Calculadora de triángulos - solución paso a paso

Cómo usar la calculadora

• En cada fila «Datos» elige un elemento de la lista y escribe su valor. Si conoces menos de tres elementos, deja la fila en «no se da».
• El esquema junto al formulario muestra cada elemento dado con su valor, y lo que se pide aparece con un signo de interrogación. No está a escala: en la respuesta el triángulo se dibuja a escala.
• Un valor puede ser un número entero, un decimal, una fracción como 7/2 o una raíz como sqrt(3) o 2*sqrt(3). Los ángulos van en grados.
• En la fila «Hallar» elige el elemento que necesitas, o «todo» para obtener todos los lados y ángulos, el perímetro y el área.
• Para una distancia entre dos puntos o un ángulo por tres puntos, elige los puntos en las listas que aparecen. El vértice del ángulo es el punto del medio: $\angle AGH$ es el ángulo en $G$.
• La dirección de la página cambia con el problema, así que puedes copiarla y enviar la solución a alguien.

Notación

En el triángulo $ABC$ el lado ${a = BC}$ es opuesto al vértice $A$, ${b = AC}$ es opuesto a $B$ y ${c = AB}$ es opuesto a $C$. Los ángulos en $A$, $B$ y $C$ son $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$.

Símbolo	Significado
$h_a$, $m_a$, $v_a$	la altura, la mediana y la bisectriz desde el vértice $A$ hasta el lado $a$
$S$, $P$, $p$	el área, el perímetro y el semiperímetro ${p = \frac{a + b + c}{2}}$
$R$, $r$	los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita
$r_a$	el radio de la circunferencia exinscrita tangente al lado $a$
$G$, $H$, $O$, $I$	el baricentro (donde se cortan las medianas), el ortocentro (donde se cortan las alturas), el circuncentro y el incentro
$M_a$, $H_a$, $L_a$, $T_a$	en el lado $a$: su punto medio, el pie de la altura desde $A$, el pie de la bisectriz desde $A$ y el punto de tangencia de la circunferencia inscrita

Cómo resuelve la calculadora un triángulo

Un triángulo tiene tres grados de libertad, así que tres elementos independientes, al menos uno de ellos una longitud, lo determinan, a veces de dos maneras. La calculadora trabaja como un estudiante con un formulario.

1. Fórmulas, una tras otra. A partir de los datos busca una fórmula en la que se conozca todo menos un elemento, halla ese elemento y repite hasta llegar a lo que se pide. Tres lados dan un ángulo por el teorema del coseno; dos ángulos dan el tercero; un lado y su altura dan el área.
2. Una incógnita y una ecuación. Cuando ninguna fórmula da directamente un elemento nuevo - por ejemplo, con dos lados y el radio de la circunferencia inscrita - la calculadora llama $x$ a un elemento, escribe los demás en función de $x$, y el dato que queda se convierte en una ecuación en $x$. La ecuación se resuelve numéricamente.
3. Coordenadas. Para elementos como el ángulo $AGH$ no hay una fórmula hecha. La calculadora coloca el triángulo en un sistema de coordenadas, ${A(0; 0)}$, ${B(c; 0)}$, ${C(b\cos\alpha; b\operatorname{sen}\alpha)}$, halla los puntos y mide allí la distancia o el ángulo.

Los valores exactos como ${\sqrt{39}}$ o ${\frac{35\sqrt3}{4}}$ se mantienen exactos cuando es posible, y cada respuesta se comprueba con el triángulo dibujado.

Fórmulas para resolver triángulos

Lados y ángulos

Nombre	Fórmula
Suma de los ángulos	${\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ}$
Teorema del seno	${\frac{a}{\operatorname{sen}\alpha} = \frac{b}{\operatorname{sen}\beta} = \frac{c}{\operatorname{sen}\gamma} = 2R}$
Teorema del coseno	${a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha}$
Un ángulo a partir de los lados	${\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}}$

Área

Datos	Fórmula
Un lado y su altura	${S = \frac{a h_a}{2}}$
Dos lados y el ángulo comprendido	${S = \frac{bc\,\operatorname{sen}\alpha}{2}}$
Tres lados (fórmula de Herón)	${S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}$
La circunferencia inscrita	${S = pr}$
La circunferencia circunscrita	${S = \frac{abc}{4R}}$

Alturas, medianas y bisectrices

Elemento	Fórmula
Altura	${h_a = \frac{2S}{a} = b\,\operatorname{sen}\gamma = c\,\operatorname{sen}\beta}$
Mediana	${m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}}$
Bisectriz	${v_a = \frac{2bc\cos\frac{\alpha}{2}}{b + c}}$
Punto donde la bisectriz corta al lado	${BL_a : L_aC = c : b}$

Circunferencias y centros

Elemento	Fórmula
Radio de la circunferencia inscrita	${r = \frac{S}{p} = (p - a)\,\tan\frac{\alpha}{2}}$
Radio de la circunferencia circunscrita	${R = \frac{a}{2\,\operatorname{sen}\alpha} = \frac{abc}{4S}}$
Radio de una circunferencia exinscrita	${r_a = \frac{S}{p - a}}$
Distancia entre los centros de las dos circunferencias (Euler)	${OI^2 = R^2 - 2Rr}$
Baricentro	${AG = \frac{2}{3}m_a}$
Ortocentro	${AH = 2R\,|\cos\alpha|}$, ${OH^2 = 9R^2 - (a^2 + b^2 + c^2)}$
Recta de Euler	$O$, $G$ y $H$ están en una recta y ${GH = 2\,OG}$

¿Cuándo está determinado un triángulo?

• Tres lados determinan un triángulo cuando cada uno es menor que la suma de los otros dos.
• Dos lados y el ángulo comprendido, o un lado y dos ángulos, determinan siempre un triángulo.
• Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos pueden dar dos triángulos, uno o ninguno: dos ángulos entre $0^\circ$ y $180^\circ$ tienen el mismo seno. La calculadora muestra todos los triángulos que cumplen los datos.
• Tres ángulos dan solo la forma. Para el tamaño hace falta al menos una longitud o el área.
• Los elementos que dependen unos de otros, como un lado, el ángulo opuesto y $R$ (porque ${a = 2R\operatorname{sen}\alpha}$), cuentan como dos. Entonces la calculadora te dice que el triángulo no está determinado, o halla lo que los datos sí determinan.