Razones y proporciones

Una razón compara dos cantidades mediante una división: indica cuántas veces una cantidad contiene a la otra. Una proporción es una igualdad entre dos razones. Las razones y las proporciones están en todas partes: en las recetas, los mapas y los planos, los precios, las velocidades y las mezclas, y son la clave de muchos problemas.

En esta página: Razón · Simplificar razones · Reparto proporcional · Razón compuesta y duplicada · Proporción · Propiedad fundamental · Media, tercera y cuarta proporcional · Proporción continua · Propiedades de las proporciones · Proporcionalidad directa e inversa · Problemas resueltos · Práctica

¿Qué es una razón?

La razón entre $a$ y $b$ se escribe ${a:b}$ y se lee «$a$ es a $b$». Su valor es el cociente ${a\div b}$, por eso una razón también se puede escribir como fracción, $\frac{a}{b}$. Los dos números son los términos de la razón: el primero, $a$, se llama antecedente, y el segundo, $b$, se llama consecuente.

Ejemplo. Una bolsa tiene 6 canicas azules y 4 canicas naranjas.

Las 10 canicas forman dos grupos iguales, cada uno con 3 canicas azules y 2 naranjas.

• La razón entre las canicas azules y las naranjas es ${6:4}$, que se simplifica a ${3:2}$: por cada 3 canicas azules hay 2 naranjas.
• La razón entre las canicas naranjas y las azules es ${4:6=2:3}$. El orden importa: ${2:3}$ no es lo mismo que ${3:2}$.
• La razón entre las canicas azules y el total de canicas es ${6:10=3:5}$.

Las dos primeras comparan una parte con otra parte. La última compara una parte con el todo, y es lo mismo que una fracción del total: $\frac{3}{5}$, es decir, el 60%, de las canicas son azules.

Ejemplo. ¿Cuál es la razón entre 50 cm y 2 m? Primero pasa las dos longitudes a centímetros: 2 m son 200 cm. Entonces

${{50:200}={1:4}}$

La segunda longitud es 4 veces la primera. La respuesta ${50:2}$ sería incorrecta.

Razones equivalentes y simplificación

Una razón está en su forma más simple cuando sus términos son números enteros sin ningún divisor común aparte del 1. Para simplificar una razón de números enteros, divide los dos términos entre su máximo común divisor, igual que al simplificar una fracción.

Ejemplo 1. Simplifica ${12:18}$. El máximo común divisor de 12 y 18 es 6:

${12:18}={(12\div 6):(18\div 6)}={2:3}$

Ejemplo 2. Si los términos son fracciones, multiplica los dos términos por el mínimo común denominador. Para simplificar ${\frac{1}{2}:\frac{2}{3}}$, multiplica por 6:

${\frac{1}{2}:\frac{2}{3}}={\left(\frac{1}{2}\cdot 6\right):\left(\frac{2}{3}\cdot 6\right)}={3:4}$

Ejemplo 3. Si los términos son decimales, multiplica por 10, 100, … hasta que los dos términos sean números enteros:

${0{,}4:1{,}2}={4:12}={1:3}$

Ejemplo 4. Simplifica la razón entre 45 minutos y 2 horas. 2 horas son 120 minutos:

${{45:120}={3:8}}$

Comparar razones

Para comparar dos razones, compara sus valores. Multiplicar en cruz suele ser lo más rápido: para números positivos, ${a:b}$ es mayor que ${c:d}$ exactamente cuando ${ad\gt bc}$.

Ejemplo. ¿Qué razón es mayor, ${11:9}$ o ${44:35}$?

${{11\cdot 35}={385}}$ y ${{9\cdot 44}={396}}$

Como ${385\lt 396}$, la razón ${44:35}$ es mayor. Compruébalo con decimales: ${{11\div 9}\approx{1{,}222}}$ y ${{44\div 35}\approx{1{,}257}}$.

Sumar el mismo número a los dos términos cambia la razón. ${2:3}$ y ${(2+1):(3+1)}$, que es ${3:4}$, no son iguales, porque $\frac{2}{3}$ es aproximadamente ${0{,}67}$ y $\frac{3}{4}$ es ${0{,}75}$. Solo multiplicar o dividir los dos términos da una razón equivalente. De hecho, si sumas el mismo número positivo a los dos términos, el valor de la razón siempre se acerca a 1: ${5:3}$ es aproximadamente ${1{,}67}$, pero ${(5+1):(3+1)}$, que es ${6:4}$, vale ${1{,}5}$.

Razones entre tres o más cantidades

Una razón puede comparar más de dos cantidades. El hormigón (o concreto), por ejemplo, se puede preparar con cemento, arena y grava en la razón ${1:2:4}$: 1 cubo de cemento por cada 2 cubos de arena y 4 de grava. Las reglas son las mismas: todos los términos se pueden multiplicar o dividir por el mismo número, así que ${2:4:8}$ es la misma razón que ${1:2:4}$.

Ejemplo. ${a:b=2:3}$ y ${b:c=4:5}$. Calcula ${a:b:c}$.

Solución: Las dos razones usan números distintos para $b$: 3 y 4. Hay que igualarlos: el mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12, así que multiplica la primera razón por 4 y la segunda por 3:

${a:b=8:12}$ y ${b:c=12:15}$, así que ${{a:b:c}={8:12:15}}$

Repartir una cantidad en una razón dada

Ejemplo 1. Ana y Beto se reparten $\$60$ en la razón ${2:3}$. ¿Cuánto le toca a cada uno?

Solución: Hay ${{2+3}=5}$ partes iguales, y una parte vale ${{60\div 5}={\$12}}$. A Ana le tocan ${{2\cdot 12}={\$24}}$ y a Beto ${{3\cdot 12}={\$36}}$.

$\$60$ son 5 partes iguales de $\$12$. Ana recibe 2 partes y Beto 3.

Comprobación: ${{24+36}=60}$ ✓ y ${24:36=2:3}$ ✓

Ejemplo 2. ¿Cuánto cemento, arena y grava hacen falta para 350 kg de mezcla seca de hormigón en la razón ${1:2:4}$?

Solución: Hay ${{1+2+4}=7}$ partes, y una parte son ${{350\div 7}=50}$ kg. Hacen falta 50 kg de cemento, ${{2\cdot 50}=100}$ kg de arena y ${{4\cdot 50}=200}$ kg de grava.

Ejemplo 3. En una clase, la razón entre chicos y chicas es ${4:5}$, y hay 12 chicos. ¿Cuántas chicas hay?

Solución: Los chicos son 4 partes, así que una parte son ${{12\div 4}=3}$ alumnos. Las chicas son 5 partes: ${{5\cdot 3}=15}$ chicas. Toda la clase son ${{4+5}=9}$ partes, es decir, ${{9\cdot 3}=27}$ alumnos.

Razón compuesta, duplicada e inversa

Dos o más razones se pueden multiplicar. El resultado se llama razón compuesta: el producto de los antecedentes es al producto de los consecuentes. Elevar una razón al cuadrado o al cubo, sacarle una raíz o darle la vuelta también da razones con nombre propio:

Nombre	Razón	Ejemplo
Razón compuesta de ${a:b}$ y ${c:d}$	${ac:bd}$	de ${2:3}$ y ${4:5}$ es ${8:15}$
Razón duplicada de ${a:b}$ (de los cuadrados)	${a^2:b^2}$	de ${2:3}$ es ${4:9}$
Razón triplicada de ${a:b}$ (de los cubos)	${a^3:b^3}$	de ${2:3}$ es ${8:27}$
Razón subduplicada de ${a:b}$ (de las raíces cuadradas)	${\sqrt{a}:\sqrt{b}}$	de ${4:9}$ es ${2:3}$
Razón subtriplicada de ${a:b}$ (de las raíces cúbicas)	${\sqrt[3]{a}:\sqrt[3]{b}}$	de ${8:27}$ es ${2:3}$
Razón inversa (recíproca) de ${a:b}$	${b:a}$, que es igual a ${\frac{1}{a}:\frac{1}{b}}$	de ${2:3}$ es ${3:2}$

Ejemplo. Halla la razón compuesta de ${2:3}$, la razón duplicada de ${3:4}$ y la razón subduplicada de ${64:9}$.

Solución: La razón duplicada de ${3:4}$ es ${9:16}$, y la subduplicada de ${64:9}$ es ${8:3}$. Multiplica los antecedentes y los consecuentes:

${(2\cdot 9\cdot 8):(3\cdot 16\cdot 3)}={144:144}={1:1}$

Duplicada no es doble. La razón duplicada de ${3:1}$ es ${9:1}$, el cuadrado de la razón, mientras que el doble de la razón es ${6:1}$. Del mismo modo, la razón triplicada de ${3:1}$ es ${27:1}$, no ${9:1}$.

Cuando el consecuente de cada razón es el antecedente de la siguiente, los términos intermedios se simplifican. La razón compuesta de ${a:b}$, ${b:c}$ y ${c:d}$ es ${a:d}$, porque

$$\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a}{d}$$

Esto se usa más abajo, en las proporciones continuas.

¿Qué es una proporción?

Una proporción es una igualdad entre dos razones:

$$a:b=c:d\qquad\text{o}\qquad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Se lee «$a$ es a $b$ como $c$ es a $d$». Los números $a$, $b$, $c$ y $d$ son los términos de la proporción: $a$ y $d$ son los extremos, y $b$ y $c$ son los medios. Se dice que cuatro números que forman una proporción son proporcionales.

Los extremos son los términos de fuera, y los medios, los de dentro.

Ejemplo. ¿Forman una proporción los números 12, 8, 15 y 10? Los valores de las dos razones son ${{12\div 8}={1{,}5}}$ y ${{15\div 10}={1{,}5}}$. Son iguales, así que ${12:8=15:10}$ es una proporción.

En el lenguaje de todos los días, «proporción» suele significar una parte, como en «una gran proporción de los alumnos». En matemáticas, una proporción es siempre una igualdad entre dos razones.

Propiedad fundamental de las proporciones

Para ver por qué, multiplica los dos lados de ${\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$ por $bd$:

${{\frac{a}{b}\cdot bd}={\frac{c}{d}\cdot bd}}$, que se simplifica a ${ad=bc}$.

Por eso esta regla también se llama multiplicar en cruz: los dos productos van en diagonal, de esquina a esquina. Sirve para comprobar rápidamente si hay una proporción:

${12:8=15:10}$ es una proporción, porque ${{12\cdot 10}={120}}$ y ${{8\cdot 15}={120}}$.

${3:4}$ y ${5:7}$ no forman una proporción: ${{3\cdot 7}={21}}$, pero ${{4\cdot 5}={20}}$.

También funciona al revés: si ${ad=bc}$, los cuatro números forman una proporción. Los factores de un lado de la igualdad pasan a ser los extremos, y los del otro lado, los medios. Por ejemplo, ${3\cdot 8=4\cdot 6}$ da las proporciones ${3:4=6:8}$ y ${3:6=4:8}$.

Cómo resolver una proporción

Si un término de una proporción es desconocido, multiplica en cruz y resuelve la ecuación.

Ejemplo 1. Resuelve ${x:12=5:4}$.

${4x}={12\cdot 5}={60}$, así que ${x=15}$

Comprobación: ${{15\div 12}={1{,}25}}$ y ${{5\div 4}={1{,}25}}$ ✓

Ejemplo 2. Resuelve ${\frac{x+2}{3}=\frac{x-1}{2}}$.

${{2(x+2)}={3(x-1)}}$

${{2x+4}={3x-3}}$, así que ${x=7}$

Comprobación: ${{\frac{7+2}{3}}={3}}$ y ${{\frac{7-1}{2}}={3}}$ ✓

Si despejas cada letra de ${ad=bc}$, ves cómo hallar cualquier término a partir de los otros tres. Un extremo es igual al producto de los medios dividido entre el otro extremo, y un medio es igual al producto de los extremos dividido entre el otro medio:

$$a=\frac{bc}{d}\qquad d=\frac{bc}{a}$$ $$b=\frac{ad}{c}\qquad c=\frac{ad}{b}$$

Cuarta, tercera y media proporcional

La cuarta proporcional de $a$, $b$ y $c$ es el número $x$ tal que ${a:b=c:x}$. Al multiplicar en cruz queda ${ax=bc}$, así que

$$x=\frac{bc}{a}$$

Ejemplo. La cuarta proporcional de 4, 6 y 10 es ${{\frac{6\cdot 10}{4}}={15}}$, porque ${4:6=10:15}$.

En esto se basa la regla de tres: con tres números conocidos se halla el cuarto multiplicando el segundo por el tercero y dividiendo entre el primero.

La tercera proporcional de $a$ y $b$ es el número $x$ tal que ${a:b=b:x}$. Entonces ${ax=b^2}$, así que

$$x=\frac{b^2}{a}$$

Ejemplo. La tercera proporcional de 4 y 6 es ${{\frac{6^2}{4}}={9}}$, porque ${4:6=6:9}$.

La media proporcional de dos números positivos $a$ y $b$ es el número positivo $x$ tal que ${a:x=x:b}$. Entonces ${x^2=ab}$, así que

$$x=\sqrt{ab}$$

La media proporcional también se llama media geométrica de $a$ y $b$.

Ejemplo. La media proporcional de 2 y 18 es ${\sqrt{2\cdot 18}}={\sqrt{36}}={6}$, porque ${2:6=6:18}$.

En la proporción ${4:6=6:9}$, el número 6 es la media proporcional de 4 y 9, y 9 es la tercera proporcional de 4 y 6.

Proporción continua

Tres o más números forman una proporción continua cuando la razón entre cada número y el siguiente es siempre la misma:

$$a:b=b:c=c:d=\ldots$$

Por ejemplo, 64, 32, 16, 8 y 4 forman una proporción continua, porque ${64:32}$, ${32:16}$, ${16:8}$ y ${8:4}$ valen 2. Cada número es el anterior multiplicado por el mismo número, en este caso por $\frac{1}{2}$, así que los números de una proporción continua forman una progresión geométrica.

Ejemplo 1. ¿Forman 4, 10 y 25 una proporción continua? ${{10^2}={100}}$ y ${{4\cdot 25}={100}}$, así que sí: ${4:10=10:25}$.

El primer número y el último

Si $a$, $b$, $c$ forman una proporción continua, entonces ${{\frac{a}{c}}={\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}}}$, y los dos factores son iguales a $\frac{a}{b}$. Por lo tanto

$$a:c=a^2:b^2$$

Es decir, el primer número es al tercero en la razón duplicada del primero al segundo. Con cuatro números en proporción continua, ${a:d=a^3:b^3}$, y así sucesivamente: la razón entre el primer número y el último es la razón común elevada a una potencia una unidad menor que la cantidad de números. En 64, 32, 16, 8, 4 la razón común es 2 y hay 5 números, así que ${64:4}$ vale ${2^4=16}$.

Ejemplo 2. Los números 2, $x$, $y$, 54 forman una proporción continua. Halla $x$ e $y$.

Solución: Cada número es el anterior multiplicado por el mismo número $q$, así que ${2q^3=54}$. Entonces ${q^3=27}$ y ${q=3}$: los números son 2, 6, 18 y 54, así que ${x=6}$ e ${y=18}$.

Propiedades de las proporciones

Una proporción se puede reordenar o combinar de muchas formas y seguir siendo una proporción. En la tabla, ${a:b=c:d}$ y ningún término es cero. Cada ejemplo parte de ${12:4=6:2}$, donde las dos razones valen 3.

Propiedad	Regla	Ejemplo
Alternar los medios	${{a:c}={b:d}}$	${{12:6}={4:2}}$
Alternar los extremos	${{d:b}={c:a}}$	${{2:4}={6:12}}$
Invertir las razones	${{b:a}={d:c}}$	${{4:12}={2:6}}$
Composición	${{(a+b):b}={(c+d):d}}$	${{16:4}={8:2}}$
Descomposición	${{(a-b):b}={(c-d):d}}$	${{8:4}={4:2}}$
Composición y descomposición	${(a+b):(a-b)}={(c+d):(c-d)}$	${{16:8}={8:4}}$
Conversión	${{a:(a-b)}={c:(c-d)}}$	${{12:8}={6:4}}$
Suma de antecedentes y de consecuentes	${{(a+c):(b+d)}={a:b}}$	${{18:6}={12:4}}$
Multiplicar los antecedentes (o los consecuentes) por el mismo número	${{ka:b}={kc:d}}$	${{24:4}={12:2}}$
Potencias y raíces	${{a^n:b^n}={c^n:d^n}}$	${{144:16}={36:4}}$
Multiplicar proporciones	si además ${{e:f}={g:h}}$, entonces ${{ae:bf}={cg:dh}}$	con ${{10:5}={8:4}}$: ${{120:20}={48:8}}$

La composición y descomposición y la conversión necesitan además que ${a\ne b}$, para que ningún término sea cero.

¿Por qué se cumplen estas reglas? Llama $k$ al valor común de las dos razones: ${\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k}$. Entonces ${a=bk}$ y ${c=dk}$. Sustituye estas expresiones en los dos lados de una regla. Para la composición y descomposición:

${\frac{a+b}{a-b}}={\frac{bk+b}{bk-b}}={\frac{k+1}{k-1}}$

${\frac{c+d}{c-d}}={\frac{dk+d}{dk-d}}={\frac{k+1}{k-1}}$

Los dos lados valen lo mismo, así que son iguales. Esta sustitución, que a menudo se llama método de la constante $k$, demuestra también las demás reglas y resuelve muchos problemas de «demuestra que».

Ejemplo. Si ${\frac{a+b}{a-b}=\frac{7}{3}}$, halla ${a:b}$.

Solución: Por composición y descomposición,

${\frac{(a+b)+(a-b)}{(a+b)-(a-b)}}={\frac{7+3}{7-3}}$

${{\frac{2a}{2b}}={\frac{10}{4}}}$, así que ${a:b=5:2}$

Comprobación: con ${a=5}$ y ${b=2}$, ${{\frac{5+2}{5-2}}={\frac{7}{3}}}$ ✓

Proporcionalidad directa e inversa

Dos magnitudes que cambian juntas son directamente proporcionales si su razón se mantiene siempre igual: cuando una se duplica, la otra también, y cuando una se divide entre 3, la otra también. Si $y$ es directamente proporcional a $x$, entonces

$$\frac{y}{x}=k\qquad\text{o}\qquad y=kx$$

El número fijo $k$ se llama constante de proporcionalidad.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si su producto se mantiene siempre igual: cuando una se duplica, la otra se reduce a la mitad. Entonces

$$xy=k\qquad\text{o}\qquad y=\frac{k}{x}$$

La proporcionalidad directa es una recta que pasa por el origen. La proporcionalidad inversa es una curva llamada hipérbola.

	Proporcionalidad directa	Proporcionalidad inversa
Si $x$ se duplica	$y$ se duplica	$y$ se reduce a la mitad
Qué se mantiene igual	la razón $\frac{y}{x}$	el producto $xy$
Fórmula	${y=kx}$	${y=\frac{k}{x}}$
Dos pares de valores	${{x_1:x_2}={y_1:y_2}}$	${{x_1:x_2}={y_2:y_1}}$
Ejemplos	el número de artículos y su precio total; el tiempo y la distancia a velocidad constante	el número de trabajadores y el tiempo que tarda un trabajo; la velocidad y el tiempo para una distancia fija

Ejemplo 1. 3 kg de manzanas cuestan $\$7{,}50$. ¿Cuánto cuestan 5 kg?

Solución: El precio es directamente proporcional al peso. Con el método de reducción a la unidad, primero halla el precio de 1 kg: ${{7{,}50\div 3}={\$2{,}50}}$. Entonces 5 kg cuestan ${{5\cdot 2{,}50}={\$12{,}50}}$. Con una proporción, es decir, con una regla de tres directa, la razón entre los pesos es igual a la razón entre los precios:

${3:5=7{,}50:x}$, así que ${{3x}={37{,}50}}$ y ${{x}={\$12{,}50}}$

Ejemplo 2. 6 trabajadores pintan una valla en 10 horas. ¿Cuánto tardarían 4 trabajadores, si todos trabajan al mismo ritmo?

Solución: Menos trabajadores necesitan más tiempo. El número de trabajadores y el tiempo son inversamente proporcionales, así que su producto se mantiene igual. El trabajo lleva ${{6\cdot 10}=60}$ horas de trabajo de una persona, y 4 trabajadores necesitan ${{60\div 4}=15}$ horas. Con una proporción, es decir, con una regla de tres inversa, la razón entre los números de trabajadores es igual a la razón inversa de los tiempos:

${6:4=x:10}$, así que ${{4x}={60}}$ y ${x=15}$ horas

Ejemplo 3. A 60 km/h un viaje dura 3 horas. ¿Cuánto dura a 90 km/h? La distancia es ${{60\cdot 3}=180}$ km, así que a 90 km/h el viaje dura ${{180\div 90}=2}$ horas.

No todo lo que crece a la vez es proporcional. Un viaje en taxi cuesta una tarifa fija de $\$3$ más $\$2$ por kilómetro. Entonces 1 km cuesta $\$5$ y 2 km cuestan $\$7$, no $\$10$. El precio crece con la distancia, pero no es directamente proporcional a ella, porque la tarifa fija no cambia: ${5:1}$ no es igual a ${7:2}$.

Errores frecuentes

Incorrecto	Correcto
✗ 3 chicos y 5 chicas: la razón entre chicos y chicas es ${5:3}$	✓ Respeta el orden de las palabras: chicos a chicas es ${3:5}$
✗ La razón entre 50 cm y 2 m es ${{50:2}={25:1}}$	✓ Usa las mismas unidades: ${{50:200}={1:4}}$
✗ $\$60$ en la razón ${2:3}$ son ${60\div 2=\$30}$ y ${60\div 3=\$20}$	✓ 5 partes de $\$12$: $\$24$ y $\$36$
✗ ${2:3}={(2+1):(3+1)}={3:4}$	✓ Multiplica o divide los dos términos: ${{2:3}={4:6}}$
✗ La razón duplicada de ${3:1}$ es ${6:1}$	✓ Es ${{3^2:1^2}={9:1}}$
✗ ${\frac{x}{2}+1=\frac{5}{4}}$, así que ${4x+1=10}$	✓ Primero escribe cada lado como una sola fracción: ${\frac{x+2}{2}=\frac{5}{4}}$, así que ${4(x+2)=10}$ y ${x=0{,}5}$
✗ 6 trabajadores tardan 10 horas, así que 4 trabajadores tardan ${\frac{4\cdot 10}{6}\approx 6{,}7}$ horas	✓ Menos trabajadores necesitan más tiempo: ${\frac{6\cdot 10}{4}=15}$ horas
✗ La media proporcional de 4 y 9 es ${\frac{4+9}{2}=6{,}5}$	✓ Es ${\sqrt{4\cdot 9}=6}$, porque ${{4:6}={6:9}}$

Problemas resueltos

Problema 1. Divide 49 en dos partes de modo que la mayor, aumentada en 6, sea a la menor, disminuida en 11, como 9 es a 2.

Solución: Sea $x$ la parte mayor. Entonces la menor es ${49-x}$, y disminuida en 11 es ${38-x}$:

${{(x+6):(38-x)}={9:2}}$

${{2(x+6)}={9(38-x)}}$

${{2x+12}={342-9x}}$, así que ${11x=330}$ y ${x=30}$

Las partes son 30 y 19. Comprobación: ${36:8=9:2}$ ✓

Problema 2. ¿Qué número hay que sumar a 1, a 5 y a 13 para que las tres sumas formen una proporción continua?

Solución: Sea $x$ el número. Las sumas ${x+1}$, ${x+5}$ y ${x+13}$ forman una proporción continua cuando el cuadrado de la del medio es igual al producto de las otras dos:

${(x+5)^2}={(x+1)(x+13)}$

${x^2+10x+25}={x^2+14x+13}$, así que ${4x=12}$ y ${x=3}$

Las sumas son 4, 8 y 16, y ${4:8=8:16}$ ✓

Problema 3. Divide 18 en dos partes cuyos cuadrados estén en la razón ${25:16}$.

Solución: Si los cuadrados de las partes están en la razón ${25:16}$, las partes están en la razón subduplicada, ${{\sqrt{25}:\sqrt{16}}={5:4}}$. Al repartir 18 en la razón ${5:4}$ salen 9 partes de 2, así que las partes son 10 y 8.

Comprobación: ${100:64=25:16}$ ✓

Problema 4. El número 20 se divide en dos partes que están en la razón duplicada de ${3:1}$. Halla la media proporcional de las dos partes.

Solución: La razón duplicada de ${3:1}$ es ${9:1}$. Al repartir 20 en la razón ${9:1}$ salen 10 partes de 2, así que las partes son 18 y 2. Su media proporcional es

${\sqrt{18\cdot 2}}={\sqrt{36}}={6}$

Problema 5. Dos números están en la razón ${3:2}$. Si al mayor se le suma 6 y al menor se le resta 6, los resultados están en la razón ${3:1}$. Halla los números.

Solución: Escribe los números como $3k$ y $2k$:

${(3k+6):(2k-6)}={3:1}$

${3k+6}={3(2k-6)}={6k-18}$, así que ${3k=24}$ y ${k=8}$

Los números son 24 y 16. Comprobación: ${30:10=3:1}$ ✓

Problema 6. Dos números positivos están en la razón duplicada de ${4:3}$, y 24 es su media proporcional. Halla los números.

Solución: La razón duplicada de ${4:3}$ es ${16:9}$, así que escribe los números como $16k$ y $9k$, con ${k\gt 0}$. Su producto es el cuadrado de la media proporcional:

${{16k\cdot 9k}={24^2}}$, así que ${144k^2=576}$, ${k^2=4}$ y ${k=2}$

Los números son 32 y 18. Comprobación: ${32:24}$ y ${24:18}$ valen las dos $\frac{4}{3}$ ✓

Problema 7. El producto de dos números es 135, y la diferencia de sus cuadrados es al cuadrado de su diferencia como 4 es a 1. Halla los números.

Solución: Llama $a$ y $b$ a los números. Como ${a^2-b^2}={(a+b)(a-b)}$, la condición dice que

${\frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)^2}}={\frac{a+b}{a-b}}={\frac{4}{1}}$

Por composición y descomposición, ${{\frac{2a}{2b}}={\frac{4+1}{4-1}}}$, así que ${a:b=5:3}$. Escribe ${a=5k}$ y ${b=3k}$:

${{5k\cdot 3k}={135}}$, así que ${k^2=9}$ y ${k=\pm 3}$

Los números son 15 y 9, o −15 y −9. Comprobación: ${{15\cdot 9}={135}}$ y ${(225-81):36}={144:36}={4:1}$ ✓

Problema 8. Resuelve ${\frac{\sqrt{x+5}+\sqrt{x-5}}{\sqrt{x+5}-\sqrt{x-5}}=3}$.

Solución: Escribe 3 como $\frac{3}{1}$ y aplica composición y descomposición. La suma y la diferencia de las dos raíces se convierten en raíces sueltas:

${\frac{2\sqrt{x+5}}{2\sqrt{x-5}}}={\frac{3+1}{3-1}}={2}$

${{\sqrt{x+5}}={2\sqrt{x-5}}}$, así que ${{x+5}={4(x-5)}}$, ${3x=25}$ y ${x=\frac{25}{3}}$

Comprobación: ${{x+5}={\frac{40}{3}}}$ es 4 veces ${{x-5}={\frac{10}{3}}}$, así que ${{\sqrt{x+5}}={2\sqrt{x-5}}}$, y el lado izquierdo vale ${{\frac{2+1}{2-1}}={3}}$ ✓

Práctica

Resuelve cada problema y después ábrelo para comprobar tu respuesta.

1. Simplifica ${24:36}$.

El máximo común divisor es 12: ${{24:36}={2:3}}$

2. Simplifica ${\frac{3}{4}:\frac{5}{6}}$.

Multiplica los dos términos por 12: ${{\frac{3}{4}:\frac{5}{6}}={9:10}}$

3. ¿Qué razón es mayor, ${7:9}$ o ${10:13}$?

${{7\cdot 13}={91}}$ y ${{9\cdot 10}={90}}$. Como ${91\gt 90}$, la razón ${7:9}$ es mayor.

4. Reparte $\$96$ en la razón ${3:5}$.

Hay 8 partes de $\$12$: $\$36$ y $\$60$.

5. Dos números están en la razón ${5:3}$ y su diferencia es 14. Halla los números.

La diferencia son ${{5-3}=2}$ partes, así que una parte es 7. Los números son 35 y 21.

6. ${a:b=3:4}$ y ${b:c=6:7}$. Halla ${a:b:c}$.

Haz que $b$ valga 12 en las dos razones: ${a:b=9:12}$ y ${b:c=12:14}$, así que ${{a:b:c}={9:12:14}}$.

7. Resuelve ${(x-1):6=5:3}$.

${{3(x-1)}={30}}$, así que ${x-1=10}$ y ${x=11}$.

8. Halla la tercera proporcional de 9 y 12, y la media proporcional de 8 y 18.

La tercera proporcional es ${{\frac{12^2}{9}}={16}}$, porque ${9:12=12:16}$. La media proporcional es ${{\sqrt{8\cdot 18}}={12}}$, porque ${8:12=12:18}$.

9. Halla la razón compuesta de ${7:5}$, la razón duplicada de ${4:9}$ y la razón triplicada de ${3:2}$.

${(7\cdot 16\cdot 27):(5\cdot 81\cdot 8)}={3024:3240}={14:15}$

10. Si ${(a+2b):(a-2b)=9:5}$, halla ${a:b}$.

Por composición y descomposición, ${{\frac{2a}{4b}}={\frac{14}{4}}}$, así que ${\frac{a}{b}=7}$ y ${a:b=7:1}$.

11. Si ${a:b=c:d}$, demuestra que ${(a^2+b^2):(c^2+d^2)=ab:cd}$.

Pon ${a=bk}$ y ${c=dk}$. El lado izquierdo es ${\frac{b^2k^2+b^2}{d^2k^2+d^2}}={\frac{b^2(k^2+1)}{d^2(k^2+1)}}={\frac{b^2}{d^2}}$, y el lado derecho es ${\frac{bk\cdot b}{dk\cdot d}}={\frac{b^2}{d^2}}$. Los dos lados son iguales.

12. Un mapa tiene escala ${1:50\,000}$. Dos pueblos están a ${7{,}4}$ cm en el mapa. ¿A qué distancia están en la realidad?

${7{,}4\cdot 50\,000}={370\,000}$ cm, que son 3700 m, o ${3{,}7}$ km.

13. 4 grifos llenan un depósito en 9 horas. ¿Cuánto tardan 6 grifos iguales?

El número de grifos y el tiempo son inversamente proporcionales: ${{4\cdot 9}={36}}$ y ${{36\div 6}={6}}$ horas.

Más práctica, con números nuevos cada vez (en inglés): ¿qué proporción da el precio?