$ pertenece al dominio de $f$ y ${b=f(a)}.$ El valor $f(a)$ es la altura de la gráfica sobre el punto $a$ del eje $x;$ si ${f(a)\lt0},$ la gráfica está allí $|f(a)|$ unidades por debajo del eje $x.$

Ejemplo 5. Traza la gráfica de ${f(x)=x+2}.$

Trazamos la gráfica de ${y=x+2}.$ Para ${x=-2},$ $0$ y $2$ obtenemos ${y=0},$ $2$ y $4.$ Los puntos $(-2, 0),$ $(0, 2)$ y $(2, 4)$ están en una misma recta. No es casualidad: la gráfica de ${f(x)=mx+b}$ es siempre una recta de pendiente $m$ cuya intersección con el eje $y$ es $b$ (consulta la lección «Pendiente de una recta»), así que bastan dos puntos para trazarla.

Ejemplo 6. Traza la gráfica de ${f(x)=|x|}.$

Por la definición de valor absoluto,

$$|x|=\begin{cases}x, & \text{si } x\ge0,\\ -x, & \text{si } x\lt0.\end{cases}$$

El valor absoluto de un número no negativo es el propio número, y el valor absoluto de un número negativo es su opuesto. Así, para ${x\ge0}$ la gráfica es la parte de la recta ${y=x}$ situada en el primer cuadrante, junto con el origen, y para ${x\lt0}$ es la parte de la recta ${y=-x}$ situada en el segundo cuadrante. Al juntar las dos mitades obtenemos una V con el vértice en el origen. La gráfica es simétrica respecto del eje $y,$ porque ${|{-x}|=|x|}.$

Ejemplo 7. Traza la gráfica de ${t(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}.$

La función no está definida en ${x=2},$ donde el denominador vale $0.$ Para cualquier otro $x$ podemos factorizar el numerador y simplificar:

${t(x)}={\frac{x^2-4}{x-2}}={\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}}={x+2}$   para ${x\ne2}.$

Por lo tanto, la gráfica de $t$ es la recta ${y=x+2}$ sin el punto $(2, 4).$ En el dibujo, el punto que falta se marca con un círculo vacío (un hueco).

Ejemplo 8. Traza la gráfica de

$$g(x)=\begin{cases}1, & \text{si } x\le2,\\ x+2, & \text{si } x\gt2.\end{cases}$$

Para ${x\le2}$ la gráfica es parte de la recta horizontal ${y=1}.$ Incluye el punto $(2, 1),$ porque ${g(2)=1}\text{:}$ lo dibujamos como un punto relleno. Para ${x\gt2}$ la gráfica es parte de la recta ${y=x+2}.$ Empieza en $(2, 4),$ pero este punto no pertenece a la gráfica, porque para ${x=2}$ se usa la primera fórmula. Lo dibujamos como un círculo vacío.

La prueba de la recta vertical

Una función da un solo valor $f(a)$ para cada $a,$ así que la recta vertical ${x=a}$ (la recta formada por todos los puntos de abscisa $a$) puede cortar la gráfica de una función como máximo una vez. Si esta recta cortara la gráfica de $f$ en dos puntos $(a, b)$ y $(a, c)$ con ${b\ne c},$ entonces $f(a)$ tendría que ser a la vez $b$ y $c,$ lo cual es imposible.

Prueba de la recta vertical. Una curva del plano $xy$ es la gráfica de una función ${y=f(x)}$ si y solo si ninguna recta vertical la corta en más de un punto.

Por ejemplo, la curva ${x=y^2-2y}$ del ejemplo 3 no es la gráfica de ninguna función ${y=f(x)}\text{:}$ la recta vertical ${x=3}$ la corta en $(3, 3)$ y en $(3, -1),$ porque ${3^2-2\cdot3=3}$ y ${(-1)^2-2\cdot(-1)=3}.$

Gráficas de funciones mediante traslaciones

Supongamos que ya conocemos la gráfica de ${y=f(x)}$ y que $c$ es un número positivo. Entonces podemos obtener las gráficas de ${y=f(x)+c},$ ${y=f(x)-c},$ ${y=f(x+c)}$ e ${y=f(x-c)}$ sin nuevas tablas de valores: cada una de ellas es la gráfica de $f$ desplazada (trasladada) $c$ unidades.

Ecuación	La gráfica de ${y=f(x)}$ se traslada
${y=f(x)+c}$	hacia arriba $c$ unidades
${y=f(x)-c}$	hacia abajo $c$ unidades
${y=f(x+c)}$	a la izquierda $c$ unidades
${y=f(x-c)}$	a la derecha $c$ unidades

Traslaciones verticales: ${y=x^2},$ ${\textcolor{#2b7a2b}{y=x^2+2}}$ y ${\textcolor{#c0392b}{y=x^2-2}}.$ Traslaciones horizontales: ${y=x^2},$ ${\textcolor{#2b7a2b}{y=(x+2)^2}}$ y ${\textcolor{#c0392b}{y=(x-2)^2}}.$

Las traslaciones verticales se ven fácilmente: en ${y=f(x)+c}$ cada coordenada $y$ es $c$ unidades mayor. Las horizontales, en cambio, a menudo parecen ir al revés. La función ${g(x)=f(x-c)}$ toma en el punto ${x+c}$ el valor ${g(x+c)}={f\big((x+c)-c\big)}={f(x)},$ el mismo valor que toma $f$ en $x.$ Así, cada punto $(x, f(x))$ de la gráfica original pasa a $(x+c, f(x)),$ que está $c$ unidades más a la derecha. Del mismo modo, ${y=f(x+c)}$ traslada la gráfica a la izquierda.

Dentro del paréntesis los signos funcionan al revés: ${y=(x-2)^2}$ es la parábola ${y=x^2}$ trasladada $2$ unidades a la derecha, e ${y=(x+2)^2}$ es la misma parábola trasladada $2$ unidades a la izquierda.

Ejemplo 9. Traza la gráfica de ${y=|x-3|+2}.$

Partimos de la gráfica de ${y=|x|}$ del ejemplo 6. Al trasladarla $3$ unidades a la derecha obtenemos la gráfica de ${y=|x-3|}.$ Al trasladar esta gráfica $2$ unidades hacia arriba obtenemos la gráfica de ${y=|x-3|+2}.$ El vértice pasa de $(0, 0)$ a $(3, 0)$ y después a $(3, 2).$

Ejemplo 10. Traza la gráfica de ${y=x^2-4x+5}.$

Completamos el cuadrado. El coeficiente de $x$ es $-4,$ su mitad es $-2$ y ${(-2)^2=4},$ así que escribimos $5$ como ${4+1}\text{:}$

${y}={x^2-4x+5}={(x^2-4x+4)+1}={{(x-2)^2+1}.}$

En esta forma se ve que la gráfica es la de ${y=x^2}$ trasladada $2$ unidades a la derecha, por el ${x-2},$ y $1$ unidad hacia arriba, por el ${+1}.$ El vértice de la parábola es $(2, 1).$ Para ${x=0}$ obtenemos ${y=5},$ así que la parábola corta al eje $y$ en $(0, 5).$

Reflexiones

En efecto, si el punto $(a, b)$ está en la gráfica de ${y=f(x)},$ es decir, si ${b=f(a)},$ entonces el punto $(-a, b)$ satisface ${y=f(-x)},$ y el punto $(a, -b)$ satisface ${y=-f(x)}.$ Por ejemplo, el punto $(4, 2)$ está en la gráfica de ${y=\sqrt{x}},$ el punto $(-4, 2)$ está en la gráfica de ${y=\sqrt{-x}},$ y el punto $(4, -2),$ en la gráfica de ${y=-\sqrt{x}}.$

Ejemplo 11. Traza la gráfica de ${y=\sqrt[3]{2-x}}.$

La gráfica se puede obtener mediante una reflexión y una traslación:

1. Traza la gráfica de ${y=\sqrt[3]{x}}.$
2. Refléjala respecto del eje $y$ para obtener la gráfica de ${y=\sqrt[3]{-x}}.$
3. Traslada esta gráfica $2$ unidades a la derecha, es decir, sustituye $x$ por ${x-2}.$ Obtenemos la gráfica de ${y=\sqrt[3]{-(x-2)}},$ que es lo mismo que ${y=\sqrt[3]{2-x}}.$

Gris: ${y=\sqrt[3]{x}};$ naranja: ${\textcolor{#d35400}{y=\sqrt[3]{-x}}};$ azul: ${\textcolor{#1b64a8}{y=\sqrt[3]{2-x}}}.$

Algunos puntos confirman el dibujo: para ${x=-6},$ $1,$ $2,$ $3$ y $10,$ los valores de $\sqrt[3]{2-x}$ son $2,$ $1,$ $0,$ $-1$ y $-2.$

No interpretes el ${+2}$ de ${\sqrt[3]{-x+2}}$ como una traslación de ${y=\sqrt[3]{-x}}$ hacia la izquierda. Primero saca el signo menos como factor común: ${-x+2=-(x-2)}.$ Así, la gráfica de ${y=\sqrt[3]{-x}}$ se traslada $2$ unidades a la derecha.

Estiramiento y compresión

Los puntos del eje $x$ no se mueven, porque ${c\cdot0=0}.$ Por ejemplo, en ${x=1}$ la parábola ${y=x^2}$ tiene altura $1$ y la parábola ${y=2x^2}$ tiene altura $2.$ En ${x=2}$ la parábola ${y=x^2}$ tiene altura $4$ y la parábola ${y=\frac{1}{2}x^2}$ tiene altura $2.$

${y=x^2},$ ${\textcolor{#c0392b}{y=2x^2}}$ (estirada) y ${\textcolor{#2b7a2b}{y=\frac{1}{2}x^2}}$ (comprimida).

Si el factor que multiplica a $f(x)$ es negativo, por ejemplo, en ${y=-2x^2},$ la gráfica se estira o se comprime según el valor absoluto del factor (aquí, $2$) y, además, se refleja respecto del eje $x.$

Errores frecuentes

Error	Incorrecto	Correcto
Coordenadas intercambiadas	El punto $(2, 5)$ está $2$ unidades hacia arriba y $5$ unidades a la derecha	La coordenada $x$ va primero: $2$ unidades a la derecha y $5$ unidades hacia arriba
Un punto sobre un eje	El punto $(0, -4)$ está en el cuarto cuadrante	Está en el eje $y;$ los puntos de los ejes no pertenecen a ningún cuadrante
Unir las ramas	La gráfica de ${y=\frac{1}{x}}$ es una sola curva que pasa por el origen	${x\ne0}\text{:}$ la gráfica tiene dos ramas, en el primer y el tercer cuadrante
Olvidar el hueco	La gráfica de ${y=\frac{x^2-4}{x-2}}$ es toda la recta ${y=x+2}$	Es esta recta sin el punto $(2, 4)$
El sentido de una traslación horizontal	${y=(x-3)^2}$ es la parábola ${y=x^2}$ trasladada $3$ unidades a la izquierda	Está trasladada $3$ unidades a la derecha
${f(x)+c}$ y ${f(x+c)}$	${y=x^2+3}$ es la parábola ${y=x^2}$ trasladada $3$ unidades a la izquierda	Está trasladada $3$ unidades hacia arriba; ${y=(x+3)^2}$ es la que está trasladada a la izquierda
Una recta equivocada en la prueba	La parábola ${y=x^2}$ no es la gráfica de una función, porque la recta ${y=4}$ la corta dos veces	La prueba usa rectas verticales; cada recta vertical corta la parábola ${y=x^2}$ exactamente una vez

Ejercicios

1. ¿En qué cuadrante o sobre qué eje está cada punto? $A(3, -7),$ $B(-2, -5),$ $C(-4, 6),$ $D(0, 8),$ $E(5, 0).$

Respuesta

$A$ en el cuarto cuadrante, $B$ en el tercero, $C$ en el segundo, $D$ en el eje $y,$ $E$ en el eje $x.$

2. El punto $P(a, b)$ está en el segundo cuadrante. ¿En qué cuadrantes están los puntos a) $(-a, b);$ b) $(a, -b);$ c) $(b, a)?$

Respuesta

En el segundo cuadrante, ${a\lt0}$ y ${b\gt0}.$ a) ${-a\gt0}$ y ${b\gt0}\text{:}$ primer cuadrante. b) ${a\lt0}$ y ${-b\lt0}\text{:}$ tercer cuadrante. c) ${b\gt0}$ y ${a\lt0}\text{:}$ cuarto cuadrante.

3. ¿Cuáles de los puntos $(1, 2),$ $(-2, 11)$ y $(3, 3)$ están en la gráfica de ${y=x^2-2x+3}?$

Respuesta

${1-2+3=2}\text{:}$ sí. ${4+4+3=11}\text{:}$ sí. ${9-6+3=6\ne3}\text{:}$ no.

4. Halla todas las intersecciones con los ejes de las gráficas de a) ${2x-5y=10};$ b) ${y=x^2-9};$ c) ${y=x^2+1}.$

Respuesta

a) ${y=0}\text{:}$ ${2x=10},$ la intersección con el eje $x$ es $5.$ ${x=0}\text{:}$ ${-5y=10},$ la intersección con el eje $y$ es $-2.$

b) ${x^2=9}\text{:}$ las intersecciones con el eje $x$ son $-3$ y $3;$ la intersección con el eje $y$ es $-9.$

c) ${x^2+1=0}$ no tiene solución real, así que no hay intersección con el eje $x;$ la intersección con el eje $y$ es $1.$

5. Estudia la simetría de las gráficas respecto del eje $x,$ del eje $y$ y del origen: a) ${y=x^4-3x^2};$ b) ${y=x^3-x};$ c) ${x^2+y^2=25}.$

Respuesta

a) Solo respecto del eje $y\text{:}$ ${(-x)^4-3(-x)^2}={x^4-3x^2}.$

b) Solo respecto del origen: ${-y=(-x)^3-(-x)}$ equivale a ${y=x^3-x}.$

c) Respecto de los dos ejes y del origen (la gráfica es una circunferencia de centro $O$): $x$ e $y$ solo aparecen elevadas al cuadrado.

6. ¿Es cada curva la gráfica de una función ${y=f(x)}?$ a) ${y=x^2-1};$ b) ${x=y^2};$ c) ${x^2+y^2=4}.$

Respuesta

a) Sí: a cada $x$ le corresponde exactamente un valor de $y.$

b) No: la recta vertical ${x=4}$ corta la curva en $(4, 2)$ y en $(4, -2).$

c) No: la recta vertical ${x=0}$ corta la circunferencia en $(0, 2)$ y en $(0, -2).$

7. ¿Cómo se obtiene cada gráfica a partir de la de ${y=x^2}$ o de la de ${y=|x|}?$ a) ${y=(x+4)^2-1};$ b) ${y=|x-1|-3};$ c) ${y=-x^2+3}.$

Respuesta

a) La gráfica de ${y=x^2}$ trasladada $4$ unidades a la izquierda y $1$ unidad hacia abajo; el vértice es $(-4, -1).$

b) La gráfica de ${y=|x|}$ trasladada $1$ unidad a la derecha y $3$ unidades hacia abajo; el vértice es $(1, -3).$

c) La gráfica de ${y=x^2}$ reflejada respecto del eje $x$ y trasladada $3$ unidades hacia arriba; el vértice es $(0, 3).$

8. Completa el cuadrado en ${y=x^2+6x+7},$ halla el vértice de la parábola y describe la traslación de ${y=x^2}.$

Respuesta

${y}={(x^2+6x+9)-2}={(x+3)^2-2}.$ El vértice es $(-3, -2)\text{:}$ la parábola ${y=x^2}$ se traslada $3$ unidades a la izquierda y $2$ unidades hacia abajo.

9. La gráfica de ${y=f(x)}$ pasa por el punto $(2, 5).$ ¿Qué punto debe estar en la gráfica de a) ${y=f(x)-4};$ b) ${y=f(x+1)};$ c) ${y=f(-x)};$ d) ${y=3f(x)}?$

Respuesta

a) $(2, 1);$ b) $(1, 5),$ porque ${f(1+1)=f(2)=5};$ c) $(-2, 5);$ d) $(2, 15).$

10. Sea ${h(x)=x^2}$ para ${x\lt1}$ y ${h(x)=3-x}$ para ${x\ge1}.$ Halla $h(-2),$ $h(1)$ y $h(5).$ ¿Cuál de los puntos $(1, 1)$ y $(1, 2)$ está en la gráfica, y cómo se dibuja cada uno de ellos?

Respuesta

${h(-2)=4},$ ${h(1)=3-1=2},$ ${h(5)=-2}.$ El punto $(1, 2)$ está en la gráfica (un punto relleno). La parte izquierda de la gráfica termina en $(1, 1),$ que no está en la gráfica (un círculo vacío).