Problemas de congruencia de triángulos: criterio LAL

LAL. Si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos en un triángulo son iguales a dos lados y al ángulo comprendido entre ellos en otro triángulo, los triángulos son congruentes.

En cada problema nombramos los dos triángulos, escribimos tres pares de elementos iguales con su justificación y comprobamos que el ángulo está entre los dos lados. La teoría está en la página Congruencia de triángulos, y los problemas de los otros criterios en Problemas de congruencia: ALA, LAA y LLL.

Problema 1

En el triángulo isósceles $ABC$ se tiene ${AC=BC},$ y $CD$ es la bisectriz del ángulo $C$ (el punto $D$ está en $AB$). Demuestre que ${\triangle ACD\cong\triangle BCD}.$

Solución. En los triángulos $ACD$ y $BCD\text{:}$

1. ${AC=BC},$ porque el triángulo es isósceles;
2. ${\angle ACD=\angle BCD},$ porque $CD$ es la bisectriz;
3. $CD$ es un lado común.

El ángulo $ACD$ está entre los lados $AC$ y $CD,$ y el ángulo $BCD$ entre $BC$ y $CD.$ Por LAL ${\triangle ACD\cong\triangle BCD}.$

Problema 2

Demuestre que en un triángulo isósceles la bisectriz del ángulo del vértice es también la mediana y la altura sobre la base.

Solución. Usemos la figura y el resultado del problema 1: ${\triangle ACD\cong\triangle BCD}.$

• Los lados $AD$ y $BD$ se corresponden, así que ${AD=BD}:$ el punto $D$ es el punto medio de $AB$ y $CD$ es la mediana.
• Los ángulos $ADC$ y $BDC$ se corresponden, así que son iguales. Además son adyacentes y suman ${180^\circ},$ así que cada uno mide ${90^\circ}:$ $CD$ es la altura.

Desde un vértice salen una sola bisectriz, una sola mediana y una sola altura, así que en un triángulo isósceles estos tres segmentos sobre la base coinciden.

Problema 3

Demuestre que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.

Solución. Tracemos la bisectriz $CD$ del ángulo del vértice. Por el problema 1, ${\triangle ACD\cong\triangle BCD}.$ Los ángulos en $A$ y $B$ son ángulos correspondientes de estos triángulos, así que ${\angle A=\angle B}.$

Problema 4

En el triángulo isósceles $ABC$ se tiene ${AC=BC},$ y $D$ es el punto medio de la base $AB.$ El perímetro del triángulo $ADC$ es 18 cm y ${CD=6}$ cm. Halle el perímetro del triángulo $ABC.$

Solución. El perímetro de $ADC$ es ${AC+CD+AD=18},$ así que ${AC+AD=18-6=12}$ cm. Como ${BC=AC}$ y ${DB=AD},$ el perímetro de $ABC$ es

${AC+BC+AD+DB}={2\,(AC+AD)}={2\cdot 12}={24}$ cm.

Problema 5

Una recta corta los lados del ángulo $AOB$ en los puntos $C$ y $D,$ con ${OC=OD}.$ Demuestre que la recta es perpendicular a la bisectriz del ángulo.

Solución. Sea $F$ el punto donde la recta ${\ell=CD}$ corta la bisectriz $OL.$ El triángulo $OCD$ es isósceles, porque ${OC=OD},$ y $OF$ es la bisectriz de su ángulo del vértice. Por el problema 2, $OF$ es también la altura sobre la base $CD,$ así que ${CD\perp OL}.$

Problema 6

Las diagonales del cuadrilátero $ABCD$ se cortan en el punto $O,$ que es el punto medio de cada una. Demuestre que sus lados opuestos son iguales.

Solución. En los triángulos $AOD$ y $COB\text{:}$

1. ${AO=CO}$ y ${OD=OB},$ porque $O$ es el punto medio de cada diagonal;
2. ${\angle AOD=\angle COB}$ por ser opuestos por el vértice.

Por LAL ${\triangle AOD\cong\triangle COB},$ así que ${AD=CB}.$ Del mismo modo ${\triangle AOB\cong\triangle COD},$ así que ${AB=CD}.$

La congruencia también da ${\angle OAD=\angle OCB}.$ Son ángulos alternos internos entre las rectas $AD$ y $BC$ cortadas por $AC,$ así que ${AD\parallel BC};$ del mismo modo ${AB\parallel CD}.$ Por tanto, un cuadrilátero cuyas diagonales se cortan mutuamente en partes iguales es un paralelogramo.

Problema 7

${\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1}.$ Los puntos $M$ y $M_1$ están en los lados $AB$ y $A_1B_1,$ con ${AM=A_1M_1}.$ Demuestre que ${CM=C_1M_1}$ y ${\angle BMC=\angle B_1M_1C_1}.$

Solución. De la congruencia de los triángulos, ${AC=A_1C_1}$ y ${\angle A=\angle A_1}.$ En los triángulos $AMC$ y $A_1M_1C_1\text{:}$

1. ${AM=A_1M_1}$ (dato);
2. ${\angle A=\angle A_1};$
3. ${AC=A_1C_1}.$

Por LAL ${\triangle AMC\cong\triangle A_1M_1C_1},$ así que ${CM=C_1M_1}$ y ${\angle AMC=\angle A_1M_1C_1}.$ Los ángulos $BMC$ y $B_1M_1C_1$ son adyacentes a estos ángulos iguales, así que ${\angle BMC}={180^\circ-\angle AMC}={180^\circ-\angle A_1M_1C_1}={\angle B_1M_1C_1}.$

Problema 8

Los puntos $D$ y $E$ están en la base $AB$ del triángulo isósceles $ABC$ (${AC=BC}$), con ${AD=BE}.$ Demuestre que ${CD=CE}.$

Solución. En los triángulos $ADC$ y $BEC\text{:}$

1. ${AD=BE}$ (dato);
2. ${\angle A=\angle B},$ los ángulos de la base (problema 3);
3. ${AC=BC}.$

Por LAL ${\triangle ADC\cong\triangle BEC},$ así que ${CD=CE}.$

Problema 9

En el triángulo isósceles $ABC$ (${AC=BC}$), $AA_1$ y $BB_1$ son las medianas sobre los lados iguales. Demuestre que ${AA_1=BB_1}.$

Solución. En los triángulos $ABB_1$ y $BAA_1\text{:}$

1. $AB$ es un lado común;
2. ${\angle BAB_1=\angle ABA_1},$ los ángulos de la base;
3. ${AB_1}={\frac12\,AC}={\frac12\,BC}={BA_1}.$

Por LAL ${\triangle ABB_1\cong\triangle BAA_1},$ así que ${BB_1=AA_1}.$

Problema 10

Sobre los lados $BC$ y $CA$ del triángulo $ABC,$ cuyo ángulo $\gamma$ en $C$ es agudo, se construyen hacia afuera los cuadrados $BMNC$ y $CPQA.$ Demuestre que ${AN=BP}.$

Solución. Consideremos los triángulos $NCA$ y $BCP$ (con línea discontinua en la figura).

1. ${CN=CB},$ por ser lados del cuadrado $BMNC;$
2. ${CA=CP},$ por ser lados del cuadrado $CPQA;$
3. ${\angle NCA=90^\circ+\gamma}$ y ${\angle BCP=\gamma+90^\circ},$ así que ${\angle NCA=\angle BCP}.$

Por LAL ${\triangle NCA\cong\triangle BCP},$ así que ${AN=BP}.$

Más aún: el giro de ${90^\circ}$ alrededor de $C$ que lleva $N$ a $B$ también lleva $A$ a $P.$ Por tanto lleva el segmento $NA$ al segmento $BP,$ y en consecuencia ${AN\perp BP}.$ Este razonamiento no depende del tamaño de $\gamma,$ así que ${AN=BP}$ también cuando el ángulo en $C$ es obtuso.

Ejercicios

Resuélvalos usted mismo y después abra la solución.

1. Los puntos $A$ y $C$ están en un lado de un ángulo de vértice $O,$ y $B$ y $D$ en el otro, con ${OA=OB}$ y ${OC=OD}.$ Demuestre que ${AD=BC}.$

En los triángulos $OAD$ y $OBC\text{:}$ ${OA=OB},$ el ángulo $O$ es común y ${OD=OC}.$ Por LAL son congruentes, así que ${AD=BC}.$

2. $ABCD$ es un cuadrado, $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ el punto medio de $AD.$ Demuestre que ${CM=CN}.$

En los triángulos $CBM$ y $CDN\text{:}$ ${CB=CD},$ ${\angle B=\angle D=90^\circ}$ y ${BM=DN}$ (mitades de lados iguales). Por LAL son congruentes, así que ${CM=CN}.$

3. En el triángulo $ABC$ se tiene ${AB=AC}.$ Los puntos $D$ en $AB$ y $E$ en $AC$ cumplen ${AD=AE}.$ Demuestre que ${BE=CD}.$

En los triángulos $ABE$ y $ACD\text{:}$ ${AB=AC},$ el ángulo $A$ es común y ${AE=AD}.$ Por LAL son congruentes, así que ${BE=CD}.$

4. Los puntos $D,$ $E$ y $F$ están en los lados $AB,$ $BC$ y $CA$ del triángulo equilátero $ABC,$ con ${AD=BE=CF}.$ Demuestre que el triángulo $DEF$ es equilátero.

Los segmentos ${BD=AB-AD},$ ${CE=BC-BE}$ y ${AF=CA-CF}$ también son iguales. Cada uno de los triángulos $ADF,$ $BED$ y $CFE$ tiene un ángulo de ${60^\circ}$ entre dos lados de esas longitudes iguales, así que por LAL son congruentes. Por tanto ${DF=ED=FE}.$

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