Calculadora de función inversa - solución paso a paso

Ingrese una función de $x$. La calculadora halla su función inversa $f^{-1}(x)$, muestra paso a paso cómo se resuelve la ecuación ${y = f(x)}$ y halla el dominio y el rango de ambas funciones. Si la función no es inyectiva, halla la inversa en cada parte del dominio donde sí lo es.

Cómo ingresar una función

• Escriba las potencias con ^: x^2 es $x^2$, e^(2x) es $e^{2x}$ y 2^x es $2^x$.
• Puede omitir el signo de multiplicación: 2x, 3(x+1), 2sen(3x). También puede escribir 2*x.
• (2x+1)/(x-3) es $\frac{2x+1}{x-3}$: ponga el numerador y el denominador entre paréntesis.
• sqrt(x) es $\sqrt{x}$, cbrt(x) o x^(1/3) es $\sqrt[3]{x}$ y root(x, 4) es $\sqrt[4]{x}$.
• ln(x) es el logaritmo natural, log(x) es el logaritmo en base 10 y log_2(x) es $\log_2 x$.
• sen(x) o sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsen(x), arccos(x), arctan(x), senh(x), cosh(x), tanh(x).
• |x| es el valor absoluto, pi es $\pi$ y e es el número $e$.
• También puede escribir f(x) = ... o y = .... La función puede contener una sola letra, su variable.

Ejemplos: $2x + 3$ $\frac{2x + 1}{x - 3}$ $x^2 - 4x + 1$ $\sqrt{x - 1}$ $3e^{2x - 1} + 4$ $\log_2(x + 3)$ $\frac{e^x - 1}{e^x + 1}$

Cómo hallar la función inversa

La función inversa $f^{-1}$ deshace lo que hace $f$: si ${f(a) = b}$, entonces ${f^{-1}(b) = a}$. Para hallarla:

1. Escribimos $y$ en lugar de $f(x)$.
2. Despejamos $x$ de la ecuación ${y = f(x)}$.
3. Intercambiamos $x$ e $y$.
4. Escribimos $f^{-1}(x)$ en lugar de $y$.

Para ${f(x) = 2x + 3}$ obtenemos ${2x = y - 3}$ y ${x = \frac{y - 3}{2}}$; al intercambiar las letras, ${f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}}$. También se pueden intercambiar $x$ e $y$ primero y despejar $y$ después: la inversa es la misma.

¿Cuándo tiene inversa una función?

Solo una función inyectiva tiene inversa: cada uno de sus valores debe provenir de un único $x$. Una función creciente en todo su dominio, o decreciente en él, es inyectiva. Toda recta horizontal corta la gráfica de una función inyectiva a lo sumo en un punto.

${f(x) = x^2}$ no es inyectiva, porque ${f(-2) = f(2) = 4}$. Restringida a ${x \geq 0}$ es inyectiva y su inversa es $\sqrt{x}$; restringida a ${x \leq 0}$, la inversa es $-\sqrt{x}$. La calculadora encuentra esas partes del dominio por sí sola. Para las funciones trigonométricas da la inversa en el intervalo de los valores principales, como $\operatorname{arcsen}$, $\arccos$ y $\arctan$.

El dominio de $f^{-1}$ es el rango de $f$, y el rango de $f^{-1}$ es el dominio de $f$. La gráfica de $f^{-1}$ es simétrica de la gráfica de $f$ respecto de la recta ${y = x}$.

Inversas de las funciones básicas

Métodos con ejemplos

La calculadora resuelve ${y = f(x)}$ como se hace en los libros de texto. Haga clic en un ejemplo para ver el método.

1. Funciones lineales. Deshacemos las operaciones en orden inverso: restamos y luego dividimos.
   ${y = ax + b} \;\Rightarrow\; {x = \frac{y - b}{a}}$
   Ejemplo: $5x - 7$
2. Funciones racionales de primer grado. Multiplicamos ambos lados por el denominador, pasamos los términos con $x$ a un lado y sacamos $x$ como factor común.
   ${y = \frac{ax + b}{cx + d}} \;\Rightarrow\; {x = \frac{b - dy}{cy - a}}$
   Ejemplos: $\frac{2x + 1}{x - 3}$, $\frac{x}{x + 1}$
3. Funciones cuadráticas. Completamos el cuadrado y extraemos la raíz cuadrada en ambos lados. Una función cuadrática no es inyectiva: su inversa lleva el signo + a un lado del vértice de la parábola y el signo − al otro. Una función como ${x + \frac{1}{x}}$ también lleva a una ecuación de segundo grado.
   ${ax^2 + bx + c} = {a(x - h)^2 + k}$
   Ejemplos: $x^2 - 4x + 1$, $2x^2 + 8x - 5$, $x + \frac{1}{x}$
4. Potencias y raíces. Una potencia se deshace con una raíz y una raíz con una potencia. La raíz cuadrada nunca es negativa, así que la inversa de $\sqrt{x - 1}$ es ${x^2 + 1}$ solo para ${x \geq 0}$.
   ${\sqrt[3]{x} = y} \;\Rightarrow\; {x = y^3}$
   Ejemplos: $\sqrt{2x + 3} - 4$, $(x - 1)^3 + 4$
5. Funciones exponenciales y logarítmicas. Tomamos logaritmos en ambos lados o escribimos el logaritmo como potencia.
   ${a^x = y} \;\Leftrightarrow\; {x = \log_a y}$
   Ejemplos: $3e^{2x - 1} + 4$, $\log_2(x + 3)$, $2^{x - 1} + 3$
6. Funciones trigonométricas. Aplicamos la función trigonométrica inversa. Da el valor principal, así que se obtiene la inversa de $f$ restringida a un intervalo.
   ${\operatorname{sen} x = y},\; {-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}} \;\Rightarrow\; {x = \operatorname{arcsen} y}$
   Ejemplos: $2\operatorname{sen} 3x + 1$, $\arctan 2x$
7. Cambio de variable. Cuando $x$ aparece varias veces, pero siempre en la misma expresión, como $e^x$ o $\sqrt{x}$, llamamos $u$ a esa expresión, despejamos $u$ y luego $x$. Ejemplos: $\frac{e^x - 1}{e^x + 1}$, $e^{2x} - 2e^x$

Otros recursos sobre funciones

Función inversa: definición y ejemplos Dominio y rango de funciones Funciones Logaritmo (log, lg, ln), fórmulas logarítmicas