Problemas de congruencia de triángulos: ALA, LAA y LLL

En esta página resolvemos problemas con tres criterios de congruencia. Los problemas con el criterio lado-ángulo-lado están en la página Problemas de congruencia: LAL, y la teoría en la página Congruencia de triángulos.

Ángulo-lado-ángulo (ALA)

Si un lado y los dos ángulos adyacentes a él en un triángulo son iguales a un lado y a los dos ángulos adyacentes a él en otro triángulo, los triángulos son congruentes.

Lado-ángulo-ángulo (LAA)

Si dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos en un triángulo son iguales a los dos ángulos y al lado correspondientes de otro triángulo, los triángulos son congruentes.

LAA se deduce de ALA: los terceros ángulos también son iguales, porque los ángulos de cada triángulo suman ${180^\circ}.$

Lado-lado-lado (LLL)

Si los tres lados de un triángulo son iguales a los tres lados de otro triángulo, los triángulos son congruentes.

Problemas

Problema 1

En el triángulo isósceles $ABC$ se tiene ${AC=BC},$ y $AM$ y $BN$ son las bisectrices de los ángulos de la base. Demuestre que ${AM=BN}.$

Solución. Consideremos los triángulos $ABM$ y $BAN.$

1. $AB$ es un lado común.
2. ${\angle ABM=\angle BAN},$ porque los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.
3. ${\angle BAM=\angle ABN},$ porque cada uno es la mitad de un ángulo de la base.

En ambos triángulos el lado $AB$ está entre los dos ángulos, así que por ALA ${\triangle ABM\cong\triangle BAN}.$ Los segmentos $AM$ y $BN$ son lados correspondientes, así que ${AM=BN}.$

Problema 2

$CM$ es una mediana del triángulo $ABC.$ Los segmentos $AA_1$ y $BB_1$ son perpendiculares a la recta $CM$ (los puntos $A_1$ y $B_1$ están en esa recta). Demuestre que ${AA_1=BB_1}.$

Solución. Consideremos los triángulos rectángulos $AA_1M$ y $BB_1M.$

1. ${AM=BM},$ porque $CM$ es una mediana.
2. ${\angle AMA_1=\angle BMB_1}$ por ser opuestos por el vértice.
3. ${\angle AA_1M=\angle BB_1M=90^\circ}.$

Los lados iguales $AM$ y $BM$ están frente a los ángulos rectos, así que por LAA ${\triangle AA_1M\cong\triangle BB_1M}$ y ${AA_1=BB_1}.$ (Si ${CM\perp AB},$ los puntos $A_1,$ $B_1$ y $M$ coinciden y la afirmación es evidente.)

Problema 3

Demuestre que cada punto de la bisectriz de un ángulo está a la misma distancia de los lados del ángulo.

Solución. Sea $M$ un punto de la bisectriz $OL$ del ángulo $AOB,$ y sean ${MP\perp OA}$ y ${MQ\perp OB}.$ Consideremos los triángulos $OPM$ y $OQM.$

1. $OM$ es un lado común.
2. ${\angle POM=\angle QOM},$ porque $OL$ es la bisectriz.
3. ${\angle OPM=\angle OQM=90^\circ}.$

Por LAA ${\triangle OPM\cong\triangle OQM},$ así que ${MP=MQ}.$ Las perpendiculares también determinan segmentos iguales sobre los lados: ${OP=OQ}.$

Problema 4

Demuestre que si la altura y la bisectriz trazadas desde un mismo vértice de un triángulo coinciden, el triángulo es isósceles.

Solución. Sea $CP$ a la vez la altura y la bisectriz desde $C.$ Consideremos los triángulos $APC$ y $BPC.$

1. $CP$ es un lado común.
2. ${\angle ACP=\angle BCP},$ porque $CP$ es la bisectriz.
3. ${\angle APC=\angle BPC=90^\circ},$ porque $CP$ es la altura.

El lado $CP$ está entre los dos ángulos, así que por ALA ${\triangle APC\cong\triangle BPC}$ y ${AC=BC}.$ El triángulo es isósceles.

Problema 5

Demuestre que un triángulo con dos ángulos iguales es isósceles: si en el triángulo $ABC$ se tiene ${\angle A=\angle B},$ entonces ${AC=BC}.$

Solución. Tracemos la bisectriz $CD$ del ángulo $C.$ Consideremos los triángulos $ACD$ y $BCD.$

1. ${\angle A=\angle B}$ (dato).
2. ${\angle ACD=\angle BCD},$ porque $CD$ es la bisectriz.
3. $CD$ es un lado común.

El lado $CD$ está frente al ángulo $A$ en el primer triángulo y frente al ángulo igual $B$ en el segundo, así que por LAA ${\triangle ACD\cong\triangle BCD}.$ Por tanto ${AC=BC}.$ Junto con el problema 3 de la página Problemas de congruencia: LAL, esto muestra que un triángulo es isósceles si y solo si tiene dos ángulos iguales.

Problema 6

En los triángulos $ABC$ y $A_1B_1C_1$ se sabe que ${AB=A_1B_1},$ ${BC=B_1C_1},$ y que las medianas $AM$ y $A_1M_1$ sobre los lados $BC$ y $B_1C_1$ son iguales. Demuestre que ${\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1}.$

Solución. $M$ y $M_1$ son puntos medios, así que ${BM}={\frac12\,BC}={\frac12\,B_1C_1}={B_1M_1}.$ En los triángulos $ABM$ y $A_1B_1M_1\text{:}$

1. ${AB=A_1B_1};$
2. ${BM=B_1M_1};$
3. ${AM=A_1M_1}.$

Por LLL ${\triangle ABM\cong\triangle A_1B_1M_1},$ así que ${\angle B=\angle B_1}.$ Ahora los triángulos $ABC$ y $A_1B_1C_1$ tienen ${AB=A_1B_1},$ ${\angle B=\angle B_1}$ y ${BC=B_1C_1},$ así que por LAL ${\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1}.$

Problema 7

En el triángulo isósceles $ABC$ se tiene ${AC=BC},$ y $M$ es el punto medio de la base $AB.$ Demuestre que ${CM\perp AB}$ y que $CM$ divide por la mitad el ángulo $C.$

Solución. En los triángulos $AMC$ y $BMC$ se tiene ${AC=BC},$ ${AM=BM}$ y el lado común $CM.$ Por LLL ${\triangle AMC\cong\triangle BMC}.$ Así que ${\angle ACM=\angle BCM}$ y ${\angle AMC=\angle BMC}.$ Estos dos últimos ángulos son adyacentes y suman ${180^\circ},$ así que cada uno mide ${90^\circ}.$

Problema 8

En el cuadrilátero convexo $ABCD$ los lados opuestos son iguales: ${AB=CD}$ y ${BC=DA}.$ Demuestre que ${\angle B=\angle D}$ y ${AB\parallel CD}.$

Solución. Tracemos la diagonal $AC.$ En los triángulos $ABC$ y $CDA$ se tiene ${AB=CD},$ ${BC=DA}$ y el lado común $AC.$ Por LLL ${\triangle ABC\cong\triangle CDA}.$

Así que ${\angle B=\angle D},$ y también ${\angle BAC=\angle DCA}.$ Son ángulos alternos internos entre las rectas $AB$ y $CD$ cortadas por $AC,$ así que ${AB\parallel CD}.$ Del mismo modo ${BC\parallel AD}:$ el cuadrilátero es un paralelogramo.

Problema 9

En el cuadrilátero $ABCD$ (un deltoide) ${AB=AD}$ y ${CB=CD}.$ Demuestre que la diagonal $AC$ divide por la mitad los ángulos en $A$ y en $C.$

Solución. En los triángulos $ABC$ y $ADC$ se tiene ${AB=AD},$ ${CB=CD}$ y el lado común $AC.$ Por LLL ${\triangle ABC\cong\triangle ADC},$ así que ${\angle BAC=\angle DAC}$ y ${\angle BCA=\angle DCA}.$

Problema 10

Los segmentos $AB$ y $CD$ se cortan en el punto $O,$ que es el punto medio de $AB,$ y ${AC\parallel BD}.$ Demuestre que $O$ también es el punto medio de $CD.$

Solución. Consideremos los triángulos $AOC$ y $BOD.$

1. ${AO=BO},$ porque $O$ es el punto medio de $AB.$
2. ${\angle OAC=\angle OBD}$ por ser alternos internos entre las paralelas $AC$ y $BD$ cortadas por $AB.$
3. ${\angle AOC=\angle BOD}$ por ser opuestos por el vértice.

El lado $AO$ está entre los ángulos en $A$ y en $O,$ y $BO$ entre los ángulos en $B$ y en $O.$ Por ALA ${\triangle AOC\cong\triangle BOD},$ así que ${OC=OD}.$

Ejercicios

Resuélvalos usted mismo y después abra la solución.

1. Demuestre que en un triángulo isósceles las alturas sobre los lados iguales son iguales.

Sean ${AC=BC},$ y $AA_1$ y $BB_1$ las alturas sobre los lados iguales. Los triángulos rectángulos $ABA_1$ y $BAB_1$ tienen la hipotenusa común $AB$ y los ángulos iguales ${\angle ABA_1=\angle BAB_1}.$ Por LAA son congruentes, así que ${AA_1=BB_1}.$

2. Demuestre que en triángulos congruentes las medianas sobre lados correspondientes son iguales.

Si ${\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1}$ y $M,$ $M_1$ son los puntos medios de $BC$ y $B_1C_1,$ entonces ${AB=A_1B_1},$ ${\angle B=\angle B_1}$ y ${BM=B_1M_1}.$ Por LAL ${\triangle ABM\cong\triangle A_1B_1M_1},$ así que ${AM=A_1M_1}.$

3. El punto $M$ está a la misma distancia de los extremos del segmento $AB,$ ${MA=MB}.$ Demuestre que $M$ está en la mediatriz de $AB.$

Sea $O$ el punto medio de $AB.$ Los triángulos $MOA$ y $MOB$ tienen ${MA=MB},$ ${OA=OB}$ y el lado común $MO.$ Por LLL son congruentes, así que los ángulos adyacentes iguales $MOA$ y $MOB$ son rectos: la recta $MO$ es la mediatriz.

4. En los triángulos $ABC$ y $DEF$ se sabe que ${\angle A=\angle D},$ ${\angle C=\angle F}$ y ${AB=DE}.$ ¿Son congruentes?

Sí, por LAA: los lados $AB$ y $DE$ están frente a los ángulos iguales $C$ y $F.$

Más: Congruencia de triángulos · Problemas: LAL · Triángulos