Progresión geométrica

Los números 3, 6, 12, 24, 48 forman una sucesión en la que cada número es el doble del anterior. Una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un mismo número se llama progresión geométrica o sucesión geométrica.

Se llama razón porque el cociente de dos términos consecutivos cualesquiera es siempre el mismo: ${\frac{a_2}{a_1}}={\frac{a_3}{a_2}}={\frac{a_4}{a_3}}=\ldots={r}$. Una progresión aritmética se construye sumando siempre el mismo número; una geométrica, multiplicando.

Contenido: Ejemplos · Término general · El papel de la razón · Propiedades · Aritmética y geométrica · Suma de n términos · Serie infinita · Calculadora · Errores frecuentes · Problemas resueltos · Para practicar

Ejemplos

• $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ \ldots$ – primer término $1$, razón ${r=2}$.
• $81,\ 27,\ 9,\ 3,\ 1,\ \ldots$ – primer término $81$, razón ${r=\frac{1}{3}}$, porque cada término es la tercera parte del anterior.
• $5,\ -5,\ 5,\ -5,\ \ldots$ – primer término $5$, razón ${r=-1}$.
• $1,\ -2,\ 4,\ -8,\ 16,\ \ldots$ – razón ${r=-2}$: los signos se alternan.
• $7,\ 7,\ 7,\ 7,\ \ldots$ – razón ${r=1}$: todos los términos son iguales.

La sucesión $2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \ldots$ no es una progresión geométrica: ${\frac{4}{2}}={2}$, pero ${\frac{6}{4}}={1{,}5}$. Es una progresión aritmética, porque la diferencia entre términos consecutivos es constante (2).

¿Por qué los términos y la razón deben ser distintos de cero? Si ${r=0}$, la sucesión es de la forma $4,\ 0,\ 0,\ 0,\ \ldots$ y el cociente ${\frac{a_3}{a_2}}={\frac{0}{0}}$ no tiene sentido. Por eso una sucesión como $4,\ 0,\ 0,\ \ldots$ no se considera una progresión geométrica.

Fórmula del término general

Empieza en $a_1$ y multiplica una y otra vez por $r$:

${a_2}={a_1r},\quad {a_3}={a_2r}={a_1r^2},\quad {a_4}={a_1r^3},\quad \ldots$

Para llegar al término $n$-ésimo multiplicamos por $r$ un total de $n-1$ veces. Así se obtiene la fórmula del término general:

Ejemplo. La progresión $3,\ 6,\ 12,\ \ldots$ tiene ${a_1}={3}$ y ${r}={2}$. Su octavo término es ${a_8}={3\times 2^7}={3\times 128}={384}$.

Si conocemos algún término $a_k$ en lugar del primero, podemos partir de él: ${a_n}={a_k\cdot r^{\,n-k}}$. Por ejemplo, ${a_{10}}={a_7\cdot r^3}$.

Cómo hallar la razón

La razón es cualquier término dividido entre el anterior:

${r}={\frac{a_{n+1}}{a_n}}$

Si nos dan dos términos que no son consecutivos, usamos ${a_n}={a_k\cdot r^{\,n-k}}$.

• ${a_3}={12}$ y ${a_6}={96}$: ${a_6}={a_3\cdot r^3}$, es decir, ${12r^3}={96}$, ${r^3}={8}$ y ${r}={2}$.
• ${a_2}={6}$ y ${a_4}={54}$: ${6r^2}={54}$, ${r^2}={9}$. Aquí hay dos posibilidades: ${r}={3}$ (la progresión $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \ldots$) o ${r}={-3}$ (la progresión $-2,\ 6,\ -18,\ 54,\ \ldots$).

Cómo se comporta la progresión según la razón

El comportamiento de los términos depende de la razón $r$ y del signo del primer término.

Razón	Qué pasa con los términos	Ejemplo
${r\gt 1}$	Si ${a_1\gt 0}$, la progresión es creciente y sus términos crecen sin límite. Si ${a_1\lt 0}$, es decreciente.	$1,\ 5,\ 25,\ 125,\ \ldots$ $-1,\ -2,\ -4,\ -8,\ \ldots$
${r}={1}$	Todos los términos son iguales (sucesión constante).	$7,\ 7,\ 7,\ \ldots$
${0\lt r\lt 1}$	Si ${a_1\gt 0}$, la progresión es decreciente; si ${a_1\lt 0}$, creciente. En ambos casos los términos se acercan a $0$.	$16,\ 8,\ 4,\ 2,\ 1,\ \ldots$
${-1\lt r\lt 0}$	Los signos se alternan y los términos se acercan a $0$.	$4;\ -2;\ 1;\ -0{,}5;\ 0{,}25;\ \ldots$
${r}={-1}$	Los términos se alternan: $a_1,\ -a_1,\ a_1,\ \ldots$	$5,\ -5,\ 5,\ -5,\ \ldots$
${r\lt -1}$	Los signos se alternan y los valores absolutos de los términos crecen sin límite. Los términos de lugar par van hacia un infinito y los de lugar impar, hacia el otro.	$1,\ -5,\ 25,\ -125,\ \ldots$

En resumen: si ${|r|\lt 1}$ los términos se acercan a cero, y si ${|r|\gt 1}$ sus valores absolutos crecen sin límite. Con razón negativa los signos siempre se alternan.

Propiedades

La propiedad de la media geométrica

Cada término, salvo el primero, está relacionado con sus vecinos así:

Por qué es cierto: ${a_{k-1}\cdot a_{k+1}}={\frac{a_k}{r}\cdot a_kr}={a_k^2}$.

Si los términos son positivos, ${a_k}={\sqrt{a_{k-1}\cdot a_{k+1}}}$: cada término es la media geométrica de sus vecinos. De ahí viene el nombre de progresión «geométrica». Por ejemplo, en $4,\ 6,\ 9$ se cumple ${6}={\sqrt{4\cdot 9}}$.

El recíproco también es cierto: si los números $a$, $b$, $c$ son distintos de cero y ${b^2}={ac}$, entonces $a$, $b$, $c$ son términos consecutivos de una progresión geométrica. Por ejemplo, los números $2$, $x$, $18$ son términos consecutivos de una progresión geométrica cuando ${x^2}={36}$, es decir, para ${x}={6}$ o ${x}={-6}$.

Términos equidistantes de los extremos

Dos términos que están a la misma distancia de los extremos tienen el mismo producto:

${a_1\cdot a_n}={a_2\cdot a_{n-1}}={a_3\cdot a_{n-2}}=\ldots={a_k\cdot a_{n-k+1}}$

En general: si ${m+n}={p+s}$, entonces ${a_m\cdot a_n}={a_p\cdot a_s}$, porque ambos productos son iguales a ${a_1^2\,r^{\,m+n-2}}$.

Ejemplo. En una progresión geométrica ${a_2\cdot a_8}={36}$. Entonces ${a_4\cdot a_6}={36}$ (porque ${4+6}={2+8}$) y ${a_5^2}={36}$, así que ${a_5}={6}$ o ${a_5}={-6}$.

Progresiones aritméticas y geométricas

	Progresión aritmética	Progresión geométrica
Regla	${a_{n+1}}={a_n+d}$	${a_{n+1}}={a_n\cdot r}$
Término general	${a_n}={a_1+(n-1)d}$	${a_n}={a_1\cdot r^{n-1}}$
Término central	${a_k}={\frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}}$ – la media aritmética	${a_k^2}={a_{k-1}\cdot a_{k+1}}$ – la media geométrica
Suma de $n$ términos	${S_n}={\frac{(a_1+a_n)\,n}{2}}$	${S_n}={a_1\cdot\frac{r^n-1}{r-1}}$

Una progresión aritmética crece de forma «lineal», con el mismo paso cada vez, mientras que una geométrica crece de forma «exponencial», por el mismo factor cada vez. Por eso, cuando ${r\gt 1}$, una progresión geométrica tarde o temprano supera a cualquier progresión aritmética.

Suma de los n primeros términos

Sea ${S_n}={a_1+a_2+\ldots+a_n}={a_1+a_1r+a_1r^2+\ldots+a_1r^{n-1}}$. Una suma así se llama serie geométrica.

Cómo se deduce la fórmula. Multiplica la suma por $r$ y resta:

${rS_n}={a_1r+a_1r^2+\ldots+a_1r^{n-1}+a_1r^n}$

${rS_n-S_n}={a_1r^n-a_1}$

Todos los términos intermedios se cancelan. Queda ${S_n(r-1)}={a_1(r^n-1)}$. Si ${r\ne 1}$, dividimos entre ${r-1}$:

Las dos fracciones son iguales (el numerador y el denominador están multiplicados por $-1$). La primera es más cómoda cuando ${r\gt 1}$, y la segunda cuando ${r\lt 1}$. Como ${a_1r^n}={a_n r}$, la fórmula también se puede escribir con el último término: ${S_n}={\frac{a_nr-a_1}{r-1}}$.

Ejemplo 1. ${1+2+4+\ldots+2^9}={1\times\frac{2^{10}-1}{2-1}}={1023}$.

Ejemplo 2. ${3-6+12-24+48-96}=\,?$ Aquí ${a_1}={3}$, ${r}={-2}$, ${n}={6}$: ${S_6}={3\times\frac{(-2)^6-1}{-2-1}}={3\times\frac{63}{-3}}={-63}$.

La leyenda del tablero de ajedrez. El inventor del ajedrez pidió como recompensa 1 grano de trigo por la primera casilla, 2 por la segunda, 4 por la tercera, y así sucesivamente, cada vez el doble, hasta la casilla 64. El número de granos es

${1+2+2^2+\ldots+2^{63}}={2^{64}-1}={18\,446\,744\,073\,709\,551\,615}.$

Es muchísimo más trigo del que se cultiva en todo el mundo en un año.

Dinero. Si al comienzo de cada año depositas $\$1\,000$ en una cuenta que paga un 4% de interés compuesto anual, al final del quinto año tendrás

${\$1\,000\times 1{,}04}+{\$1\,000\times 1{,}04^2}+{\ldots+\$1\,000\times 1{,}04^5}={\$1\,040\times\frac{1{,}04^5-1}{0{,}04}}\approx{\$5\,632{,}98}.$

Los sumandos forman una progresión geométrica con ${a_1}={1\,040}$ y ${r}={1{,}04}$. Puedes calcular el interés compuesto con la calculadora de interés compuesto. Con esta misma suma se calcula la cuota mensual de un préstamo: mira de dónde viene la fórmula de la cuota.

Serie geométrica infinita

Cuando ${|r|\lt 1}$, los valores absolutos de los términos disminuyen y se acercan a cero. Aunque hay infinitos términos, su suma es un número finito. A una progresión así se le llama a veces progresión geométrica decreciente infinita.

${\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\ldots}={1}$: las piezas llenan todo el cuadrado.

De dónde viene la fórmula. Sabemos que ${S_n}={a_1\cdot\frac{1-r^n}{1-r}}$. Cuando ${|r|\lt 1}$ y $n$ crece, $r^n$ se acerca a $0$. Por tanto, $S_n$ se acerca a ${\frac{a_1}{1-r}}$.

Ejemplos.

• ${1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots}={\frac{1}{1-\frac{1}{2}}}={2}$.
• ${1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\ldots}={\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}}={\frac{2}{3}}$.
• Los decimales periódicos son sumas de series de este tipo: ${0{,}\overline{3}}={\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+\ldots}={\frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}}}={\frac{1}{3}}$.
• Del mismo modo, ${0{,}\overline{27}}={\frac{\frac{27}{100}}{1-\frac{1}{100}}}={\frac{27}{99}}={\frac{3}{11}}$, y ${0{,}\overline{9}}={\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}}={1}$.

La fórmula ${S}={\frac{a_1}{1-r}}$ vale solo cuando ${|r|\lt 1}$. La suma ${1+2+4+8+\ldots}$ no tiene un valor finito, y sin embargo la fórmula daría ${\frac{1}{1-2}}={-1}$, lo cual es absurdo.

Calculadora de progresión geométrica

Escribe el primer término, la razón y el número de términos. La razón puede ser una fracción, como $1/2$, o un decimal, como $0{,}5$. La calculadora muestra los términos, el término $n$-ésimo, la suma de los $n$ primeros términos y, cuando ${|r|\lt 1}$, la suma de la serie infinita.

Errores frecuentes

Problemas resueltos

Problema 1. ¿Es la sucesión $2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \ldots$ una progresión geométrica?

Solución. No. ${\frac{4}{2}}={2}$, pero ${\frac{6}{4}}={1{,}5}$: los cocientes de términos consecutivos no son iguales. (Es una progresión aritmética de diferencia 2.)

Problema 2. Los números $2,\ 4,\ 8,\ \ldots$ forman una progresión geométrica. Halla su décimo término.

Solución. ${a_1}={2}$ y ${r}={2}$, así que ${a_{10}}={a_1r^9}={2\times 2^9}={2\times 512}={1024}$.

Problema 3. Halla el primer término y la razón de una progresión geométrica si ${a_5-a_1}={15}$ y ${a_4-a_2}={6}$.

Solución. Escribimos los términos en función de $a_1$ y $r$:

${a_1r^4-a_1}={15}\ \Rightarrow\ {a_1(r^2-1)(r^2+1)}={15}$

${a_1r^3-a_1r}={6}\ \Rightarrow\ {a_1r(r^2-1)}={6}$

Dividimos la primera igualdad entre la segunda (${r^2-1}\ne{0}$, porque si no la primera diría ${0}={15}$): ${\frac{r^2+1}{r}}={\frac{5}{2}}$, es decir, ${2r^2-5r+2}={0}$, de donde ${r}={2}$ o ${r}={\frac{1}{2}}$.

• Si ${r}={2}$: ${a_1\times 2\times 3}={6}$, ${a_1}={1}$. La progresión es $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$
• Si ${r}={\frac{1}{2}}$: ${a_1\times\frac{1}{2}\times\left(-\frac{3}{4}\right)}={6}$, ${a_1}={-16}$. La progresión es $-16,\ -8,\ -4,\ -2,\ -1,\ \ldots$

Respuesta: ${a_1}={1}$, ${r}={2}$, o bien ${a_1}={-16}$, ${r}={\frac{1}{2}}$. Comprobación de la segunda: ${-1-(-16)}={15}$ y ${-2-(-8)}={6}$.

Problema 4. ¿Para qué valores de $x$ los números ${x-1}$, ${x+1}$ y ${2x+5}$ son términos consecutivos de una progresión geométrica?

Solución. Por la propiedad de la media geométrica, ${(x+1)^2}={(x-1)(2x+5)}$, es decir, ${x^2+2x+1}={2x^2+3x-5}$ y ${x^2+x-6}={0}$. Las raíces son ${x}={2}$ y ${x}={-3}$.

• ${x}={2}$: los números $1,\ 3,\ 9$, de razón $3$.
• ${x}={-3}$: los números $-4,\ -2,\ -1$, de razón $\frac{1}{2}$.

En los dos casos ninguno de los números es cero, así que la respuesta es ${x}={2}$ o ${x}={-3}$.

Problema 5. Tres números forman una progresión geométrica. Su suma es 21 y su producto es 216. Halla los números.

Solución. Llamamos a los números $\frac{b}{r}$, $b$, $br$. Su producto es ${b^3}={216}$, así que ${b}={6}$. Entonces ${\frac{6}{r}+6r}={15}$, es decir, ${2r^2-5r+2}={0}$, de donde ${r}={2}$ o ${r}={\frac{1}{2}}$. Respuesta: $3,\ 6,\ 12$ o $12,\ 6,\ 3$.

Problema 6. El número de bacterias de una colonia se duplica cada 20 minutos. Al principio hay 1 bacteria. ¿Cuántas habrá al cabo de 3 horas?

Solución. En 3 horas hay ${\frac{180}{20}}={9}$ duplicaciones. Al principio hay ${a_1}={1}$, tras la primera duplicación $a_2$, y tras la novena $a_{10}$: ${a_{10}}={1\times 2^9}={512}$ bacterias.

Problema 7. Una pelota cae desde una altura de 8 m. Tras cada bote sube hasta los $\frac{3}{4}$ de la altura anterior. ¿Qué distancia recorre la pelota hasta detenerse?

Solución. Hacia abajo la pelota recorre ${8+6+4{,}5+\ldots}$, y hacia arriba ${6+4{,}5+\ldots}$ La suma ${6+4{,}5+\ldots}$ es una serie geométrica infinita con ${a_1}={6}$ y ${r}={\frac{3}{4}}$: ${\frac{6}{1-\frac{3}{4}}}={24}$. La distancia total es ${8+2\times 24}={56}$ m.

Problema 8. Escribe $0{,}\overline{36}$ como fracción.

Solución. ${0{,}\overline{36}}={\frac{36}{100}+\frac{36}{10\,000}+\ldots}={\frac{\frac{36}{100}}{1-\frac{1}{100}}}={\frac{36}{99}}={\frac{4}{11}}$.

Problemas para practicar

Inténtalo tú y luego abre la solución.

1. ${a_1}={5}$, ${r}={3}$. Halla $a_6$.

${a_6}={5\times 3^5}={5\times 243}={1215}$.

2. ${a_1}={64}$, ${r}={-\frac{1}{2}}$. Halla $a_7$.

${a_7}={64\times\left(-\frac{1}{2}\right)^6}={64\times\frac{1}{64}}={1}$.

3. ${a_2}={6}$ y ${a_5}={162}$. Halla $a_1$ y $r$.

${a_5}={a_2r^3}$, así que ${r^3}={\frac{162}{6}}={27}$ y ${r}={3}$. Entonces ${a_1}={\frac{6}{3}}={2}$.

4. ${a_3}={4}$ y ${a_5}={36}$. Halla $a_4$.

${r^2}={\frac{36}{4}}={9}$, así que ${r}={3}$ o ${r}={-3}$. Entonces ${a_4}={12}$ o ${a_4}={-12}$. También se ve con ${a_4^2}={a_3\cdot a_5}={144}$.

5. Calcula ${3+6+12+\ldots+768}$.

${a_1}={3}$, ${r}={2}$. De ${3\times 2^{n-1}}={768}$ se obtiene ${2^{n-1}}={256}$, así que ${n}={9}$. ${S_9}={3\times\frac{2^9-1}{2-1}}={3\times 511}={1533}$.

6. ${a_1}={2}$, ${r}={3}$ y ${S_n}={242}$. Halla $n$.

${2\times\frac{3^n-1}{3-1}}={242}$, así que ${3^n-1}={242}$, ${3^n}={243}$ y ${n}={5}$.

7. Calcula ${9-3+1-\frac{1}{3}+\ldots}$

${a_1}={9}$, ${r}={-\frac{1}{3}}$ y ${|r|\lt 1}$. ${S}={\frac{9}{1+\frac{1}{3}}}={\frac{9}{\frac{4}{3}}}={\frac{27}{4}}$.

8. Una serie geométrica infinita tiene suma 12 y primer término 8. Halla la razón y el tercer término.

${\frac{8}{1-r}}={12}$, así que ${1-r}={\frac{2}{3}}$ y ${r}={\frac{1}{3}}$. ${a_3}={8\times\frac{1}{9}}={\frac{8}{9}}$.

9. Escribe $0{,}1\overline{6}$ como fracción.

${0{,}1\overline{6}}={\frac{1}{10}+\frac{6}{100}+\frac{6}{1000}+\ldots}={\frac{1}{10}+\frac{\frac{6}{100}}{1-\frac{1}{10}}}={\frac{1}{10}+\frac{1}{15}}={\frac{1}{6}}$.

10. Un pueblo tiene $50\,000$ habitantes y su población crece un 10% al año. ¿Cuántos tendrá dentro de 3 años?

Cada año la población se multiplica por $1{,}1$: ${50\,000\times 1{,}1^3}={50\,000\times 1{,}331}={66\,550}$ habitantes.

11. Una progresión geométrica tiene términos positivos y ${a_3\cdot a_9}={144}$. Halla $a_6$.

${3+9}={6+6}$, así que ${a_6^2}={a_3\cdot a_9}={144}$. Los términos son positivos, así que ${a_6}={12}$.

Mira también: Progresión aritmética