Calculadora de estadística - solución paso a paso

Ingrese los números separados por comas, espacios o saltos de línea. También puede pegar una columna de una hoja de cálculo. Si los números llevan coma decimal, sepárelos con punto y coma, por ejemplo: 2,5; 3,75; 4

Calcular

Use $s$ y $s^2$ cuando los datos son una muestra de un grupo mayor: la suma de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media se divide entre $n-1$. Use $\sigma$ y $\sigma^2$ cuando los datos son toda la población: la suma se divide entre $n$.

$Q_1$ y $Q_3$ son las medianas de la mitad inferior y de la mitad superior de los números ordenados; si $n$ es impar, la propia mediana no entra en ninguna de las dos mitades. Así calculan los cuartiles las calculadoras TI y muchos libros de texto; la función CUARTIL.INC de Excel y otros métodos pueden dar valores un poco distintos. Los valores atípicos son los números menores que $Q_1 - 1{,}5 \cdot \text{RIC}$ o mayores que $Q_3 + 1{,}5 \cdot \text{RIC}$.

Fórmulas

Dado un conjunto de $n$ números $\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$:

Media

La media (el promedio) es la suma de los números dividida entre la cantidad de números:

$\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$

Mediana

Ordene los números de menor a mayor. Si $n$ es impar, la mediana es el número del centro. Si $n$ es par, la mediana es la media de los dos números del centro. Por ejemplo, la mediana de $1, 3, 3, 6, 7, 8, 9$ es $6$ y la mediana de $1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9$ es $\dfrac{4 + 5}{2} = 4{,}5$.

Moda

La moda es el valor que aparece con más frecuencia. Puede haber varias modas —por ejemplo, $1, 1, 2, 2, 3$ tiene las modas $1$ y $2$— y, si ningún valor se repite, no hay moda.

Varianza

La varianza mide cuánto se alejan los números de su media: es el promedio de los cuadrados de las desviaciones $(x_i - \bar{x})^2$. Para una muestra de un grupo mayor se divide entre $n - 1$, y para toda la población, entre $n$:

$s^2 = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1} \qquad \sigma^2 = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

Desviación estándar

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, por eso se mide en las mismas unidades que los números:

$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} \qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}}$

Cuartiles y valores atípicos

El primer cuartil $Q_1$ es la mediana de la mitad inferior de los números ordenados, y el tercer cuartil $Q_3$ es la mediana de la mitad superior; si $n$ es impar, la mediana no entra en ninguna de las dos mitades. El rango intercuartílico es $\text{RIC} = Q_3 - Q_1$. Un número menor que $Q_1 - 1{,}5 \cdot \text{RIC}$ o mayor que $Q_3 + 1{,}5 \cdot \text{RIC}$ se llama valor atípico.

Ejemplo

Sea $X = \{1, -2, 3, 0, 2, 3, 1, -1, 3, 5\}$. Cargar el ejemplo

Hay $n = 10$ números y su suma es $\sum x_i = 15$, así que la media es $\bar{x} = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$.

Ordenados: $-2, -1, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 5$. Como $n$ es par, la mediana es $\dfrac{1 + 2}{2} = 1{,}5$. La moda es $3$ (aparece 3 veces) y el rango es $5 - (-2) = 7$.

Las desviaciones respecto a la media y sus cuadrados:
$x_i - \bar{x} = -\frac{1}{2}, -\frac{7}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{7}{2}$

$(x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{4}, \frac{49}{4}, \frac{9}{4}, \frac{9}{4}, \frac{1}{4}, \frac{9}{4}, \frac{1}{4}, \frac{25}{4}, \frac{9}{4}, \frac{49}{4}$

$\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2 = \dfrac{81}{2}$

Varianza y desviación estándar muestrales (se divide entre $n - 1 = 9$):
$s^2 = \dfrac{81}{2 \cdot 9} = \dfrac{81}{18} = \dfrac{9}{2} = 4{,}5 \qquad s = \sqrt{\dfrac{9}{2}} = \dfrac{3}{2}\sqrt{2} \approx 2{,}1213$

Varianza y desviación estándar poblacionales (se divide entre $n = 10$):
$\sigma^2 = \dfrac{81}{2 \cdot 10} = \dfrac{81}{20} = 4{,}05 \qquad \sigma = \sqrt{\dfrac{81}{20}} = \dfrac{9}{10}\sqrt{5} \approx 2{,}0125$

Cuartiles: la mitad inferior es $-2, -1, 0, 1, 1$, así que $Q_1 = 0$; la mitad superior es $2, 3, 3, 3, 5$, así que $Q_3 = 3$ y $\text{RIC} = 3$. Los límites son $0 - 1{,}5 \cdot 3 = -4{,}5$ y $3 + 1{,}5 \cdot 3 = 7{,}5$, y todos los números están entre ellos, así que no hay valores atípicos.

¿Qué promedio usar?

La media usa todos los números, por eso es el mejor resumen cuando los números están repartidos de forma uniforme. Pero un solo número muy grande o muy pequeño la desplaza mucho. La mediana solo depende del centro de la lista ordenada, así que unos pocos valores extremos apenas la mueven. La moda es el único promedio que tiene sentido también para datos que no son números, como el color preferido más común.

Por ejemplo, nueve personas de una pequeña empresa ganan al mes (en miles) $2;\ 2;\ 2;\ 2{,}5;\ 3;\ 3{,}5;\ 4;\ 4{,}5$ y $20$. La media es $\dfrac{43{,}5}{9} \approx 4{,}83$, más de lo que ganan ocho de las nueve personas. La mediana, $3$, describe un sueldo típico mucho mejor, y la moda, $2$, es el sueldo más frecuente. Cuando los datos son tan asimétricos, dé la mediana.

¿Por qué se divide entre $n - 1$?

Cuando los números son una muestra, su media $\bar{x}$ también se calcula a partir de esa muestra, y los números de la muestra están, en promedio, más cerca de $\bar{x}$ que de la verdadera media de la población. Por eso la suma $\sum (x_i - \bar{x})^2$ sale un poco más pequeña de lo que debería, y dividir entre $n - 1$ en lugar de $n$ lo corrige: en promedio, $s^2$ es igual a la varianza de la población. Esto se llama corrección de Bessel.

También se puede ver así: las desviaciones $x_i - \bar{x}$ siempre suman $0$, así que, cuando se conocen $n - 1$ de ellas, la última queda determinada. Solo $n - 1$ desviaciones son libres: se dice que la muestra tiene $n - 1$ grados de libertad. Para toda la población no hay nada que estimar, así que se divide entre $n$.

Ejercicios

1. Halle la media, la mediana y la moda de $3, 7, 7, 2, 9, 7, 4$.
   Solución

   Ordenados: $2, 3, 4, 7, 7, 7, 9$. La media es $\dfrac{39}{7} \approx 5{,}57$, la mediana es el cuarto número, $7$, y la moda es $7$ (aparece 3 veces).
2. La media de cinco números es $12$. Cuatro de ellos son $10$, $15$, $8$ y $14$. Halle el quinto número.
   Solución

   Los cinco números suman $5 \cdot 12 = 60$ y los cuatro conocidos, $10 + 15 + 8 + 14 = 47$, así que el quinto número es $60 - 47 = 13$.
3. Halle la desviación estándar muestral y la poblacional de $4, 8, 6, 2$.
   Solución

   $\bar{x} = \dfrac{20}{4} = 5$. Las desviaciones son $-1, 3, 1, -3$ y la suma de sus cuadrados es $1 + 9 + 1 + 9 = 20$. Así, $s = \sqrt{\dfrac{20}{3}} \approx 2{,}58$ y $\sigma = \sqrt{\dfrac{20}{4}} = \sqrt{5} \approx 2{,}24$.
4. Halle los cuartiles y el rango intercuartílico de $1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 15$. ¿Hay valores atípicos?
   Solución

   $n = 9$ es impar, así que se deja fuera la mediana, $7$. La mitad inferior $1, 3, 4, 6$ da $Q_1 = \dfrac{3 + 4}{2} = 3{,}5$ y la mitad superior $8, 10, 12, 15$ da $Q_3 = \dfrac{10 + 12}{2} = 11$, así que $\text{RIC} = 7{,}5$. Los límites son $3{,}5 - 1{,}5 \cdot 7{,}5 = -7{,}75$ y $11 + 1{,}5 \cdot 7{,}5 = 22{,}25$; ningún número queda fuera, así que no hay valores atípicos.
5. Cinco estudiantes tardaron $12$, $14$, $13$, $15$ y $61$ minutos en hacer un examen. ¿Qué describe mejor un tiempo típico, la media o la mediana?
   Solución

   La media es $\dfrac{115}{5} = 23$ minutos, más que el tiempo de cuatro de los cinco estudiantes, a causa del estudiante lento. La mediana, $14$ minutos, describe mejor un tiempo típico.

Compruebe las respuestas con la calculadora del principio de la página.