Calculadora de asíntotas - solución paso a paso

Ingrese una función de $x$. La calculadora halla sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, muestra paso a paso cómo se calculan los límites que las dan y dibuja la gráfica de la función con sus asíntotas.

$f(x) =$

Cómo ingresar una función

Escriba las potencias con ^: x^2 es $x^2$, e^(2x) es $e^{2x}$ y 2^x es $2^x$.
Puede omitir el signo de multiplicación: 2x, 3(x+1), x e^(1/x). También puede escribir 2*x.
(x^2+1)/(x-2) es $\frac{x^2+1}{x-2}$: ponga el numerador y el denominador entre paréntesis.
sqrt(x) es $\sqrt{x}$, cbrt(x) o x^(1/3) es $\sqrt[3]{x}$ y root(x, 4) es $\sqrt[4]{x}$.
ln(x) es el logaritmo natural, log(x) es el logaritmo en base 10 y log_2(x) es $\log_2 x$.
sen(x) o sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsen(x), arccos(x), arctan(x), senh(x), cosh(x), tanh(x).
|x| es el valor absoluto, pi es $\pi$ y e es el número $e$.
También puede escribir f(x) = ... o y = .... La función puede contener una sola letra, su variable.

Ejemplos: $\frac{x^2 + 1}{x - 2}$ $\frac{2x^2 - 3x}{x^2 - 4}$ $\frac{x^3}{x^2 - 1}$ $\sqrt{x^2 + 2x}$ $x e^{\frac{1}{x}}$ $\frac{\ln x}{x}$ $\arctan x$ $\tan x$

Cómo hallar las asíntotas de una función

Una asíntota de una función es una recta a la que la gráfica de la función se acerca cada vez más cuando se aleja hacia el infinito. Hay tres tipos de asíntotas, y cada una se halla con límites.

Asíntotas verticales

La recta ${x = a}$ es una asíntota vertical de $f$ cuando al menos uno de los límites laterales de $f$ en $a$ es infinito:

$\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty \quad \text{o} \quad \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$

Ese punto no pertenece al dominio de $f$, así que se revisan los extremos del dominio: los ceros de un denominador, los puntos donde el argumento de un logaritmo tiende a 0, los puntos donde $\tan x$ no está definida. Si el límite en ese punto es finito, la recta no es una asíntota: la función ${f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}}$ tiene un hueco en ${x = 1}$, porque ${\frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1}$ para ${x \neq 1}$.

Asíntotas horizontales

La recta ${y = b}$ es una asíntota horizontal cuando ${x \to +\infty}$ si ${\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = b}$, y cuando ${x \to -\infty}$ si ${\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = b}$. Pueden ser distintas: $\arctan x$ tiene la asíntota horizontal ${y = \frac{\pi}{2}}$ a la derecha e ${y = -\frac{\pi}{2}}$ a la izquierda, y $e^x$ tiene la asíntota ${y = 0}$ solo a la izquierda.

Asíntotas oblicuas

La recta ${y = kx + b}$ con ${k \neq 0}$ es una asíntota oblicua cuando ${x \to +\infty}$ si ${f(x) - (kx + b) \to 0}$. Su pendiente y su ordenada en el origen son dos límites:

${k = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}}, \quad {b = \lim\limits_{x \to +\infty} \bigl(f(x) - kx\bigr)}$

Ambos límites deben ser finitos. Lo mismo vale cuando ${x \to -\infty}$. La asíntota horizontal es el caso ${k = 0}$, así que en cada dirección una función tiene una asíntota horizontal, una oblicua o ninguna.

Asíntotas de funciones racionales

Para una función racional ${f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}}$, primero se simplifican los factores comunes de $P$ y $Q$. Después:

cada cero $a$ del denominador da una asíntota vertical ${x = a}$;
si el grado de $P$ es menor que el grado de $Q$, la asíntota horizontal es ${y = 0}$;
si los grados son iguales, la asíntota horizontal es ${y = \frac{a}{b}}$, donde $a$ y $b$ son los coeficientes principales de $P$ y $Q$;
si el grado de $P$ es 1 más que el grado de $Q$, se divide $P$ entre $Q$: el cociente ${kx + b}$ da la asíntota oblicua ${y = kx + b}$;
si el grado de $P$ supera al de $Q$ en más de 1, no hay asíntotas horizontales ni oblicuas.

Por ejemplo, ${\frac{x^2 + 1}{x - 2} = x + 2 + \frac{5}{x - 2}}$, así que sus asíntotas son ${x = 2}$ e ${y = x + 2}$. Una función racional tiene la misma asíntota horizontal u oblicua cuando ${x \to +\infty}$ y cuando ${x \to -\infty}$.

Ejemplos por tipo de función

Haga clic en un ejemplo para ver la solución.

Funciones racionales. Los ceros del denominador, los grados, la división. Ejemplos: $\frac{2x^2 - 3x}{x^2 - 4}$, $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$, $\frac{x^3 + 2}{x^2 - 1}$
Raíces. Como ${\sqrt{x^2} = |x|}$, una raíz puede tener una asíntota cuando ${x \to +\infty}$ y otra cuando ${x \to -\infty}$.
${\sqrt{x^2 + 2x} = |x| \sqrt{1 + \frac{2}{x}}}$
Ejemplos: $\sqrt{x^2 + 2x}$, $\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$, $x - \sqrt{x^2 - 4}$
Funciones exponenciales. ${e^x \to 0}$ cuando ${x \to -\infty}$, y cuando ${x \to +\infty}$ crece más rápido que cualquier potencia de $x$. Ejemplos: $\frac{e^x}{x}$, $\frac{1}{1 + e^x}$, $x e^{\frac{1}{x}}$
Funciones logarítmicas. ${\ln x \to -\infty}$ cuando ${x \to 0^+}$, y cuando ${x \to +\infty}$ crece más despacio que cualquier potencia de $x$. Ejemplos: $\frac{\ln x}{x}$, $\ln\frac{x + 1}{x - 1}$, $\frac{1}{\ln x}$
Funciones trigonométricas. $\tan x$ tiene las asíntotas verticales ${x = \frac{\pi}{2} + k\pi}$, y $\arctan x$ las asíntotas horizontales ${y = \pm\frac{\pi}{2}}$. Una función que oscila, como $\operatorname{sen} x$, no tiene límite en el infinito. Ejemplos: $\tan x$, $x \arctan x$, $\frac{\operatorname{sen} x}{x}$

Otros recursos

Funciones Dominio y rango de funciones Logaritmo (log, lg, ln), fórmulas logarítmicas Calculadora de división de polinomios