Triángulos

Tomemos tres puntos que no estén en una misma recta y unámoslos con segmentos. La figura que se obtiene es un triángulo. Los tres puntos son sus vértices, los tres segmentos son sus lados y los tres ángulos en los vértices son sus ángulos.

Notación habitual. En el triángulo $ABC$ cada lado se designa con la letra minúscula del vértice opuesto:

$$a=BC,\qquad b=CA,\qquad c=AB.$$

Los ángulos en los vértices $A,$ $B$ y $C$ son $\alpha,$ $\beta$ y $\gamma.$ Así, el lado $a$ está frente al ángulo $\alpha,$ el lado $b$ frente a $\beta$ y el lado $c$ frente a $\gamma.$

En esta página: Suma de los ángulos · Desigualdad triangular · Tipos · Equilátero · Isósceles · Rectángulo · Perímetro y área · Rectas notables · Problemas resueltos · Errores frecuentes · Ejercicios

La suma de los ángulos de un triángulo

En todo triángulo los tres ángulos suman ${180^\circ}.$

$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$$

¿Por qué? Tracemos por el vértice $C$ la recta $p$ paralela a $AB.$ El ángulo entre $p$ y $CA$ es igual a $\alpha,$ porque son ángulos alternos internos entre las paralelas $p$ y $AB$ cortadas por $AC.$ Del mismo modo, el ángulo entre $p$ y $CB$ es igual a $\beta.$ Junto con $\gamma,$ estos dos ángulos forman un ángulo llano en el vértice $C,$ así que ${\alpha+\beta+\gamma=180^\circ}.$

Consecuencias:

Un triángulo tiene como máximo un ángulo recto u obtuso. Al menos dos de sus ángulos son agudos.
Si se conocen dos ángulos, el tercero es ${180^\circ}$ menos su suma. Para ${\alpha=50^\circ}$ y ${\beta=65^\circ}$ se obtiene ${\gamma=180^\circ-115^\circ=65^\circ}.$
En un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos suman ${90^\circ}.$
Cada ángulo de un triángulo equilátero mide ${60^\circ}.$

El ángulo exterior

Prolonguemos el lado $AC$ más allá de $C$ hasta un punto $D.$ El ángulo ${\delta=\angle BCD}$ entre el lado $CB$ y esa prolongación es un ángulo exterior del triángulo en el vértice $C.$ Es adyacente al ángulo interior $\gamma,$ por lo que ${\delta+\gamma=180^\circ}.$

Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él: ${\delta=\alpha+\beta}.$

En efecto, ${\delta=180^\circ-\gamma}$ y ${\alpha+\beta=180^\circ-\gamma}.$ Por eso un ángulo exterior es mayor que cada uno de los dos ángulos interiores no adyacentes.

La desigualdad triangular

El segmento es el camino más corto entre dos puntos. Ir de $B$ a $C$ en línea recta es más corto que pasar por $A,$ así que ${a\lt b+c}.$ Lo mismo vale para cada lado.

Cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia:

$$|b-c|\lt a\lt b+c.$$

¿Existe un triángulo con estos lados? Basta comparar la mayor de las tres longitudes con la suma de las otras dos.

$5,$ $7$ y $11.$ Como ${11\lt 5+7=12},$ el triángulo existe.
$3,$ $4$ y $8.$ Como ${8\gt 3+4=7},$ no existe: los dos segmentos cortos no alcanzan a unirse.
$2,$ $3$ y $5.$ Como ${5=2+3},$ los tres puntos quedarían en una misma recta, así que tampoco es un triángulo.

Frente al lado mayor está el ángulo mayor

En todo triángulo, frente al mayor de dos lados está el mayor ángulo, y frente al mayor de dos ángulos está el mayor lado. Frente a lados iguales hay ángulos iguales.

Por ejemplo, si ${\alpha=40^\circ},$ ${\beta=60^\circ}$ y ${\gamma=80^\circ},$ entonces ${a\lt b\lt c}.$ En un triángulo rectángulo la hipotenusa es el lado mayor, porque está frente al ángulo recto, el mayor ángulo del triángulo.

Tipos de triángulos

Según sus lados un triángulo es escaleno si sus tres lados tienen longitudes distintas, isósceles si dos de sus lados son iguales y equilátero si sus tres lados son iguales. Los lados iguales se marcan con el mismo número de rayitas.

Según sus ángulos un triángulo es acutángulo si sus tres ángulos son agudos, rectángulo si un ángulo mide ${90^\circ}$ y obtusángulo si un ángulo es mayor que ${90^\circ}.$ Un cuadradito marca el ángulo recto.

El nombre completo usa las dos clasificaciones: un triángulo con ángulos de ${45^\circ},$ ${45^\circ}$ y ${90^\circ}$ es un triángulo rectángulo isósceles. Cómo determinar el tipo a partir de los ángulos o de las longitudes de los lados se explica paso a paso en la página Clasificación de triángulos.

Triángulo equilátero

Un triángulo con sus tres lados iguales se llama equilátero. Sea $a$ su lado.

Sus tres ángulos son iguales, así que cada uno mide ${180^\circ:3=60^\circ}.$
Cada altura es también mediana y bisectriz. Por ejemplo, la altura $CD$ cae en el punto medio $D$ de $AB$ y divide por la mitad el ángulo $C.$
Las tres alturas son iguales. El teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo $ADC$ da ${h^2=a^2-\left(\frac a2\right)^2=\frac{3a^2}{4}}.$
El ortocentro, el baricentro, el centro de la circunferencia inscrita y el de la circunscrita coinciden (estos puntos se explican más abajo). Ese punto $O$ es el centro del triángulo.

Para un triángulo equilátero de lado $a$

$$h=\frac{a\sqrt3}{2},\qquad S=\frac{a^2\sqrt3}{4},\qquad R=\frac{a\sqrt3}{3},\qquad r=\frac{a\sqrt3}{6},$$

donde $S$ es el área, $R$ el radio de la circunferencia circunscrita y $r$ el de la inscrita. Observe que ${R=\frac23 h}$ y ${r=\frac13 h}.$

Ejemplo. Para un lado de 6 cm, la altura es ${h=\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3\approx 5{,}20}$ cm y el área es ${S}={\frac{36\sqrt3}{4}}={9\sqrt3}\approx{15{,}59}$ cm².

Triángulo isósceles

Un triángulo con dos lados iguales se llama isósceles. Los lados iguales se llaman lados laterales y el tercer lado es la base. Los ángulos junto a la base son los ángulos de la base y el ángulo entre los lados iguales es el ángulo del vértice. En la figura ${AC=BC}$ y la base es $AB.$

Propiedades del triángulo isósceles

Los ángulos de la base son iguales: ${\angle A=\angle B}.$ Recíprocamente, un triángulo con dos ángulos iguales es isósceles.
La altura sobre la base es también la mediana sobre la base y la bisectriz del ángulo del vértice. La recta que la contiene es el eje de simetría del triángulo.

Estas propiedades se demuestran con triángulos congruentes en las páginas Problemas de congruencia: LAL y ALA, LAA y LLL. Las alturas sobre los dos lados iguales son iguales entre sí, y también lo son las medianas sobre esos lados y las bisectrices de los ángulos de la base. Pero la altura sobre uno de los lados iguales no es una mediana (salvo que el triángulo sea equilátero).

Si cada uno de los lados iguales mide $b$ y la base mide $c,$ la altura $CD$ divide la base por la mitad, y el teorema de Pitágoras en el triángulo $ADC$ da

${h_c=\sqrt{b^2-\frac{c^2}{4}}}.$

Ejemplo. Los lados iguales miden 13 cm y la base 10 cm. Entonces ${h_c}={\sqrt{169-25}}={\sqrt{144}}={12}$ cm, y el área es ${\frac12\cdot 10\cdot 12=60}$ cm². Si el ángulo del vértice de un triángulo isósceles mide ${40^\circ},$ cada ángulo de la base mide ${(180^\circ-40^\circ):2=70^\circ}.$

Triángulo rectángulo

Un triángulo con un ángulo recto se llama rectángulo. El lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa, y es el lado mayor. Los dos lados que forman el ángulo recto son los catetos.

En la figura ${\gamma=90^\circ},$ los catetos son ${a=BC}$ y ${b=CA},$ la hipotenusa es ${c=AB}$ y ${CH=h}$ es la altura sobre la hipotenusa. Esta altura divide la hipotenusa en los segmentos ${AH=m}$ y ${HB=n},$ que son las proyecciones de los catetos $b$ y $a$ sobre la hipotenusa.

$$\alpha+\beta=90^\circ,\qquad c^2=a^2+b^2\quad\text{(teorema de Pitágoras)},$$ $$S=\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2},\qquad h=\frac{ab}{c},$$ $$a^2=c\cdot n,\qquad b^2=c\cdot m,\qquad h^2=m\cdot n.$$

Demostración de ${a^2=c\cdot n},$ ${b^2=c\cdot m}$ y ${h^2=m\cdot n}$

Los triángulos $ABC$ y $CBH$ son semejantes: cada uno tiene un ángulo recto y comparten el ángulo $\beta.$ Por tanto ${\frac{c}{a}=\frac{a}{n}},$ es decir, ${a^2=c\cdot n}.$ Del mismo modo, los triángulos $ABC$ y $ACH$ comparten el ángulo $\alpha,$ así que ${\frac{c}{b}=\frac{b}{m}}$ y ${b^2=c\cdot m}.$

También son semejantes los triángulos $ACH$ y $CBH,$ porque ${\angle ACH=90^\circ-\alpha=\beta}.$ Por tanto ${\frac{h}{m}=\frac{n}{h}},$ es decir, ${h^2=m\cdot n}.$ Sumando las dos primeras igualdades se obtiene el teorema de Pitágoras: ${a^2+b^2=c\,(m+n)=c^2}.$ Por último, el área calculada con los catetos y con la hipotenusa es la misma, ${\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}},$ de donde ${h=\frac{ab}{c}}.$

Razones trigonométricas. Para el ángulo agudo $\alpha$

${\operatorname{sen}\alpha=\frac{a}{c}},$ ${\cos\alpha=\frac{b}{c}},$ ${\tan\alpha=\frac{a}{b}},$

así que ${a=c\operatorname{sen}\alpha=c\cos\beta}$ y ${b=c\operatorname{sen}\beta=c\cos\alpha}.$

El punto medio de la hipotenusa está a la misma distancia de los tres vértices. Es el centro de la circunferencia circunscrita, así que ${R=\frac{c}{2}},$ y la mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de la hipotenusa: ${m_c=\frac{c}{2}}.$ (Aquí $m_c$ es la mediana, no el segmento $m.$)
El radio de la circunferencia inscrita es ${r=\frac{a+b-c}{2}}.$
En un triángulo con ángulos de ${30^\circ},$ ${60^\circ}$ y ${90^\circ}$ el cateto opuesto al ángulo de ${30^\circ}$ mide la mitad de la hipotenusa. En un triángulo rectángulo isósceles (${45^\circ},$ ${45^\circ},$ ${90^\circ}$) la hipotenusa es ${c=a\sqrt2}.$
Recíproco del teorema de Pitágoras: si ${c^2=a^2+b^2},$ el ángulo opuesto al lado $c$ es recto.

Ejemplo. Los catetos son ${a=15}$ y ${b=20}.$ Entonces ${c=\sqrt{225+400}=25},$ ${h=\frac{15\cdot 20}{25}=12},$ ${n=\frac{a^2}{c}=\frac{225}{25}=9}$ y ${m=\frac{b^2}{c}=\frac{400}{25}=16}.$ Comprobación: ${m+n=25=c}$ y ${m\cdot n=144=h^2}.$ El radio de la circunferencia circunscrita es ${R=12{,}5}$ y el de la inscrita ${r=\frac{15+20-25}{2}=5}.$ Más problemas: Teorema de Pitágoras.

Perímetro y área

El perímetro es la suma de los lados, ${P=a+b+c},$ y su mitad es el semiperímetro ${p=\frac{a+b+c}{2}}.$ El área $S$ se puede calcular de varias maneras; se elige la fórmula según los datos.

Datos	Fórmula	Ejemplo
Un lado y la altura sobre él	${S=\frac12\,a\,h_a}$	${a=10}$ y ${h_a=6}$ dan ${S=30}$
Dos lados y el ángulo comprendido	${S=\frac12\,ab\operatorname{sen}\gamma}$	${a=8},$ ${b=5},$ ${\gamma=30^\circ}$ dan ${S=\frac12\cdot 8\cdot 5\cdot\frac12=10}$
Los tres lados (fórmula de Herón)	${S}={\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$	Para $13,$ $14,$ $15$ el semiperímetro es ${p=21}$ y ${S=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84}$
El radio $r$ de la circunferencia inscrita	${S=p\,r}$	Para $13,$ $14,$ $15$ se obtiene ${r=\frac{84}{21}=4}$
El radio $R$ de la circunferencia circunscrita	${S=\frac{abc}{4R}}$	Para $13,$ $14,$ $15$ se obtiene ${R}={\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}}={8{,}125}$

Altura, mediana, bisectriz y mediatriz

Una altura es el segmento perpendicular trazado desde un vértice hasta la recta que contiene el lado opuesto. Las tres alturas (o sus prolongaciones) se cortan en el ortocentro. Vea Altura de un triángulo.
Una mediana une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se cortan en el baricentro, que divide cada una en la razón ${2:1}$ desde el vértice. Vea Medianas de un triángulo.
Una bisectriz del triángulo es el segmento que va de un vértice al lado opuesto y divide el ángulo de ese vértice en dos ángulos iguales. Las tres bisectrices se cortan en el centro de la circunferencia inscrita (incentro).
La mediatriz de un lado es la recta perpendicular a ese lado en su punto medio. Las tres mediatrices se cortan en el centro de la circunferencia circunscrita (circuncentro).
El segmento medio (también llamado base media o paralela media) une los puntos medios de dos lados. Es paralelo al tercer lado y mide la mitad que este.

Triángulos congruentes y semejantes

Dos triángulos son congruentes si uno se puede mover sobre el otro de modo que coincidan; entonces todos sus lados y ángulos correspondientes son iguales. Para demostrarlo bastan tres igualdades bien elegidas: vea Congruencia de triángulos y los problemas resueltos de LAL y de ALA, LAA y LLL. Los triángulos que tienen la misma forma, aunque no necesariamente el mismo tamaño, son semejantes: sus ángulos son iguales y sus lados proporcionales. Vea Triángulos semejantes.

Problemas resueltos

Problema 1. Los ángulos de un triángulo están en la razón ${2:3:4}.$ Hállelos.

Solución. Sean los ángulos $2k,$ $3k$ y $4k.$ Entonces ${2k+3k+4k=180^\circ},$ es decir, ${9k=180^\circ}$ y ${k=20^\circ}.$ Los ángulos miden ${40^\circ},$ ${60^\circ}$ y ${80^\circ}.$

Problema 2. ¿Existe un triángulo con lados de 4 cm, 7 cm y 12 cm?

Solución. No. El lado mayor es demasiado largo: ${12\gt 4+7=11}.$

Problema 3. Dos lados de un triángulo miden 5 cm y 9 cm. ¿Cuánto puede medir el tercer lado? ¿Cuánto mide si el triángulo es isósceles?

Solución. Por la desigualdad triangular ${9-5\lt x\lt 9+5},$ es decir, ${4\lt x\lt 14}.$ Si el triángulo es isósceles, el tercer lado es igual a uno de los otros dos, o sea 5 cm o 9 cm. Ambos valores están entre 4 y 14, así que los dos son posibles.

Problema 4. El ángulo exterior en el vértice $C$ mide ${130^\circ}$ y ${\alpha=55^\circ}.$ Halle $\beta$ y $\gamma.$

Solución. ${\gamma=180^\circ-130^\circ=50^\circ}.$ El ángulo exterior es igual a ${\alpha+\beta},$ así que ${\beta=130^\circ-55^\circ=75^\circ}.$ Comprobación: ${55^\circ+75^\circ+50^\circ=180^\circ}.$

Problema 5. Un ángulo de un triángulo isósceles mide ${100^\circ}.$ Halle los otros dos ángulos.

Solución. El ángulo de ${100^\circ}$ no puede ser un ángulo de la base: los dos ángulos iguales de la base sumarían ${200^\circ}.$ Por tanto es el ángulo del vértice, y cada ángulo de la base mide ${(180^\circ-100^\circ):2=40^\circ}.$

Problema 6. El perímetro de un triángulo equilátero es 18 cm. Halle su altura y su área.

Solución. El lado mide ${a=18:3=6}$ cm. Entonces ${h=\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3\approx 5{,}20}$ cm y ${S}={\frac{36\sqrt3}{4}}={9\sqrt3}\approx{15{,}59}$ cm².

Problema 7. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 cm y 8 cm. Halle la hipotenusa, la altura sobre ella y los segmentos en que esa altura divide la hipotenusa.

Solución. ${c=\sqrt{36+64}=10}$ cm y ${h=\frac{6\cdot 8}{10}=4{,}8}$ cm. La proyección del cateto de 6 cm mide ${\frac{36}{10}=3{,}6}$ cm y la del cateto de 8 cm mide ${\frac{64}{10}=6{,}4}$ cm. Comprobación: ${3{,}6+6{,}4=10}$ y ${3{,}6\cdot 6{,}4}={23{,}04}={4{,}8^2}.$

Problema 8. Halle el área del triángulo de lados 13 cm, 14 cm y 15 cm y la altura sobre el lado de 14 cm.

Solución. ${p=\frac{13+14+15}{2}=21},$ y por la fórmula de Herón ${S}={\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}}={\sqrt{7056}}={84}$ cm². La altura es ${h=\frac{2S}{14}=\frac{168}{14}=12}$ cm.

Errores frecuentes

Error	Incorrecto	Correcto
La desigualdad triangular comprobada para un solo lado	$2,$ $3,$ $6$ forman un triángulo, porque ${2+6\gt 3}$	Se comprueba el lado mayor: ${6\gt 2+3},$ así que el triángulo no existe
Se toma como hipotenusa un lado equivocado	Hipotenusa 13 y un cateto 5, así que el otro cateto es ${\sqrt{13^2+5^2}}$	${\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12}$
${S=\frac12 ab}$ para dos lados cualesquiera	Dos lados miden 5 y 8, así que ${S=20}$	${S=\frac12\,ab\operatorname{sen}\gamma};$ el área es $20$ solo si ${\gamma=90^\circ}$
Fórmula de Herón con el perímetro	Para los lados $3,$ $4,$ $5$ se escribe ${S=\sqrt{12\cdot 9\cdot 8\cdot 7}}$	${p=6},$ así que ${S=\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=6}$
Dos ángulos obtusos	Un triángulo isósceles con ángulos de la base de ${100^\circ}$	Imposible: ${100^\circ+100^\circ\gt 180^\circ}.$ Solo el ángulo del vértice puede ser obtuso
Cualquier altura de un triángulo isósceles tomada como mediana	Si ${AC=BC},$ la altura desde $A$ cae en el punto medio de $BC$	Solo la altura sobre la base $AB$ es también mediana (salvo que el triángulo sea equilátero)

Ejercicios

Resuélvalos usted mismo y después abra la respuesta.

1. Dos ángulos de un triángulo miden ${47^\circ}$ y ${68^\circ}.$ Halle el tercer ángulo.

${180^\circ-47^\circ-68^\circ=65^\circ}$

2. ¿Existe un triángulo de lados 6, 10 y 15? Si existe, ¿es acutángulo, rectángulo u obtusángulo?

Sí, porque ${15\lt 6+10=16}.$ Como ${15^2}={225}\gt{6^2+10^2}={136},$ el ángulo opuesto al lado 15 es obtuso: el triángulo es obtusángulo. (Esta regla se explica en la página Clasificación de triángulos.)

3. Un ángulo de un triángulo isósceles mide ${110^\circ}.$ Halle los otros dos ángulos.

${110^\circ}$ tiene que ser el ángulo del vértice, así que cada ángulo de la base mide ${(180^\circ-110^\circ):2=35^\circ}.$

4. El ángulo exterior en el vértice $B$ mide ${100^\circ}$ y ${\alpha=30^\circ}.$ Halle $\beta$ y $\gamma.$

${\beta=180^\circ-100^\circ=80^\circ}$ y ${\gamma=100^\circ-30^\circ=70^\circ}.$

5. Halle la altura y el área de un triángulo equilátero de lado 10 cm.

${h=\frac{10\sqrt3}{2}=5\sqrt3\approx 8{,}66}$ cm y ${S}={\frac{100\sqrt3}{4}}={25\sqrt3}\approx{43{,}30}$ cm².

6. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 y 12. Halle la hipotenusa, el área y la altura sobre la hipotenusa.

${c=\sqrt{81+144}=15},$ ${S=\frac{9\cdot 12}{2}=54}$ y ${h=\frac{9\cdot 12}{15}=7{,}2}.$

7. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 26 y un cateto 10. Halle el otro cateto y el área.

${b}={\sqrt{676-100}}={\sqrt{576}}={24}$ y ${S=\frac{10\cdot 24}{2}=120}.$

8. Un triángulo isósceles tiene perímetro 32 cm y base 12 cm. Halle los lados iguales, la altura sobre la base y el área.

Cada lado igual mide ${(32-12):2=10}$ cm. La altura mide ${\sqrt{10^2-6^2}=8}$ cm y el área ${\frac12\cdot 12\cdot 8=48}$ cm².

9. Halle el área del triángulo de lados 7, 8 y 9.

${p=12},$ así que ${S}={\sqrt{12\cdot 5\cdot 4\cdot 3}}={\sqrt{720}}={12\sqrt5}\approx{26{,}83}.$

10. La altura sobre la hipotenusa la divide en segmentos de 4 y 9. Halle la altura y los catetos.

${h=\sqrt{4\cdot 9}=6}.$ La hipotenusa mide ${c=13},$ así que los catetos miden ${\sqrt{13\cdot 4}=2\sqrt{13}\approx 7{,}21}$ y ${\sqrt{13\cdot 9}=3\sqrt{13}\approx 10{,}82}.$

Más sobre triángulos: Clasificación · Altura · Mediana · Congruencia · Triángulos semejantes