Fórmulas de progresión geométrica
En matemáticas, una progresión geométrica (sucesión) (también conocida incorrectamente como serie geométrica) es una secuencia de números tal que el cociente de cualquiera de los dos miembros sucesivos de la secuencia es una constante llamada relación común de la sucesión.
La progresión geométrica se puede escribir como:
$ar^0=a,\ ar^1=ar,\ ar^2,\ ar^3,\ ar^4...$
donde $r \ne 0$, $r$ es la razón común y a es un factor de escala (también el primer término).
Ejemplos
Una progresión geométrica con relación común 2 y factor de escala 1 es
1, 2, 4, 8, 16, 32...
Una secuencia geométrica con relación común 3 y factor de escala 4 es
4, 12, 36, 108, 324...
Una progresión geométrica con razón común -1 y factor de escala 5 es
5, -5, 5, -5, 5, -5,...
Fórmulas
La fórmula para el n-ésimo término se puede definir como:
$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$
La fórmula para la relación común es:
$r = \frac{a_k}{a_{k-1}}$
Si la razón común es:
- Negativa, los resultados alternarán entre positivo y negativo.
Ejemplo:
1, -2, 4, -8, 16, -32... - la razón común es -2 y el primer término es 1.
- Mayor que 1, habrá un crecimiento exponencial hacia el infinito (positivo).
Ejemplo:
1, 5, 25, 125, 625 ... - la razón común es 5.
- Menor que -1, habrá crecimiento exponencial hacia el infinito (positivo y negativo).
Ejemplo:
1, -5, 25, -125, 625, -3125, 15625, -78125, 390625, -1953125 ... - la razón común es -5.
- Entre 1 y -1, habrá decrecimiento exponencial hacia cero..
Ejemplo:
4, 2, 1, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625 ... - la razón común es $\frac{1}{2}$
4, -2, 1, -0.5, 0.25, -0.125, 0.0625 ... - la razón común es $-\frac{1}{2}$.
- Cero, los resultados se mantendrán en cero.
Ejemplo:
4, 0, 0, 0, 0 ... - la razón común es 0 y el primer término es 4.
Propiedades de la progresión geométrica
$a_1 \cdot a_n = a_{2} \cdot a_{n-1} = ... = a_k \cdot a_{n-k+1}$
Series geométricas
Fórmula para la suma de los primeros n números de una serie geométrica.
$a + a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}= \frac{ a_1-a_n r}{1-r} = a_1\frac{1-r^n}{1-r}$
o
$a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}= a\frac{1-r^n}{1-r}$
Series geométricas infinitas donde |r| < 1
Si |r| < 1 entonces an -> 0,
cuando n -> ∞.
La suma S de tal serie geométrica infinita viene dada por la fórmula:
$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \cdots = a_1\frac{1}{1-r}$
o
$a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots = a\frac{1}{1-r}$
la cual es válida solo cuando |r| < 1.
Calculadora de progresión geométrica
Problemas de progresión geométrica
Problema 1.
Es la sucesión 2, 4, 6, 8... una progresión geométrica?
Solución: No, no lo es. (2, 4, 8 si es una progresión geométrica)
Problema 2
Si 2, 4, 8... forman una progresión geométrica. Cuál es el 10mo término?
Solución: Podemos usar la fórmula an = a1 ⋅ rn-1
a10 = 2 ⋅ 210-1 = 2 ⋅ 512 = 1024
Problema 3
Encuentre el factor de escala y la razón común de una progresión geométrica si
a5 - a1 = 15
a4 - a2 = 6
Solución: Hay dos progresiones geométricas. La primera tiene un factor de escala 1 y una razón común = 2
la segunda progresión tiene un factor de -16 y una razón de 1/2.