Fórmulas de la primera derivada

La derivada de una función ${y=f(x)}$ se escribe $y'$ o $f'(x).$ Indica lo rápido que cambia la función: $f'(x)$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa $x.$ Por definición

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Calcular este límite cada vez sería lento. En la práctica usamos unas pocas reglas de derivación y una tabla de derivadas de las funciones básicas. Con ellas se obtiene la derivada de cualquier función formada a partir de las básicas. La calculadora de arriba halla la derivada de la función que escribas y muestra la solución paso a paso.

En esta página: Reglas de derivación · Tabla de derivadas · Problemas resueltos · Errores frecuentes · Ejercicios

Reglas de derivación

En las reglas siguientes, $f$ y $g$ son funciones de $x$ que tienen derivada, y $C$ es una constante, es decir, un número que no depende de $x.$

Derivada de una constante

Una constante no cambia, así que su ritmo de cambio es cero. Por ejemplo, si ${y=5},$ entonces ${y'=0}.$ También ${(\pi)'=0}$ y ${(\ln 3)'=0},$ porque $\pi$ y $\ln 3$ son números.

Derivada de una potencia

El exponente pasa delante como factor, y el nuevo exponente es una unidad menor. La regla vale para cualquier exponente real $n,$ no solo para los enteros (si $n$ es fraccionario, tomamos ${x\gt 0}$).

${(x^3)'}={3x^{3-1}}={3x^2},$   ${(x^{-3})'}={-3x^{-3-1}}={-3x^{-4}}$

Para ${n=1}$ la regla da ${(x)'=1}.$ Una raíz, o una fracción con una potencia de $x$ en el denominador, se escribe primero como potencia:

${(\sqrt{x})'}={\left(x^{\frac12}\right)'}={\frac12x^{-\frac12}}={\frac{1}{2\sqrt{x}}}$

${\left(\frac1x\right)'}={(x^{-1})'}={-x^{-2}}={-\frac{1}{x^2}}$

Constante por una función

Un factor constante sale fuera de la derivada. Ejemplo: ${(7x^3)'}={7\cdot 3x^2}={{21x^2}.}$

Derivada de una suma y de una resta

La derivada de una suma es la suma de las derivadas. Esto vale para cualquier número de sumandos, así que un polinomio se deriva término a término.

Ejemplo. Sean ${f(x)=x^2+x+1}$ y ${g(x)=x^5+7},$ y tomemos ${y=f(x)+g(x)}.$ Entonces

${y'}={(x^2+x+1)'}+{(x^5+7)'}={2x+1+0+5x^4+0}={5x^4+2x+1}$

Derivada de un producto

Ejemplo.

${(x^2\operatorname{sen} x)'}={(x^2)'\operatorname{sen} x}+{x^2(\operatorname{sen} x)'}={2x\operatorname{sen} x+x^2\cos x}$

La regla de la constante por una función es un caso particular de la regla del producto. Si ${f=C},$ entonces

${(C\cdot g)'}={C'\cdot g+C\cdot g'}={0\cdot g+C\cdot g'}={C\cdot g'}$

Derivada de un cociente

Cuidado con el orden en el numerador: primero ${f'\cdot g}$ y después menos ${f\cdot g'}.$ Para ${f=1}$ la regla da ${\left(\frac1g\right)'=-\frac{g'}{g^2}}.$

Ejemplo.

${\left(\frac{x}{x+1}\right)'}={\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2}}={\frac{1}{(x+1)^2}}$

Regla de la cadena (derivada de una función compuesta)

Sea ${y=f(u)},$ donde ${u=u(x)}$ es a su vez una función de $x$ (una función de una función). Entonces

Primero derivamos la función exterior como si $u$ fuera la variable, y después multiplicamos por la derivada de la función interior $u.$

Ejemplo 1. ${y=\operatorname{sen}(x^2)}.$ Aquí ${u=x^2}$ y ${f(u)=\operatorname{sen} u},$ así que ${f'(u)=\cos u}$ y ${u'=2x}$:

${y'}={\cos(x^2)\cdot 2x}={2x\cos(x^2)}$

Ejemplo 2. ${y=(3x+1)^5}.$ La función exterior es la quinta potencia, y la interior es ${u=3x+1},$ con ${u'=3}$:

${y'}={5(3x+1)^4\cdot 3}={15(3x+1)^4}$

Ejemplo 3. Cuando hay tres funciones una dentro de otra, la regla se aplica dos veces:

${\left(e^{\operatorname{sen} 2x}\right)'}={e^{\operatorname{sen} 2x}\cdot(\operatorname{sen} 2x)'}={e^{\operatorname{sen} 2x}\cdot\cos 2x\cdot 2}={2\cos 2x\cdot e^{\operatorname{sen} 2x}}$

Tabla de derivadas

Las derivadas de las funciones básicas (elementales). La última columna es la misma fórmula combinada con la regla de la cadena, para una función ${u=u(x)}$ en lugar de $x.$

Derivada	Con la regla de la cadena, ${u=u(x)}$
$(x^n)'=n\,x^{n-1}$	$(u^n)'=n\,u^{n-1}\cdot u'$
$(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$
$\left(\frac1x\right)'=-\frac{1}{x^2}$	$\left(\frac1u\right)'=-\frac{u'}{u^2}$
$(e^x)'=e^x$	$(e^u)'=e^u\cdot u'$
$(a^x)'=a^x\ln a$	$(a^u)'=a^u\ln a\cdot u'$
$(\ln x)'=\frac1x$	$(\ln u)'=\frac{u'}{u}$
$(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$	$(\log_a u)'=\frac{u'}{u\ln a}$
$(\operatorname{sen} x)'=\cos x$	$(\operatorname{sen} u)'=\cos u\cdot u'$
$(\cos x)'=-\operatorname{sen} x$	$(\cos u)'=-\operatorname{sen} u\cdot u'$
$(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2x}$	$(\tan u)'=\frac{u'}{\cos^2u}$
$(\cot x)'=-\frac{1}{\operatorname{sen}^2x}$	$(\cot u)'=-\frac{u'}{\operatorname{sen}^2u}$
$(\operatorname{arcsen} x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$(\operatorname{arcsen} u)'=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$
$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$(\arccos u)'=-\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$
$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$	$(\arctan u)'=\frac{u'}{1+u^2}$
${(\operatorname{arccot} x)'}={-\frac{1}{1+x^2}}$	${(\operatorname{arccot} u)'}={-\frac{u'}{1+u^2}}$

Las fórmulas valen donde las funciones están definidas: ${x\gt 0}$ para $\ln x$ y $\log_a x,$ y también para la derivada de $\sqrt{x};$ ${a\gt 0}$ y ${a\ne 1}$ para $a^x$ y $\log_a x;$ ${\cos x\ne 0}$ para $\tan x;$ ${\operatorname{sen} x\ne 0}$ para $\cot x;$ ${-1\lt x\lt 1}$ para las derivadas de $\operatorname{arcsen} x$ y $\arccos x.$ Además, ${(\ln|x|)'=\frac1x}$ para todo ${x\ne 0}.$ Como ${\frac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x},$ la derivada de $\tan x$ también se puede escribir como ${1+\tan^2x}.$

Problemas resueltos

Problema 1. Halla la derivada de ${{f(x)=3x^4-5x^2+7x-2}.}$

Solución: Derivamos término a término, con la regla de la potencia y la regla de la constante por una función:

${f'(x)}={3\cdot 4x^3-5\cdot 2x+7-0}={12x^3-10x+7}$

Problema 2. ${f(x)=10x+4y},$ donde $y$ no depende de $x.$ Halla $f'(x).$

Solución: Derivamos respecto de $x.$ El número $y$ no cambia cuando cambia $x,$ así que $4y$ es una constante y ${(4y)'=0}.$ Por la regla de la suma

${f'(x)}={(10x)'+(4y)'}={10+0}={10}$

Problema 3. Halla la derivada de ${y=\sqrt[3]{x^2}+\frac{2}{x^3}}.$

Solución: Primero escribimos los dos términos como potencias de $x$: ${y=x^{\frac23}+2x^{-3}}.$ Por la regla de la potencia

${y'}={\frac23x^{-\frac13}+2\cdot(-3)x^{-4}}={\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\frac{6}{x^4}}$

Problema 4. Halla la derivada de ${y=x^3e^x}.$

Solución: Aplicamos la regla del producto con ${f=x^3}$ y ${g=e^x}$:

${y'}={3x^2\cdot e^x+x^3\cdot e^x}={x^2e^x(x+3)}$

Problema 5. Halla la derivada de ${f(x)=\frac{x^{10}}{4{,}15+\cos x}}.$

Solución: $f$ es el cociente de ${h(x)=x^{10}}$ y ${g(x)=4{,}15+\cos x}.$ Sus derivadas son ${h'(x)=10x^9}$ y ${{g'(x)=0-\operatorname{sen} x=-\operatorname{sen} x}.}$ El denominador nunca es 0, porque ${\cos x\ge -1}.$ Por la regla del cociente

${f'(x)}={\frac{h'(x)\cdot g(x)-h(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}}={\frac{10x^9(4{,}15+\cos x)-x^{10}(-\operatorname{sen} x)}{(4{,}15+\cos x)^2}}={\frac{10x^9(4{,}15+\cos x)+x^{10}\operatorname{sen} x}{(4{,}15+\cos x)^2}}$

Problema 6. Deduce la fórmula ${(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2x}}$ con la regla del cociente.

Solución: ${\tan x=\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}},$ así que

${(\tan x)'}={\frac{(\operatorname{sen} x)'\cos x-\operatorname{sen} x(\cos x)'}{\cos^2x}}={\frac{\cos x\cdot\cos x-\operatorname{sen} x\cdot(-\operatorname{sen} x)}{\cos^2x}}={\frac{\cos^2x+\operatorname{sen}^2x}{\cos^2x}}={\frac{1}{\cos^2x}}$

En el último paso usamos ${\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1}.$

Problema 7. Halla la derivada de ${f(x)=\ln(\operatorname{sen} x)}.$

Solución: Es una función compuesta: la función exterior es el logaritmo y la interior es ${u=\operatorname{sen} x},$ con ${u'=\cos x}.$ Por la fórmula ${(\ln u)'=\frac{u'}{u}}$ de la tabla:

${f'(x)}={\frac{1}{\operatorname{sen} x}\cdot\cos x}={\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}}={\cot x}$

La función solo está definida donde ${\operatorname{sen} x\gt 0}.$

Problema 8. Halla la derivada de ${y=\sqrt{x^2+1}}.$

Solución: Aplicamos la regla de la cadena con ${u=x^2+1}$ y ${(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}}$:

${y'}={\frac{(x^2+1)'}{2\sqrt{x^2+1}}}={\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}={\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$

Problema 9. Halla la derivada de ${y=\operatorname{sen}^2 3x}.$

Solución: ${\operatorname{sen}^2 3x=(\operatorname{sen} 3x)^2},$ así que hay tres funciones una dentro de otra: el cuadrado, el seno y $3x.$ Aplicamos la regla de la cadena dos veces:

${y'}={2\operatorname{sen} 3x\cdot(\operatorname{sen} 3x)'}={2\operatorname{sen} 3x\cdot\cos 3x\cdot 3}={6\operatorname{sen} 3x\cos 3x}={3\operatorname{sen} 6x}$

En el último paso usamos ${2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha=\operatorname{sen} 2\alpha}.$

Problema 10. ${f(x)=x^3-2x}.$ Halla $f'(2)$ y la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa ${x=2}.$

Solución: ${f'(x)=3x^2-2},$ así que ${f'(2)}={3\cdot 4-2}={10}.$ Esta es la pendiente de la recta tangente. Como ${f(2)}={8-4}={4},$ el punto de tangencia es ${(2,\ 4)}.$ La ecuación de la tangente es

${y}={f(2)+f'(2)(x-2)}={4+10(x-2)}={10x-16}$

Errores frecuentes

Error	Incorrecto	Correcto
La derivada de un producto calculada como el producto de las derivadas	$(x^2\operatorname{sen} x)'=2x\cos x$	${(x^2\operatorname{sen} x)'}={2x\operatorname{sen} x+x^2\cos x}$
El mismo error con un cociente	$\left(\frac{x}{x+1}\right)'=\frac11=1$	$\left(\frac{x}{x+1}\right)'=\frac{1}{(x+1)^2}$
Se olvida la derivada de la función interior	$(\operatorname{sen} 3x)'=\cos 3x$	$(\operatorname{sen} 3x)'=3\cos 3x$
La regla de la potencia aplicada a una función exponencial	$(2^x)'=x\cdot 2^{x-1}$	$(2^x)'=2^x\ln 2$
Un número derivado como si fuera una función	$(\ln 5)'=\frac15$	$(\ln 5)'=0$
Signo equivocado	$(\cos x)'=\operatorname{sen} x$	$(\cos x)'=-\operatorname{sen} x$

Ejercicios

Halla las derivadas. Inténtalo primero y después abre la respuesta.

1. ${y=4x^3-6x+1}$

${y'=12x^2-6}$

2. ${y=\frac{1}{x^2}}$

${y'}={(x^{-2})'}={-2x^{-3}}={-\frac{2}{x^3}}$

3. ${y=x\ln x}$

${y'}={1\cdot\ln x+x\cdot\frac1x}={\ln x+1}$

4. ${y=\frac{x^2}{x-1}}$

${y'}={\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1)^2}}={\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}}$

5. ${y=e^{-x^2}}$

${y'}={e^{-x^2}\cdot(-2x)}={-2x\,e^{-x^2}}$

6. ${y=\cos(5x+1)}$

${y'}={-\operatorname{sen}(5x+1)\cdot 5}={-5\operatorname{sen}(5x+1)}$

7. ${y=\ln(x^2+4)}$

${y'}={\frac{(x^2+4)'}{x^2+4}}={\frac{2x}{x^2+4}}$

8. ${y=\arctan 2x}$

${y'}={\frac{1}{1+(2x)^2}\cdot 2}={\frac{2}{1+4x^2}}$

9. ${y=x^2\cos x}$

${y'}={2x\cos x+x^2\cdot(-\operatorname{sen} x)}={2x\cos x-x^2\operatorname{sen} x}$

10. ${f(x)=x^4-3x^2}.$ Halla $f'(1).$

${f'(x)=4x^3-6x},$ así que ${f'(1)}={4-6}={-2}$

Puedes comprobar tus respuestas con la calculadora del principio de la página, que muestra la solución paso a paso.