Límites de sucesiones

Una sucesión es una lista infinita de números $a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots$ El término $a_n$ tiene el número (índice) $n.$ Las progresiones aritméticas y geométricas son ejemplos de sucesiones.

Tomemos la sucesión ${a_n=\frac1n}$:

$1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \ldots,$ $\frac{1}{100},\ \ldots,\ \frac{1}{1000},\ \ldots$

Sus términos son siempre positivos y nunca llegan a 0, pero a medida que $n$ crece se acercan a 0 tanto como queramos: $a_{100}$ se diferencia de 0 en ${0{,}01},$ $a_{1000}$ en ${0{,}001},$ y así sucesivamente. Decimos que la sucesión tiende a 0, o que su límite es 0, y escribimos

Se lee «el límite de $\frac1n$ cuando $n$ tiende a infinito es 0». De forma más corta se escribe ${\frac1n\to 0}.$

En esta página: Definición · Límites infinitos · Límites importantes · Reglas de los límites · Teorema del sándwich · Cómo calcular límites · Problemas resueltos · Errores frecuentes · Ejercicios

Definición de límite

La desigualdad ${|a_n-a|\lt\varepsilon}$ significa ${a-\varepsilon\lt a_n\lt a+\varepsilon}$: el término $a_n$ está en la franja de anchura $2\varepsilon$ alrededor de $a.$ Por estrecha que sea la franja, a partir de cierto índice todos los términos están dentro. Fuera de ella solo pueden quedar un número finito de términos, los que van hasta $n_\varepsilon.$

${a_n=1+\frac{(-1)^{n+1}}{n}}$ y ${\varepsilon=0{,}25}$: todos los términos después del cuarto están entre ${1-\varepsilon}$ y ${1+\varepsilon},$ así que aquí ${n_\varepsilon=4}.$

Una sucesión que tiene límite (un número) se llama convergente; si no, es divergente. Una sucesión convergente tiene un único límite y está acotada: todos sus términos están entre dos números fijos.

Ejemplo. Demuestra que ${\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1}.$

Sea ${a_n=\frac{n+1}{n}}.$ Entonces

${|a_n-1|}={\left|\frac{n+1}{n}-1\right|}={\frac1n}$

y ${\frac1n\lt\varepsilon}$ para todo ${n\gt\frac1\varepsilon},$ así que podemos tomar ${n_\varepsilon=\frac1\varepsilon}.$ Por ejemplo, para ${\varepsilon=0{,}01}$ todos los términos con ${n\gt 100}$ se diferencian de 1 en menos de ${0{,}01}.$

De la definición se deduce también que ${a_n\to a}$ significa lo mismo que ${a_n-a\to 0},$ y lo mismo que ${|a_n-a|\to 0}.$

Límites infinitos

Los términos de ${a_n=n^2}$ crecen sin límite: $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots$ Para cualquier número $M,$ por grande que sea, todos los términos a partir de cierto índice son mayores que $M.$ Entonces escribimos ${\lim_{n\to\infty}n^2=+\infty}$ y decimos que la sucesión tiende a más infinito. Del mismo modo ${\lim_{n\to\infty}(-n)=-\infty}.$

Una sucesión con límite $+\infty$ o $-\infty$ sigue siendo divergente, porque $+\infty$ y $-\infty$ no son números. Algunas sucesiones no tienen ningún límite, ni un número ni $\pm\infty.$ Por ejemplo, ${b_n=(-1)^n}$ toma los valores $-1;\ 1;\ -1;\ 1;\ \ldots$ y no se acerca a ningún valor concreto.

Límites importantes

Los términos de ${\left(1+\frac1n\right)^n}$ crecen: ${2;\ 2{,}25;\ 2{,}370\ldots;\ 2{,}441\ldots}$ Nunca llegan a $e,$ y para todo $n$

${\left(1+\frac1n\right)^n}\lt{e}\lt{\left(1+\frac1n\right)^{n+1}}$

así que también ${\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n+1}=e}.$ En general, ${\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac kn\right)^n=e^k}$ para todo número $k.$ En particular, ${\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)^n=e^{-1}=\frac1e}.$

Reglas de los límites

Sean ${\lim_{n\to\infty}a_n=a}$ y ${\lim_{n\to\infty}b_n=b},$ donde $a$ y $b$ son números. Entonces

Dicho con palabras: el límite de una suma, resta, producto o cociente es la suma, resta, producto o cociente de los límites, siempre que los dos límites sean números y no dividamos entre 0.

Ejemplo.

${\lim_{n\to\infty}\left(3-\frac2n+\frac{5}{n^2}\right)}={3-2\cdot 0+5\cdot 0}={3}$

Reglas para límites infinitos

Si ${a_n\to+\infty}$ y ${b_n\to+\infty},$ entonces

${a_n+b_n\to+\infty},$   ${a_n\cdot b_n\to+\infty},$   ${-a_n\to-\infty},$   ${\frac{1}{a_n}\to 0}$

${a_n^k\to+\infty}$ si ${k\gt 0},$   ${a_n^k\to 0}$ si ${k\lt 0}$

Además, si ${a_n\to+\infty}$ y $b_n$ tiene como límite un número, entonces ${a_n+b_n\to+\infty}.$ Si ${a_n\to 0}$ y ${a_n\gt 0},$ entonces ${\frac{1}{a_n}\to+\infty}.$

Las expresiones ${\infty-\infty},$ ${\frac{\infty}{\infty}},$ ${0\cdot\infty},$ ${\frac00}$ y $1^\infty$ son indeterminaciones. Las reglas no dicen nada sobre ellas: un límite así puede ser cualquier número, $\pm\infty,$ o no existir. Primero hay que transformar la sucesión, como se muestra más abajo.

Comparación y teorema del sándwich

Sean ${\lim_{n\to\infty}a_n=a}$ y ${\lim_{n\to\infty}b_n=b}.$ Si ${a_n\le b_n}$ para todo $n,$ entonces ${a\le b}.$

Aunque ${a_n\lt b_n}$ para todo $n,$ solo podemos concluir ${a\le b},$ no ${a\lt b}.$ Por ejemplo, ${0\lt\frac1n}$ para todo $n,$ pero las dos sucesiones tienen límite 0.

Ejemplo. Como ${-1\le\operatorname{sen} n\le 1},$ se tiene ${-\frac1n\le\frac{\operatorname{sen} n}{n}\le\frac1n}.$ Las dos sucesiones de los extremos tienden a 0, así que ${\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sen} n}{n}=0}.$

Cómo calcular límites

Cociente de polinomios en $n.$ Dividimos el numerador y el denominador entre la mayor potencia de $n$ del denominador y usamos ${\frac{1}{n^k}\to 0}$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2-n+3}{5n^2+4}}={\lim_{n\to\infty}\frac{2-\frac1n+\frac{3}{n^2}}{5+\frac{4}{n^2}}}={\frac{2-0+0}{5+0}}={\frac25}$

En general, para polinomios $P(n)$ y $Q(n)$: si el grado de $P$ es menor que el de $Q,$ entonces ${\frac{P(n)}{Q(n)}\to 0};$ si los grados son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales; si el grado de $P$ es mayor, el límite es $+\infty$ o $-\infty.$

Diferencia de raíces cuadradas (${\infty-\infty}$). Multiplicamos y dividimos por la suma de las raíces, de modo que ${(\sqrt A-\sqrt B)(\sqrt A+\sqrt B)}={{A-B}.}$ Mira los problemas 7 y 8.

Potencias como $2^n$ y $3^n.$ Dividimos entre la potencia de mayor base y usamos ${q^n\to 0}$ para ${-1\lt q\lt 1}.$ Mira el problema 10.

La indeterminación $1^\infty.$ Llevamos la sucesión a la forma ${\left(1+\frac1n\right)^n}$ o ${\left(1+\frac kn\right)^n}.$ Mira el problema 9.

Problemas resueltos

Problema 1. Halla ${\lim_{n\to\infty}5\cdot\left(\frac14\right)^n}.$

Solución: Como ${-1\lt\frac14\lt 1},$ se tiene ${\left(\frac14\right)^n\to 0},$ y

${\lim_{n\to\infty}5\cdot\left(\frac14\right)^n}={5\cdot 0}={0}$

Compara: en ${5\cdot 4^n}$ la base es mayor que 1, así que ${5\cdot 4^n\to+\infty}.$

Problema 2. Halla ${\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+1}{2n-n^2}}.$

Solución: Dividimos el numerador y el denominador entre $n^2$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+1}{2n-n^2}}={\lim_{n\to\infty}\frac{3+\frac{1}{n^2}}{\frac2n-1}}={\frac{3+0}{0-1}}={-3}$

Problema 3. La sucesión $(a_n)$ tiende a 1, y ${a_n\ne 1}$ para todo $n.$ Halla ${\lim_{n\to\infty}\frac{2a_n^2-a_n-1}{a_n-1}}.$

Solución: El numerador y el denominador tienden a 0, así que la regla del cociente no se puede aplicar directamente. Factorizamos el numerador: ${2a_n^2-a_n-1}={{(a_n-1)(2a_n+1)}.}$ Como ${a_n\ne 1},$ podemos simplificar ${a_n-1}$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{2a_n^2-a_n-1}{a_n-1}}={\lim_{n\to\infty}\frac{(a_n-1)(2a_n+1)}{a_n-1}}={\lim_{n\to\infty}(2a_n+1)}={2\cdot 1+1}={3}$

Problema 4. Demuestra con la definición que ${\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n+3}=2}.$

Solución: Sea ${a_n=\frac{2n+1}{n+3}}.$ Entonces

${|a_n-2|}={\left|\frac{2n+1}{n+3}-2\right|}={\left|\frac{2n+1-2n-6}{n+3}\right|}={\frac{5}{n+3}}$

y ${\frac{5}{n+3}\lt\varepsilon}$ para todo ${n\gt\frac5\varepsilon-3}.$ Así que podemos tomar ${n_\varepsilon=\frac5\varepsilon-3}.$ Por ejemplo, para ${\varepsilon=0{,}1}$ obtenemos ${n_\varepsilon=47}$: a partir del término 48, todos los términos se diferencian de 2 en menos de ${0{,}1}.$

Problema 5. Halla ${\lim_{n\to\infty}\frac{n^3-2n}{4n^3+n^2+5}}.$

Solución: Dividimos entre $n^3$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{n^3-2n}{4n^3+n^2+5}}={\lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{2}{n^2}}{4+\frac1n+\frac{5}{n^3}}}={\frac{1-0}{4+0+0}}={\frac14}$

Problema 6. Halla a) ${\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+3}{n^3+1}};$   b) ${\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+1}{2n^2+3}}.$

Solución: a) Dividimos entre $n^3$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+3}{n^3+1}}={\lim_{n\to\infty}\frac{\frac2n+\frac{3}{n^3}}{1+\frac{1}{n^3}}}={\frac{0+0}{1+0}}={0}$

b) Dividimos entre $n^2.$ El numerador tiende a $+\infty$ y el denominador a 2, así que

${\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+1}{2n^2+3}}={\lim_{n\to\infty}\frac{n+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{3}{n^2}}}={+\infty}$

Problema 7. Halla ${\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt n)}.$

Solución: Es la indeterminación ${\infty-\infty}.$ Multiplicamos y dividimos por ${\sqrt{n+1}+\sqrt n}$:

${\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt n)}={\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}}={\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}}={0}$

porque el denominador tiende a $+\infty.$

Problema 8. Halla ${\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n}-n)}.$

Solución: Otra vez ${\infty-\infty}.$ Multiplicamos y dividimos por ${\sqrt{n^2+n}+n},$ y después dividimos entre $n$:

${\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n}-n)}={\lim_{n\to\infty}\frac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}}={\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}}={\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}}={\frac{1}{1+1}}={\frac12}$

Problema 9. Halla ${\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{3n}}.$

Solución: Es la indeterminación $1^\infty.$ Escribimos la potencia como un cubo:

${\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{3n}}={\lim_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)^3}={e^3}$

Problema 10. Halla ${\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+3^n}{3^{n+1}-2^n}}.$

Solución: Dividimos el numerador y el denominador entre $3^n$ y usamos ${\left(\frac23\right)^n\to 0}$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+3^n}{3^{n+1}-2^n}}={\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\frac23\right)^n+1}{3-\left(\frac23\right)^n}}={\frac{0+1}{3-0}}={\frac13}$

Errores frecuentes

Ejercicios

Halla los límites. Inténtalo primero y después abre la respuesta.

Mira también: Fórmulas de derivadas (la derivada se define como un límite).