Problemas con ecuaciones

Un problema verbal describe una situación con palabras y pregunta por un número: un precio, una edad, una distancia. El álgebra lo resuelve en dos etapas. Primero traduces el enunciado a una ecuación y después resuelves la ecuación. Cómo se resuelven las ecuaciones se explica en Ecuaciones lineales. Esta página trata de la traducción, que es donde está casi toda la dificultad.

La idea que hace funcionar el álgebra es sencilla: el número que buscas recibe un nombre, normalmente $x$, y escribes lo que dice el problema sobre él como si ya lo conocieras. La ecuación hace el resto.

En esta página: Cómo resolver un problema · De las palabras al álgebra · Problemas de números · Partes de un todo · Edades · Repartos y comparaciones · Razones · Movimiento · Respuestas negativas · Errores comunes

Cómo resolver un problema con ecuaciones

1. Elige la incógnita. Decide qué buscas y dale una letra: «Sea $x$ el precio del reloj en dólares». Escribe esta frase.
2. Escribe las demás cantidades con $x$. Cada cantidad del problema debe ser un número o una expresión con $x$.
3. Plantea la ecuación. Busca dos expresiones que según el problema son iguales y pon un signo igual entre ellas.
4. Resuelve la ecuación.
5. Comprueba y responde. Comprueba la respuesta con el enunciado, no solo con tu ecuación, y responde a la pregunta, con unidades.

Ejemplo. A un hombre le preguntaron cuánto pagó por su reloj. Respondió: «Si multiplicas el precio por 4, le sumas 70 y luego le restas 50, obtienes 220 dólares». ¿Cuánto costó el reloj?

Solución: Sea $x$ el precio en dólares. Traduce la respuesta parte por parte:

Palabras	Álgebra
el precio	$x$
multiplicas el precio por 4	${4x}$
le sumas 70	${4x+70}$
luego le restas 50	${4x+70-50}$
obtienes 220	${4x+70-50=220}$

Ahora resuelve la ecuación:

${{4x+20}={220}}$, así que ${4x=200}$ y ${x=50}$

Comprobación con el enunciado: ${4\cdot 50=200}$, luego ${200+70=270}$, luego ${270-50=220}$ ✓

Respuesta: el reloj costó $\$50$.

De las palabras al lenguaje algebraico

Estas expresiones aparecen una y otra vez. Aquí $x$ es el número desconocido.

Palabras	Álgebra
7 más que un número, un número aumentado en 7	${x+7}$
7 menos que un número, un número disminuido en 7	${x-7}$
7 menos un número	${7-x}$
el doble de un número	${2x}$
el triple de un número, más 10	${3x+10}$
el triple de la suma de un número y 10	${3(x+10)}$
la mitad de un número	${\frac{x}{2}}$
dos tercios de un número	${\frac{2x}{3}}$
un número dividido entre 12	${\frac{x}{12}}$
es, es igual a, da, será, asciende a	$=$
$A$ es 20 más que $B$, $A$ supera a $B$ en 20	${A=B+20}$
tres números naturales consecutivos	$x$, ${x+1}$, ${x+2}$

«7 menos que un número» es ${x-7}$, no ${7-x}$: partes del número y le quitas 7. Con la resta y la división el orden importa, así que lee estas expresiones con cuidado.

Varias cantidades, una sola letra

Muchos problemas hablan de dos o más cantidades desconocidas. Si sabes cómo se relacionan, puedes escribirlas todas con la misma letra:

El problema dice	Escribe las cantidades como
dos números suman 48	$x$ y ${48-x}$
dos números se diferencian en 40	$x$ y ${x+40}$
Bruno tiene el triple que Ana	$x$ para Ana y ${3x}$ para Bruno
dos cantidades están en la razón ${9:7}$	${9x}$ y ${7x}$

Dale la letra a la cantidad con la que se describen las demás, que suele ser la menor. Así evitas las fracciones: si lo de Ana es $x$, lo de Bruno es ${3x}$, mientras que si lo de Bruno fuera $x$, lo de Ana sería ${\frac{x}{3}}$.

Problemas de números

En estos problemas la incógnita es simplemente un número, y el enunciado dice qué se hace con él.

Ejemplo 1. Si a un número le sumas su mitad y a la suma le restas 20, obtienes la cuarta parte del número. Halla el número.

Solución: Sea $x$ el número. Su mitad es ${\frac{x}{2}}$ y su cuarta parte es ${\frac{x}{4}}$, así que

${{x+\frac{x}{2}-20}={\frac{x}{4}}}$

Multiplica los dos miembros por 4 para eliminar las fracciones:

${{4x+2x-80}={x}}$, así que ${5x=80}$ y ${x=16}$

Comprobación: ${16+8-20=4}$, y la cuarta parte de 16 es 4 ✓

Ejemplo 2. Divide 48 en dos partes de modo que la parte menor dividida entre 4 más la parte mayor dividida entre 6 sea igual a 9.

Solución: Sea $x$ la parte menor. Las dos partes suman 48, así que la parte mayor es ${48-x}$:

${{\frac{x}{4}+\frac{48-x}{6}}={9}}$

Multiplica por 12:

${{3x+2(48-x)}={108}}$

${{3x+96-2x}={108}}$, así que ${x=12}$

Las partes son 12 y 36. Comprobación: ${{\frac{12}{4}+\frac{36}{6}}={3+6}={9}}$ ✓

Inténtalo. Abre un problema para ver su solución.

1. Si un número se divide entre 12, el cociente, el número y 12 suman 64. Halla el número.

Sea $x$ el número: ${{\frac{x}{12}+x+12}={64}}$. Multiplica por 12: ${{x+12x+144}={768}}$, así que ${13x=624}$ y ${x=48}$.

Comprobación: ${4+48+12=64}$ ✓

2. Un número es tanto menor que 500 como su quinta parte es mayor que 40. Halla el número.

Sea $x$ el número. Es ${500-x}$ menor que 500, y su quinta parte es ${\frac{x}{5}-40}$ mayor que 40, así que

${{500-x}={\frac{x}{5}-40}}$

Multiplica por 5: ${{2\,500-5x}={x-200}}$, así que ${2\,700=6x}$ y ${x=450}$.

Comprobación: ${500-450=50}$ y ${90-40=50}$ ✓

3. La sexta parte de un número supera en 20 a su octava parte. Halla el número.

${{\frac{x}{6}-\frac{x}{8}}={20}}$. Multiplica por 24: ${4x-3x=480}$, así que ${x=480}$.

Comprobación: ${80-60=20}$ ✓

4. La cuarta parte de un número supera en 96 a su quinta parte. Halla el número.

${{\frac{x}{4}-\frac{x}{5}}={96}}$. Multiplica por 20: ${5x-4x=1\,920}$, así que ${x=1\,920}$.

Comprobación: ${480-384=96}$ ✓

5. Un tercio, un cuarto y dos séptimos de un número suman 73. Halla el número.

${{\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+\frac{2x}{7}}={73}}$. Multiplica por 84: ${28x+21x+24x}={73\cdot 84}$, así que ${73x=73\cdot 84}$ y ${x=84}$.

Comprobación: ${28+21+24=73}$ ✓

6. Si a un número le sumas 10, los tres quintos de la suma son 66. Halla el número.

${{\frac{3}{5}(x+10)}={66}}$. Multiplica por 5 y divide entre 3: ${x+10=110}$, así que ${x=100}$.

Comprobación: ${\frac{3}{5}\cdot 110=66}$ ✓

7. Si a un número le sumas 720 y divides la suma entre 125, obtienes lo mismo que al dividir 7392 entre 462. Halla el número.

Primero calcula el miembro conocido: ${7\,392\div 462=16}$. Entonces ${{\frac{x+720}{125}}={16}}$, así que ${x+720=2\,000}$ y ${x=1\,280}$.

Comprobación: ${\frac{2\,000}{125}=16}$ ✓

8. Divide 68 en dos partes de modo que 84 menos la parte mayor sea el triple de 40 menos la parte menor.

Sea $x$ la parte mayor; la menor es ${68-x}$:

${84-x}={3\left(40-(68-x)\right)}$

${{84-x}={3x-84}}$, así que ${168=4x}$ y ${x=42}$

Las partes son 42 y 26. Comprobación: ${84-42=42}$ y ${3(40-26)=42}$ ✓

9. Divide 36 en tres partes de modo que la mitad de la primera, la tercera parte de la segunda y la cuarta parte de la tercera sean iguales.

Llama $x$ a ese valor común. Entonces las partes son ${2x}$, ${3x}$ y ${4x}$, así que ${2x+3x+4x=36}$, ${9x=36}$ y ${x=4}$.

Las partes son 8, 12 y 16. Comprobación: la mitad de 8, la tercera parte de 12 y la cuarta parte de 16 valen 4 ✓

Partes de un todo

Cuando un problema describe fracciones de un total, llama $x$ al total. Las partes, escritas con $x$, suman $x$.

Ejemplo. Tres hermanos se reparten una herencia. El primero recibe $\$1\,000$ menos que la mitad, el segundo $\$800$ menos que la tercera parte y el tercero $\$600$ menos que la cuarta parte. ¿A cuánto asciende la herencia?

Solución: Sea $x$ la herencia en dólares. Las tres partes son

${\frac{x}{2}-1\,000}$, ${\frac{x}{3}-800}$ y ${\frac{x}{4}-600}$

y juntas forman toda la herencia:

${\frac{x}{2}-1\,000}+{\frac{x}{3}-800}+{\frac{x}{4}-600}={x}$

Multiplica por 12:

${6x-12\,000}+{4x-9\,600}+{3x-7\,200}={12x}$

${13x-28\,800}={12x}$, así que ${x=28\,800}$

La herencia es de $\$28\,800$, y las partes son $\$13\,400$, $\$8\,800$ y $\$6\,600$. Comprobación: ${13\,400+8\,800+6\,600}={28\,800}$ ✓

Inténtalo.

10. Un tercio, un cuarto y un quinto de una cantidad de dinero suman $\$94$. ¿Cuál es la cantidad?

${{\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+\frac{x}{5}}={94}}$. Multiplica por 60: ${20x+15x+12x}={5\,640}$, así que ${47x=5\,640}$ y ${x=120}$.

La cantidad es $\$120$. Comprobación: ${40+30+24=94}$ ✓

11. Marcos ha vivido un tercio de su vida en Madrid, un cuarto en Buenos Aires y los 20 años restantes en Ciudad de México. ¿Cuántos años tiene?

Sea $x$ la edad de Marcos: ${{\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+20}={x}}$. Multiplica por 12: ${{4x+3x+240}={12x}}$, así que ${240=5x}$ y ${x=48}$.

Marcos tiene 48 años. Comprobación: ${16+12+20=48}$ ✓

12. Un poste está clavado en un estanque. La quinta parte de su longitud está bajo tierra, tres séptimos están en el agua y sobresalen 13 dm por encima del agua. ¿Cuánto mide el poste?

Sea $x$ la longitud del poste en decímetros: ${{\frac{x}{5}+\frac{3x}{7}+13}={x}}$. Multiplica por 35: ${{7x+15x+455}={35x}}$, así que ${455=13x}$ y ${x=35}$.

El poste mide 35 dm, es decir, ${3{,}5}$ m. Comprobación: ${7+15+13=35}$ ✓

13. En un huerto, tres cuartas partes de los árboles son manzanos, una décima parte son perales y el resto son melocotoneros, que son 20 más que la octava parte de todos los árboles. ¿Cuántos árboles hay en el huerto?

Sea $x$ el número de árboles. Los melocotoneros son ${x-\frac{3x}{4}-\frac{x}{10}}={\frac{3x}{20}}$, así que

${{\frac{3x}{20}}={\frac{x}{8}+20}}$

Multiplica por 40: ${6x=5x+800}$, así que ${x=800}$.

Comprobación: hay 600 manzanos, 80 perales y 120 melocotoneros, y ${\frac{800}{8}+20=120}$ ✓

14. Cuatro hijos se reparten una herencia. El primero recibe $\$200$ más que la cuarta parte, el segundo $\$340$ más que la quinta parte, el tercero $\$300$ más que la sexta parte y el cuarto $\$400$ más que la octava parte. ¿A cuánto asciende la herencia?

Sea $x$ la herencia en dólares. Las cuatro partes forman toda la herencia:

${\frac{x}{4}+200}+{\frac{x}{5}+340}+{\frac{x}{6}+300}+{\frac{x}{8}+400}={x}$

Multiplica por 120:

${30x+24\,000}+{24x+40\,800}+{20x+36\,000}+{15x+48\,000}={120x}$

${89x+148\,800}={120x}$, así que ${148\,800=31x}$ y ${x=4\,800}$

La herencia es de $\$4\,800$. Las partes son $\$1\,400$, $\$1\,300$, $\$1\,100$ y $\$1\,000$, y suman $\$4\,800$ ✓

15. Después de gastar $\$100$ más que la tercera parte de su sueldo mensual, a Lucía le quedaron $\$35$ más que la mitad. ¿Cuál es su sueldo?

Sea $x$ el sueldo en dólares. Lucía gastó ${\frac{x}{3}+100}$, así que

${x-\left(\frac{x}{3}+100\right)}={\frac{x}{2}+35}$

Multiplica por 6: ${{6x-2x-600}={3x+210}}$, así que ${x=810}$.

Su sueldo es de $\$810$. Comprobación: gastó ${270+100=370}$ y le quedaron ${810-370=440}$, que es ${405+35}$ ✓

16. Un depósito lleno de agua perdió la tercera parte del agua por una fuga. Después se sacaron 21 litros y el depósito quedó a la mitad. ¿Cuántos litros caben en el depósito?

Sea $x$ la capacidad en litros: ${{x-\frac{x}{3}-21}={\frac{x}{2}}}$. Multiplica por 6: ${{6x-2x-126}={3x}}$, así que ${x=126}$.

En el depósito caben 126 litros. Comprobación: ${126-42-21=63}$, que es la mitad de 126 ✓

17. En una escuela, la mitad de los alumnos más 36 van a pie, la octava parte más 6 van en bicicleta y el resto, que es la quinta parte de todos los alumnos, va en autobús. ¿Cuántos alumnos hay?

Sea $x$ el número de alumnos. Los tres grupos forman toda la escuela:

${\frac{x}{2}+36}+{\frac{x}{8}+6}+{\frac{x}{5}}={x}$

Multiplica por 40: ${20x+1\,440}+{5x+240}+{8x}={40x}$, así que ${{33x+1\,680}={40x}}$, ${1\,680=7x}$ y ${x=240}$.

Hay 240 alumnos. Comprobación: 156 van a pie, 36 en bicicleta y 48 en autobús, y ${156+36+48=240}$ ✓

18. Una bolsa de frutos secos contiene nueces, pasas y chispas de chocolate. Las nueces pesan 10 g más que dos tercios de la bolsa, las pasas ${4{,}5}$ g menos que la sexta parte de la bolsa y las chispas de chocolate 2 g menos que la séptima parte de las nueces. ¿Cuánto pesa la bolsa?

Sea $x$ el peso de la bolsa en gramos. Las nueces pesan ${\frac{2x}{3}+10}$, las pasas ${\frac{x}{6}-4{,}5}$ y las chispas de chocolate

${\frac{1}{7}\left(\frac{2x}{3}+10\right)-2}={\frac{2x}{21}+\frac{10}{7}-2}$

Las tres partes forman toda la bolsa:

${\frac{2x}{3}+10}+{\frac{x}{6}-4{,}5}+{\frac{2x}{21}+\frac{10}{7}-2}={x}$

Multiplica por 42:

${28x+420}+{7x-189}+{4x+60-84}={42x}$

${{39x+207}={42x}}$, así que ${207=3x}$ y ${x=69}$

La bolsa pesa 69 g: 56 g de nueces, 7 g de pasas y 6 g de chispas de chocolate. Comprobación: ${56+7+6=69}$ ✓

Problemas de edades

Llama $x$ a la edad de una persona, normalmente la más joven, y escribe las demás edades a partir de ella. Todos envejecen al mismo ritmo: dentro de 5 años, cada edad aumenta en 5.

Ejemplo. Seis hermanos nacieron con 4 años de diferencia entre uno y otro, y el mayor tiene el triple de edad que el menor. ¿Qué edad tiene cada uno?

Solución: Sea $x$ la edad del menor. Las edades son

$x$, ${x+4}$, ${x+8}$, ${x+12}$, ${x+16}$, ${x+20}$

El mayor tiene el triple de edad que el menor:

${{x+20}={3x}}$, así que ${20=2x}$ y ${x=10}$

Los hermanos tienen 10, 14, 18, 22, 26 y 30 años. Comprobación: ${30=3\cdot 10}$ ✓

Inténtalo.

19. El abuelo tiene el doble de edad que el papá, y el papá tiene el triple de edad que Sami. Entre los tres suman 140 años. ¿Qué edad tiene cada uno?

Sea $x$ la edad de Sami. El papá tiene ${3x}$ y el abuelo ${2\cdot 3x=6x}$:

${{x+3x+6x}={140}}$, así que ${10x=140}$ y ${x=14}$

Sami tiene 14 años, el papá 42 y el abuelo 84. Comprobación: ${14+42+84=140}$ ✓

20. Una madre tiene 30 años más que su hija. Dentro de 5 años tendrá el triple de edad que su hija. ¿Qué edad tienen ahora?

Sea $x$ la edad de la hija; la madre tiene ${x+30}$. Dentro de 5 años tendrán ${x+5}$ y ${x+35}$:

${{x+35}={3(x+5)}}$

${{x+35}={3x+15}}$, así que ${20=2x}$ y ${x=10}$

La hija tiene 10 años y la madre 40. Comprobación: dentro de 5 años tendrán 15 y 45, y ${45=3\cdot 15}$ ✓

Repartos y comparaciones

Cuando las cantidades se describen comparándolas entre sí («15 más que», «tanto como las otras dos juntas»), dale la letra a la cantidad a partir de la cual se construyen las demás y escribe el resto una por una.

Ejemplo 1. Para una fiesta escolar se preparan 146 litros de ponche con jugo de naranja, jugo de manzana y agua. Hay 15 litros más de jugo de manzana que de naranja, y tanta agua como los dos jugos juntos. ¿Cuántos litros hay de cada cosa?

Solución: Sea $x$ la cantidad de jugo de naranja en litros. Entonces hay ${x+15}$ litros de jugo de manzana, y el agua es

${x+(x+15)}={2x+15}$

Todo suma 146 litros:

${x+(x+15)+(2x+15)}={146}$

${{4x+30}={146}}$, así que ${4x=116}$ y ${x=29}$

Hay 29 litros de jugo de naranja, 44 litros de jugo de manzana y 73 litros de agua. Comprobación: ${29+44+73=146}$ y ${29+44=73}$ ✓

Ejemplo 2. Una abuela repartió dinero entre sus cuatro nietos. El tercero recibió $\$9$ más que el cuarto, el segundo $\$12$ más que el tercero y el primero $\$18$ más que el segundo. En total repartió $\$6$ más que 7 veces lo que recibió el cuarto. ¿Cuánto dinero repartió?

Solución: Sea $x$ lo que recibió el cuarto nieto, en dólares. Entonces el tercero recibió ${x+9}$, el segundo ${x+21}$ y el primero ${x+39}$, en total ${4x+69}$. El problema describe el total de otra manera, como ${7x+6}$. Las dos expresiones son iguales:

${{4x+69}={7x+6}}$, así que ${63=3x}$ y ${x=21}$

Los nietos recibieron $\$60$, $\$42$, $\$30$ y $\$21$, así que la abuela repartió $\$153$. Comprobación: ${7\cdot 21+6=153}$ ✓

Inténtalo.

21. Cuatro amigos compraron un velero por $\$4\,755$. Bruno pagó el triple que Ana, Carla pagó lo mismo que Ana y Bruno juntos, y Diego lo mismo que Bruno y Carla juntos. ¿Cuánto pagó cada uno?

Sea $x$ lo que pagó Ana, en dólares. Entonces Bruno pagó ${3x}$, Carla ${x+3x=4x}$ y Diego ${3x+4x=7x}$:

${{x+3x+4x+7x}={4\,755}}$, así que ${15x=4\,755}$ y ${x=317}$

Ana pagó $\$317$, Bruno $\$951$, Carla $\$1\,268$ y Diego $\$2\,219$. Comprobación: ${317+951}+{1\,268+2\,219}={4\,755}$ ✓

22. Jorge compró una bicicleta, un casco y un candado por $\$360$. El casco costó el doble que el candado, y la bicicleta el doble que el casco y el candado juntos. ¿Cuánto costó cada cosa?

Sea $x$ el precio del candado en dólares. El casco costó ${2x}$ y la bicicleta ${2(x+2x)=6x}$:

${{x+2x+6x}={360}}$, así que ${9x=360}$ y ${x=40}$

El candado costó $\$40$, el casco $\$80$ y la bicicleta $\$240$. Comprobación: ${40+80+240=360}$ ✓

23. Un granjero tenía dos rebaños de ovejas del mismo tamaño. Después de vender 39 ovejas del primero y 93 del segundo, el primer rebaño tenía el doble de ovejas que el segundo. ¿Cuántas ovejas había al principio en cada rebaño?

Sea $x$ el número de ovejas de cada rebaño:

${{x-39}={2(x-93)}}$

${{x-39}={2x-186}}$, así que ${x=147}$

Cada rebaño tenía 147 ovejas. Comprobación: ${147-39=108}$, ${147-93=54}$ y ${108=2\cdot 54}$ ✓

24. El primero de dos recipientes tiene el triple de agua que el segundo. Después de sacar 4 litros de cada uno, el primero tiene el cuádruple de agua que el segundo. ¿Cuánta agua había al principio en cada uno?

Sea $x$ la cantidad del segundo recipiente en litros; el primero tiene ${3x}$:

${{3x-4}={4(x-4)}}$

${{3x-4}={4x-16}}$, así que ${x=12}$

Los recipientes tenían 36 y 12 litros. Comprobación: después de sacar el agua tienen 32 y 8 litros, y ${32=4\cdot 8}$ ✓

25. Leo compró pintura por $\$94$. Usó 7 litros y le vendió la cuarta parte del resto a un vecino por $\$20$, al mismo precio por litro que había pagado. ¿Cuántos litros compró?

Sea $x$ el número de litros que compró. Un litro costó ${\frac{94}{x}}$ dólares, y vendió ${\frac{x-7}{4}}$ litros por 20 dólares:

${{\frac{x-7}{4}\cdot\frac{94}{x}}={20}}$

Multiplica por ${4x}$: ${{94(x-7)}={80x}}$, así que ${{94x-658}={80x}}$, ${14x=658}$ y ${x=47}$.

Compró 47 litros, a $\$2$ el litro. Comprobación: vendió ${\frac{47-7}{4}=10}$ litros por ${10\cdot 2=20}$ dólares ✓

26. La dueña de una tienda saca $\$50$ al año del negocio para vivir. Al final de cada año, después de sacar esos $\$50$, el dinero que queda en el negocio aumenta en un tercio. Al cabo de tres años el dinero se ha duplicado. ¿Con cuánto dinero empezó el negocio?

Sea $x$ el dinero inicial en dólares. Cada año se sacan 50 y el resto se multiplica por ${\frac{4}{3}}$:

después de 1 año: ${\frac{4}{3}(x-50)}={\frac{4x-200}{3}}$

después de 2 años: ${\frac{4}{3}\left(\frac{4x-200}{3}-50\right)}={\frac{16x-1\,400}{9}}$

después de 3 años: ${\frac{4}{3}\left(\frac{16x-1\,400}{9}-50\right)}={\frac{64x-7\,400}{27}}$

Esto es el doble del dinero inicial: ${{\frac{64x-7\,400}{27}}={2x}}$, así que ${{64x-7\,400}={54x}}$, ${10x=7\,400}$ y ${x=740}$.

El negocio empezó con $\$740$. Comprobación año por año:

${740-50=690}$ y ${690\cdot\frac{4}{3}=920}$

${920-50=870}$ y ${870\cdot\frac{4}{3}=1\,160}$

${1\,160-50=1\,110}$ y ${1\,110\cdot\frac{4}{3}=1\,480}$, que es ${2\cdot 740}$ ✓

Problemas de razones

Si dos cantidades están en la razón ${a:b}$, escríbelas como ${ax}$ y ${bx}$, donde $x$ es el tamaño de una parte. Si el problema da una razón entre dos expresiones, escríbela como una igualdad de dos fracciones y multiplica en cruz. La lección razones y proporciones explica las dos cosas.

Ejemplo 1. Reparte un premio de $\$2\,000$ en dos partes en la razón ${9:7}$.

Solución: Sean ${9x}$ y ${7x}$ las partes en dólares:

${{9x+7x}={2\,000}}$, así que ${16x=2\,000}$ y ${x=125}$

Las partes son ${9\cdot 125=1\,125}$ y ${7\cdot 125=875}$ dólares. Comprobación: ${1\,125+875=2\,000}$ ✓

Ejemplo 2. Dos números están en la razón ${2:3}$. Si a cada uno se le suma 4, la razón pasa a ser ${5:7}$. Halla los números.

Solución: Sean ${2x}$ y ${3x}$ los números. Después de sumar 4 a cada uno,

${{\frac{2x+4}{3x+4}}={\frac{5}{7}}}$

Multiplica en cruz:

${{7(2x+4)}={5(3x+4)}}$

${{14x+28}={15x+20}}$, así que ${x=8}$

Los números son 16 y 24. Comprobación: ${{\frac{16+4}{24+4}}={\frac{20}{28}}={\frac{5}{7}}}$ ✓

Inténtalo.

27. Dos números se diferencian en 40 y están en la razón ${6:5}$. Hállalos.

Sean ${6x}$ y ${5x}$ los números: ${6x-5x=40}$, así que ${x=40}$.

Los números son 240 y 200. Comprobación: ${240-200=40}$ y ${\frac{240}{200}=\frac{6}{5}}$ ✓

28. La razón entre un número y el triple del número más 12 es ${2:9}$. Halla el número.

${{\frac{x}{3x+12}}={\frac{2}{9}}}$. Multiplica en cruz: ${{9x}={2(3x+12)}}$, así que ${9x=6x+24}$, ${3x=24}$ y ${x=8}$.

Comprobación: ${{\frac{8}{3\cdot 8+12}}={\frac{8}{36}}={\frac{2}{9}}}$ ✓

29. ¿Qué número hay que sumar a 36 y a 52 para que las sumas estén en la razón ${3:4}$?

${{\frac{36+x}{52+x}}={\frac{3}{4}}}$. Multiplica en cruz: ${{4(36+x)}={3(52+x)}}$, así que ${{144+4x}={156+3x}}$ y ${x=12}$.

Comprobación: ${\frac{48}{64}=\frac{3}{4}}$ ✓

30. Divide 49 en dos partes de modo que la parte mayor aumentada en 6 y la parte menor disminuida en 11 estén en la razón ${9:2}$.

Sea $x$ la parte mayor. La menor es ${49-x}$, y la menor disminuida en 11 es ${38-x}$:

${{\frac{x+6}{38-x}}={\frac{9}{2}}}$

${{2(x+6)}={9(38-x)}}$

${{2x+12}={342-9x}}$, así que ${11x=330}$ y ${x=30}$

Las partes son 30 y 19. Comprobación: ${{\frac{30+6}{19-11}}={\frac{36}{8}}={\frac{9}{2}}}$ ✓

31. Dos piezas de tela con el mismo precio por metro cuestan $\$50$ y $\$65$. Si cada pieza tuviera 10 metros más, sus longitudes estarían en la razón ${5:6}$. ¿Cuánto mide cada pieza?

El precio por metro es el mismo, así que las longitudes están en la misma razón que los precios, ${{50:65}={10:13}}$. Sean ${10x}$ y ${13x}$ las longitudes en metros:

${{\frac{10x+10}{13x+10}}={\frac{5}{6}}}$

${6(10x+10)}={5(13x+10)}$

${{60x+60}={65x+50}}$, así que ${10=5x}$ y ${x=2}$

Las piezas miden 20 m y 26 m. Comprobación: ${{\frac{20+10}{26+10}}={\frac{30}{36}}={\frac{5}{6}}}$ ✓

32. Cuatro pueblos A, B, C y D están en ese orden a lo largo de una carretera recta, y de A a D hay 34 km. Las distancias AB y CD están en la razón ${2:3}$, y la cuarta parte de AB más la mitad de CD es el triple de BC. Halla AB, BC y CD.

Sean ${AB=2x}$ y ${CD=3x}$. Entonces ${BC=34-5x}$, y

${{\frac{2x}{4}+\frac{3x}{2}}={3(34-5x)}}$

${{2x}={102-15x}}$, así que ${17x=102}$ y ${x=6}$

AB mide 12 km, BC 4 km y CD 18 km. Comprobación: ${12+4+18=34}$, y ${3+9=12}$, que es ${3\cdot 4}$ ✓

Problemas de movimiento

Los problemas de movimiento usan una sola fórmula: distancia = velocidad × tiempo. Una pequeña tabla con una fila para cada móvil ayuda a escribir las distancias con la incógnita.

Ejemplo. Un camión sale de un almacén a 60 km/h. Una hora después sale del mismo almacén un coche que lo sigue a 75 km/h. ¿Cuánto tarda el coche en alcanzarlo?

Solución: Sea $t$ el tiempo que viaja el coche, en horas. El camión salió una hora antes, así que lleva ${t+1}$ horas viajando.

Cuando el coche alcanza al camión, los dos han recorrido la misma distancia:

${{75t}={60(t+1)}}$

${{75t}={60t+60}}$, así que ${15t=60}$ y ${t=4}$

El coche alcanza al camión al cabo de 4 horas, a 300 km del almacén. Comprobación: ${75\cdot 4=300}$ y ${60\cdot 5=300}$ ✓

Inténtalo.

33. Un grupo de excursionistas sale por un sendero largo y camina 20 km al día. Cinco días después sale del mismo lugar un segundo grupo que camina 25 km al día. ¿Cuántos días tarda el segundo grupo en alcanzar al primero?

Sea $t$ el número de días que camina el segundo grupo; para entonces el primero lleva ${t+5}$ días caminando:

${{25t}={20(t+5)}}$

${{25t}={20t+100}}$, así que ${5t=100}$ y ${t=20}$

El segundo grupo alcanza al primero al cabo de 20 días, a 500 km del inicio del sendero. Comprobación: ${25\cdot 20=500}$ y ${20\cdot 25=500}$ ✓

34. Un barco y una lancha bajan por un río. Cuando el barco pasa bajo un puente, la lancha está 13 km río abajo. Mientras el barco recorre 5 km, la lancha recorre 3 km. ¿A qué distancia del puente alcanza el barco a la lancha?

Supón que se encuentran a $d$ km río abajo del puente. Desde el puente, el barco recorre $d$ km y la lancha ${d-13}$ km en el mismo tiempo. La velocidad del barco es a la de la lancha como 5 es a 3, así que

${{\frac{d}{5}}={\frac{d-13}{3}}}$

${{3d}={5d-65}}$, así que ${65=2d}$ y ${d=32{,}5}$

El barco alcanza a la lancha a ${32{,}5}$ km del puente. Comprobación: para entonces la lancha ha recorrido ${32{,}5-13=19{,}5}$ km, y ${\frac{32{,}5}{19{,}5}=\frac{5}{3}}$ ✓

Respuestas negativas y cero

Cuando un problema tiene cantidades en sentidos opuestos, como ganancias y pérdidas o norte y sur, da a un sentido el signo más y al otro el signo menos. Así, una respuesta negativa indica el sentido contrario.

Ejemplo 1. Una tienda tuvo una ganancia o una pérdida en enero. En febrero ganó $\$350$ y en marzo perdió $\$60$. En los tres meses juntos ganó $\$200$. ¿Qué pasó en enero?

Solución: Cuenta las ganancias como positivas y las pérdidas como negativas, y sea $x$ el resultado de enero:

${{x+350-60}={200}}$, así que ${x=-90}$

El signo menos indica una pérdida: en enero la tienda perdió $\$90$. Comprobación: ${-90+350-60=200}$ ✓

Ejemplo 2. Un barco navega 4° hacia el norte, luego 13° hacia el sur, luego 17° hacia el norte y luego 19° hacia el sur, y termina en la latitud 11° sur. ¿Desde dónde salió?

Solución: Cuenta el norte como positivo y el sur como negativo, y sea $x$ la latitud de partida:

${{x+4-13+17-19}={-11}}$

${{x-11}={-11}}$, así que ${x=0}$

La latitud 0 es el ecuador: el barco salió del ecuador.

Si la respuesta no puede ser correcta, como un número negativo de personas, una fracción de oveja o una edad de 300 años, no la escribas sin más. Vuelve a la ecuación: casi siempre alguna expresión se tradujo mal.

Errores comunes

Incorrecto	Correcto
✗ «7 menos que $x$» escrito como ${7-x}$	✓ ${x-7}$
✗ Dos números que suman 48 escritos como $x$ y ${x+48}$	✓ $x$ y ${48-x}$
✗ Una velocidad en km/h multiplicada por un tiempo en minutos	✓ Usa las mismas unidades en todo: 20 minutos son ${\frac{1}{3}}$ de hora
✗ Quedarse en ${x=125}$ cuando la pregunta pide las partes ${9x}$ y ${7x}$	✓ Responde a lo que se pregunta: las partes son $\$1\,125$ y $\$875$
✗ Comprobar la respuesta solo en tu propia ecuación	✓ Compruébala con el enunciado: si la ecuación está mal planteada, la respuesta la sigue cumpliendo

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