Calculadora de factorización de polinomios - solución paso a paso

Ingrese un polinomio de una o más variables. La calculadora lo escribe como un producto de factores con coeficientes enteros que ya no se pueden factorizar y muestra cómo hacerlo paso a paso.

Factorizar

Cómo ingresar un polinomio

• Escriba las potencias con ^: x^2 es $x^2$ y (x+1)^3 es $(x+1)^3$.
• El signo de multiplicación se puede omitir: 3xy, 2(x+1), (x+1)(x-2). También puede escribir 3*x*y.
• Cada letra es una variable distinta, así que xy significa ${x \cdot y}$.
• Los coeficientes pueden ser fracciones o decimales, con punto o con coma: x^2/4 - 1, 0.5x^2 - 2.
• Los paréntesis se multiplican primero, así que también puede comprobar su propia factorización: (x+2)(x+3) - 2.

Ejemplos: $x^2 - 5x + 6$ $x^4 - 16$ $6x^2 + 7x - 3$ $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ $ax + ay + bx + by$

Para dividir polinomios, use la calculadora de división de polinomios.

Métodos de factorización

Factorizar un polinomio es escribirlo como un producto de polinomios de menor grado. La calculadora usa los mismos métodos que se aprenden en la escuela, en este orden. Haga clic en un ejemplo para ver el método en acción.

1. Factor común. Se saca el mayor número y la mayor potencia de cada variable que dividen a todos los términos.
   ${6x^2y - 9xy^2} = {3xy(2x - 3y)}$
   Ejemplo: $3x^3 - 12x$
2. Diferencia de cuadrados. Una suma de cuadrados ${a^2 + b^2}$ no se puede factorizar.
   ${a^2 - b^2} = {(a - b)(a + b)}$
   Ejemplo: $x^4 - 16$
3. Trinomio cuadrado perfecto.
   ${a^2 + 2ab + b^2} = {(a + b)^2}$
   ${a^2 - 2ab + b^2} = {(a - b)^2}$
   Ejemplo: $4x^2 - 12xy + 9y^2$
4. Suma y diferencia de cubos.
   ${a^3 + b^3} = {(a + b)(a^2 - ab + b^2)}$
   ${a^3 - b^3} = {(a - b)(a^2 + ab + b^2)}$
   Ejemplo: $8x^3 + 27$
5. Trinomio de segundo grado. Para ${x^2 + bx + c}$ se buscan dos números $m$ y $n$ cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$. Entonces
   ${x^2 + bx + c} = {(x + m)(x + n)}$
   Para ${ax^2 + bx + c}$ se buscan dos números cuyo producto sea ${a \cdot c}$ y cuya suma sea $b$, con ellos se separa el término central en dos y se factoriza por agrupación. Si el discriminante ${D = b^2 - 4ac}$ es negativo o no es un cuadrado perfecto, el trinomio no se puede factorizar con coeficientes racionales.
   Ejemplos: $x^2 - 5x + 6$, $6x^2 + 7x - 3$, $x^2 + x + 1$
6. Agrupación. Se separan los términos en grupos que dejan el mismo factor entre paréntesis.
   ${ax + ay + bx + by} = {a(x + y) + b(x + y)} = {(a + b)(x + y)}$
   Ejemplos: $x^3 - 2x^2 - 9x + 18$, $x^2 + 2xy + y^2 - z^2$
7. Raíces racionales. Si un polinomio con coeficientes enteros tiene una raíz racional $\frac{p}{q}$, entonces $p$ divide al término independiente y $q$ divide al coeficiente principal. Cuando ${x = r}$ es una raíz, ${x - r}$ es un factor, y al dividir entre él (regla de Horner o división sintética) queda un polinomio de menor grado.
   Ejemplo: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$
8. Completar el cuadrado. Se suma y se resta un término para obtener una diferencia de cuadrados.
   ${x^4 + 4} = {(x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2} = {(x^2 + 2)^2 - (2x)^2}$
   Ejemplo: $x^4 + 4$

Los factores tienen coeficientes racionales. Por eso ${x^2 - 2}$ queda como está: es igual a ${(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}$, pero $\sqrt{2}$ no es un número racional.

Otros recursos sobre factorización

Identidades polinomiales (productos notables) Factorización de polinomios - problemas con soluciones Expresiones polinomiales - problemas con soluciones Calculadora de división de polinomios