Límites de sucesiones, Lim

Ya sabemos qué son progresiones aritmética y geométrica. - unas secuencias o sucesiones de valores. Tomemos la sucesión a_n = 1/n, si k y m son números naturales entonces para cada k < m es cierto que a_k > a_m, por lo tanto mientras más grande se va volviendo n mayor la tendencia de a_n a disminuir, siendo siempre positivo, pero nunca alcanzando a ser nulo. En este caso decimos que 0 es
el lim a_n->∞ cuando n->∞, o escrito de otra forma lim_n->∞ a_n = 0.

Definición de límite

El número a se llama límite de una sucesión, si para cada ε > 0 se puede encontrar un numero n_ε, tal que para todos los miembros de la sucesión a_n con índice n > n_ε es cierto que a - ε < a_n < a + ε.

Regla básica

Una sucesión no siempre tiene límite, y a veces tiene un límite no real ( -∞ o +∞ ). Los límites +∞ y -∞ se denominan límites no reales.

Si las sucesiones a_n y b_n tienen ambas límites reales, entonces las sucesiones
a_n + b_n, a_n - b_n, a_n.b_n y a_n / b_n tienen también límite real y:

Si a_n < b_n para todo natural n y lim_n->∞a_n = a,
lim_n->∞b_n = b entonces a ≤ b

Si a_n ≤ b_n ≤ c_n para todo real n y si lim_n->∞a_n = lim_n->∞c_n = A
entonces lim_n->∞b_n = A.

Si a_n ≥ 0 y lim_n->∞a_n = a, entonces la sucesión b_n = √a_n también tiene un límite y lim_n->∞√a_n = √a_n.

Si a_n = ¹/_nk y k ≥ 1 entonces lim_n->∞a_n = 0.

e es el número Neperiano.

Si la sucesión a_n tiene un límite no real ( -∞ o +∞ ) entonces la sucesión 1/a_n tiene un límite y lim_n->∞¹/_an = 0

Si las sucesiones a_n y b_n tienen límites no reales y lim_n->∞a_n=+∞, lim_n->∞b_n=+∞ entonces:

Problemas de límites

Ejercicio 1:
Si aⁿ = 5.4ⁿ, lim_n->0a_n = ?

Respuesta:
lim_n->0a_n = lim_n->05 . lim_n->04ⁿ = 5 . 4⁰ = 5.1 = 5

Ejercicio 2:

Respuesta:

Ejercicio 3:

Respuesta: